pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

More documents

Recommendations

Info

8 Solmu 3/2008 {10 k x} = 1 − 0,a k+1 a k+2 . . .. Muodostamme kohti nollaa suppenevan jonon (h m ) siten, että erotusosamääristä d m = f(x + h m) − f(x) h m muodostuva jono (d m ) hajaantuu. Olkoon h m = −10 −m , jos a m = 4 tai a m = 9, ja h m = 10 −m muulloin. Jos k ≥ m, niin lukujen 10 k (x+h m ) ja 10 k x desimaaliosat ovat samat, jolloin {10 k (x+h m )}−{10 k x} = 0. Tästä seuraa, että d m = f(x + h m) − f(x) = = ∞∑ k=0 m−1 ∑ k=0 h m {10 k (x + h m )} − {10 k x} 10 k h m {10 k (x + h m )} − {10 k x} 10 k h m . Lukujen h m valintatavasta johtuen tässä summassa yhteenlaskettavien osoittajissa olevat luvut {10 k (x+h m )} ja {10 k x} ovat molemmat joko tyyppiä 0,a k+1 a k+2 . . . , jolloin {10 k (x + h m )} − {10 k x} 10 k = ±10k−m = 1, h m ±10k−m tai tyyppiä 1 − 0,a k+1 a k+2 . . . , jolloin {10 k (x + h m )} − {10 k x} 10 k = ∓10k−m = −1. h m ±10k−m Siis summassa d m = m−1 ∑ k=0 {10 k (x + h m )} − {10 k x} 10 k h m jokainen yhteenlaskettava on joko 1 tai −1. Niinpä kaikilla m:n arvoilla d m+1 = d m + 1 tai d m+1 = d m − 1, joten jono (d m ) hajaantuu. Kuvassa on van der Waerdenin funktion osasumman f 5 :n kuvaajasta yksi jakso. Osoitteessa [6] olevasta kuvasarjasta voi visuaalisestikin oivaltaa, miksi f ei ole derivoituva. Tässä esimerkissä desimaalikehitelmät mahdollistivat elegantin todistuksen. On kehitetty myös niistä riippumattomia esimerkkejä. Tutkimme Walter Rudinin teoksessaan [4] esittämää funktiota pienen esivalmistelun jälkeen. Olkoon φ(x) = |x|, kun −1 ≤ x ≤ 1. Jatkamme φ:n määrittelyä asettamalla φ(x + 2) = φ(x) kaikilla x ∈ R. Näin φ tulee jaksolliseksi ja sen perusjakso on 2. Kaikilla m ∈ Z on φ(2m) = 0 ja 0 ≤ φ(x) ≤ 1 kaikilla x ∈ R. Kaikilla x:n ja y:n arvoilla on |φ(x) − φ(y)| ≤ |x − y|, ja jos välillä ]x,y[ ei ole kokonaislukuja, niin |φ(x) − φ(y)| = |x − y|. Rudinin esimerkkifunktio on f(x) = ∞∑ ( ) k 3 φ(4 k x). 4 k=0 Se osoitetaan kaikkialla määritellyksi ja jatkuvaksi samalla tavalla kuin van der Waerdenin funktiokin. Osoitamme, että f ei ole derivoituva. Olkoon x mielivaltainen reaaliluku, m positiivinen kokonaisluku ja δ m = ± 1 2 · 4−m , missä merkki valitaan niin, että lukujen 4 m x ja 4 m (x+ δ m ) välissä ei ole kokonaislukua. Tämä on mahdollista, sillä |4 m x − 4 m (x + δ m )| = 1 2 . Olkoon γ k = φ(4k (x + δ m )) − φ(4 k x) δ m . Jos k > m, niin 4 k δ m on parillinen kokonaisluku, joten γ k = 0. Koska lukujen 4 m x ja 4 m (x + δ m ) välissä ei ole kokonaislukua, on ∣ |γ m | = φ(4 m (x + δ m )) − φ(4 m x) ∣∣∣ ∣ = 1/2 δ m |δ m | = 4m . Jos vihdoin 0 ≤ k < m, niin ∣ |γ k | = φ(4 k (x + δ m )) − φ(4 k x) ∣∣∣ ∣ ≤ 4k |δ m | = 4 k . δ m |δ m |
Solmu 3/2008 9 Tästä seuraa, että ∣ f(x + δ m ) − f(x) ∣∣∣ ∣ δ m ∞∑ ( ) ∣ k 3 ∣∣∣∣ m∑ ( ) ∣ k 3 ∣∣∣∣ = γ k = γ k ∣ 4 ∣ 4 k=0 k=0 m−1 ∑ ( ) ∣ [ k 3 ∣∣∣∣ m−1 ∑ (3 ] k = ∣ 3m + γ k ≥ 3 m − · 4 4 4) k k=0 m−1 ∑ = 3 m − 3 k = 1 2 (3m + 1). k=0 k=0 Näemme, että f:n erotusosamääristä muodostuva jono hajaantuu, sillä m:n kasvaessa δ m → 0. Siis f ei ole derivoituva kohdassa x. omaa esimerkkiään ja siihen liittyvää todistusta yksinkertaisimpana mahdollisena. Asiasta voi jokainen muodostaa oman käsityksensä nettilähdettä [5] tutkimalla. Tämän kirjoittaja pitää van der Waerdenin esimerkkiä esillä olleista yksinkertaisimpana. Sen ymmärtämiseksi teoksesta [3] ei tarvinnut tehdä töitä kynällä, kun taas Rudinin funktiota oli pyöriteltävä