PDF-tiedostona

Lause 4.33. Olkoon f(x) = c, kaikilla x ∈ A, missä c ∈ R ja A ⊂ R. Tällöin
f ′ (x) = 0 kaikilla x ∈ A.
Todistus. Olkoon x 0 ∈ A. Muodostetaan funktion f erotusosamäärä pisteessä x 0 .
Tällöin
f(x) − f(x 0 )
= c − c = 0 → 0
x − x 0 x − x 0
kun x → x 0 .
□
Lause 4.34. D(x n ) = nx n−1 kaikilla x ∈ R, kun n ∈ Z + ja kaikilla x ≠ 0, kun
n ∈ Z −
Todistus. Todistetaan vain tapaus n ∈ Z + . (Aikaisemmin on todistettu tapaus
n = −1.) Olkoon x 0 ∈ R. Muodostetaan erotusosamäärä pisteessä x 0 . Tällöin
x n − x n 0
x − x 0
= x n−1 + x n−2 x 0 + x n−3 x 2 0 + · · · + xx n−2
0 + x n−1
0
→ x n−1
0 + x n−1
0 + · · · + x n−1
0
} {{ }
n kappaletta
= nx n−1
0 . □
Lause 4.35. D( √ x) = 1
2 √ x
kaikilla x > 0.
Polynomi on derivoituva koko R:ssä; tämä seuraa x n :n derivoituvuudesta induktiopäättelyllä.
Edelleen rationaalifunktio on derivoituva muualla paitsi nimittäjän
nollakohdissa.
Lause 4.36. (Yhdistetyn funktion derivaatta) Olkoon f : A → R derivoituva
pisteessä x 0 . Olkoon f(x 0 ) ∈ B sekä g : B → R derivoituva pisteessä f(x 0 ).
Tällöin yhdistetty funktio g ◦ f on derivoituva pisteessä x 0 ja
(g ◦ f) ′ (x 0 ) = g ′ (f(x 0 ))f ′ (x 0 ).
Seuraavassa esimerkissä on hieman hankalampi funktio, jonka derivaatan laskemiseksi
tarvitaan useita edelläolevista tuloksista.
Esimerkki 4.37. Laske funktion f(x) = √ x 7 + x 4 + 1 · (x 6 + x 2 + 1) 3 derivaatta
pisteessä x = 1.
Ratkaisu. Sovelletaan aluksi tulon derivoimissääntöä ja sen jälkeen yhdistetyn funktion
derivoimissääntöä.
f ′ (x) = D( √ x 7 + x 4 + 1)(x 6 + x 2 + 1) 3 + √ x 7 + x 4 + 1 D(x 6 + x 2 + 1) 3
=
1
2 √ x 7 + x 4 + 1 (7x6 + 4x 3 )(x 6 + x 2 + 1) 3
+ √ x 7 + x 4 + 1 · 3(x 6 + x 2 + 1) 2 (6x 5 + 2x)
89