You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Lause 1.8.<br />
lim n = ∞<br />
n→∞<br />
Esimerkki 1.9. Tarkastellaan lukujonoa a n = −n. Antamalla n:lle yhä suurempia<br />
arvoja havaitaan, että a n ilmeisesti ”vähenee” rajatta, eikä voi lähestyä mitään<br />
reaalista raja-arvoa. Voidaksemme sanoa asiasta jotain täsmällistä on ensin määriteltävä<br />
mitä tällaisella ”vähenemisellä” tarkoitetaan.<br />
Määritelmä 1.10. Sanomme, että lukujonon (a n ) raja-arvo on miinus ääretön (tai<br />
että (a n ) vähenee rajatta), jos jokaista reaalilukua K kohti on olemassa sellainen<br />
n K ∈ Z + , että a n < K, kun n > n K . Tällöin merkitsemme lim a n = −∞ tai<br />
n→∞<br />
a n → −∞, kun n → ∞.<br />
Lause 1.11.<br />
lim (−n) = −∞<br />
n→∞<br />
Olemme käsitelleet kolme neljästä tapauksesta. Viimeiseen tapaukseen liittyy<br />
esimerkki 1.2, jossa lukujono ”hyppii” kahden arvon (0 ja 1) välillä. Tämä jono ei<br />
ilmeisesti kuulu mihinkään edellä mainituista tapauksista.<br />
Määritelmä 1.12. Sanomme, että lukujonolla (a n ) ei ole raja-arvoa, jos sillä ei<br />
ole reaalista raja-arvoa eikä raja-arvoa ääretön tai minus ääretön.<br />
Määritelmä 1.13. Lukujonon sanotaan suppenevan, jos sillä on reaalinen rajaarvo.<br />
Muissa tapauksissa se hajaantuu.<br />
Raja-arvon laskusääntöjä. Seuraavassa esitetään joitakin tuloksia ja laskusääntöjä,<br />
joiden avulla yksinkertaisemmat raja-arvotehtävät ratkeavat.<br />
Lause 1.14. Jos a n = c, missä c ∈ R on vakio, niin lim<br />
n→∞ a n = c.<br />
Lause 1.15. (”kuristusperiaate”) Olkoot (a n ) ja (b n ) suppenevia lukujonoja, joille<br />
lim a n = lim b n. Jos (c n ) on lukujono, jolle a n ≤ c n ≤ b n kaikilla n ∈ Z + , niin<br />
n→∞ n→∞<br />
(c n ) suppenee ja lim c n = lim a n = lim b n.<br />
n→∞ n→∞ n→∞<br />
Seuraus. Olkoon k ∈ Z + . Tällöin lim<br />
n→∞ 1/nk = 0.<br />
Todistus. Koska 0 < 1/n k ≤ 1/n kaikilla n ∈ Z + , lim 0 = 0 ja lim 1/n = 0, niin<br />
n→∞ n→∞<br />
kuristusperiaatteen nojalla lim<br />
n→∞ 1/nk = 0. □<br />
Lause 1.16. (Summan, tulon ja osamäärän raja-arvot) Olkoot (a n ) ja (b n ) suppenevia<br />
lukujonoja. Tällöin<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n,<br />
n→∞ n→∞ n→∞<br />
lim (a nb n ) = lim a n lim b n<br />
n→∞ n→∞ n→∞<br />
a n<br />
lim =<br />
n→∞ b n<br />
lim a n<br />
n→∞<br />
lim b n<br />
n→∞<br />
, kun b n ≠ 0 kaikilla n ∈ Z + ja lim<br />
n→∞ b n ≠ 0.<br />
57
Change language