PDF-tiedostona

Esimerkki 1.1.
a n = 2n + 1 , kun n = 1, 2, 3, . . . .
3n + 2
Toisinaan lukujonosta annetaan joitakin alkupään termejä, joiden avulla yleinen
termi voidaan päätellä.
Esimerkki 1.2.
1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .
Tässä tapauksessa yleistä termiä ei voida esittää yhdellä lausekkeella vaan parillisilla
indeksin arvoilla saadaan eri lauseke kuin parittomilla
{
a2n−1 = 1, kun n = 1, 2, 3, . . .
a 2n = 0, kun n = 1, 2, 3, . . .
Eräissä tapauksissa lukujonon termit voidaan esittää palautuskaavalla (rekursiokaavalla).
Tällöin yleisen termin esittäminen on vaikeaa tai mahdotonta. Tällaisia
ns. rekursiivisia lukujonoja tarkastellaan myöhemmin.
Huomautus. Lukujono on aina ääretön. Tämä seuraa siitä, että lukujono on funktio,
jonka määrittelyjoukko on ääretön, siis Z + . Lukujonoa (a n ) vastaava lukujoukko,
jota merkitään { a n | n ∈ N } voi sen sijaan olla äärellinen. Tämä taas seuraa
siitä, että funktion (a n ) arvojoukko voi olla äärellinen. Esimerkin 2 tapauksessa
{ a n | n ∈ N } = {0, 1}.
Lukujononon raja-arvo, suppeneminen ja hajaantuminen. Tässä kohdassa
tarkastelemme seuraavaa kysymystä
Miten lukujono a n käyttäytyy, kun indeksi n saa yhä suurempia arvoja?
Löytyy neljä erilaista tapausta. Tarkastellaan aluksi kuhunkin tapaukseen liittyvää
esimerkkiä, jonka jälkeen esitetään yleinen määritelmä.
Esimerkki 1.3. Tarkastellaan lukujonoa a n = 1/n. Antamalla n:lle yhä suurempia
arvoja havaitaan, että a n ilmeisesti lähestyy lukua 0. Ennen kuin voidaan sanoa
asian olevan näin on määriteltävä, mitä tämä ”lähestyminen” tarkoittaa.
Määritelmä 1.4. Sanomme, että a ∈ R on lukujonon (a n ) raja-arvo, jos kaikilla
ɛ > 0 on olemassa sellainen n ɛ ∈ Z + , että
|a n − a| < ɛ,
kun n > n ɛ . Tällöin merkitsemme lim
n→∞ a n = a tai a n → a, kun n → ∞.
Raja-arvoehdon vaihtoehtoinen formulointi ympäristökäsitteen avulla: Kaikilla
ɛ > 0 on olemassa sellainen n ɛ ∈ Z + , että a n ∈ U ɛ (a) kun n > n ɛ .
55