paperilla. Samoihin aikoihin näiden konkreettisten esimerkkien keksimisen kanssa mietittiin myös kuinka yleisiä tällaiset funktiot ovat jatkuvien funktioiden joukossa. Vuonna 1931 puolalainen matemaatikko Stefan Banach (1892 − 1945) todisti välillä [0,1] jatkuvien funktioiden joukolle tuloksen, jota sen käsitteellisyyden takia emme voi muotoilla tähän täsmällisesti, ks. [8], s. 79. Hän todisti, että ne jatkuvat funktiot, joilla on derivaatta vähintään yhdessä välin [0,1] kohdassa, sijaitsevat kaikkien välillä [0,1] jatkuvien funktioiden joukossa samantyyppisesti kuin rationaaliluvut reaalilukujen joukossa. Siis suurin osa jatkuvista funktioista on juuri näitä ei-missään-derivoituvia funktioita, ja varsinaisia harvinaisuuksia ja analyysin kummajaisia ovatkin kaikkialla derivoituvat alkeisfunktiot! Kiitän dosentti Heikki Apiolaa, dosentti Matti Lehtistä, dosentti Jorma Merikoskea sekä dosentti Timo Tossavaista tämän kirjoituksen viimeistelyä auttaneista kommenteista. Heikki Apiolalle erityinen kiitos kuvista sekä tätä kirjoitusta varten laadituista nettisivuista [6] ja [7]. Lähteet [1] M. Halmetoja, K. Häkkinen et al.: Matematiikan taito 13: Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. WSOY, 2008. Kuvassa on Rudinin funktion osasumman f 3 kuvaajasta yksi jakso. Katso myös osoitteessa [7] olevaa kuvasarjaa. Netistä löytyi (googlaamalla hakusanalla ”nowhere differentiable function”) John McCarthyn vuonna 1953 esittämä funktio ∞∑ f(x) = 2 −n g(2 2n x), n=1 missä g(x) = 1 + x, kun −2 ≤ x ≤ 0 ja g(x) = 1 − x, kun 0 < x ≤ 2 ja g(x + 4) = g(x) kaikilla x ∈ R. Rudinin funktio on tämän muunnelma. Itse asiassa myös van der Waerdenin funktio on muodostettu samantapaisella menetelmällä. Aluksi määritellään jaksollinen ”sahanteräfunktio”, jonka kuvaajaa sitten ”rypytetään” niin, että lopulta sen jokainen piste on kärkipiste, jossa derivaatta ei ole määritelty. Tämä prosessi näkyy selvästi sivujen [6] ja [7] kuvasarjoissa. McCarthy pitää [2] J. Merikoski, M. Halmetoja, T. Tossavainen: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan. WSOY, 2004. [3] F. Riesz, B. Sz.-Nagy: Functional Analysis. New York, 1990. [4] W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1987. [5] http://www-formal.stanford.edu/jmc/ weierstrass.html [6] http://math.tkk.fi/˜apiola/solmu/ 08Weierstrass/mapleVanDerW1.html [7] http://math.tkk.fi/˜apiola/solmu/ 08Weierstrass/Weierstrass.html [8] J. Väisälä: Topologia II. Limes, 2005.
Page 1 and 2: Matematiikkalehti 3/2008 http://sol
Page 3 and 4: Solmu 3/2008 3 Sisällys Pääkirjo
Page 5 and 6: Solmu 3/2008 5 sissa jaettiin 47 ku
Page 7: Solmu 3/2008 7 Funktio f on jaksoll
Page 11 and 12: Solmu 3/2008 11 Paralleelipostulaat
Page 13 and 14: Solmu 3/2008 13 Käyrien välinen d
Page 15 and 16: Solmu 3/2008 15 Suora S antaa isoym
Page 17 and 18: Solmu 3/2008 17 Esimerkki 3’ (ver
Page 19 and 20: Solmu 3/2008 19 Alkuperäiset käyr
Page 21 and 22: Solmu 3/2008 21 A 1 :n 2 ja A 2 :n
Page 23 and 24: Solmu 3/2008 23 Matematiikan opetuk
Page 25 and 26: Solmu 3/2008 25 Lukujen uusi maailm
Page 27 and 28: Solmu 3/2008 27 Uusia lukuja Tähä
Page 29 and 30: Solmu 3/2008 29 päätynyt keksint
Page 31 and 32: Solmu 3/2008 31 Ratkaisemalla täm
Page 33 and 34: Solmu 3/2008 33 Kansainväliset mat
Page 35 and 36: Solmu 3/2008 35 ta näiden janojen
Page 37 and 38: Solmu 3/2008 37 On siis todistettav
Page 39: Solmu 3/2008 39 ω 1 , joka on kolm

pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?