2 VEKTORIAVARUUDET LINEAARIAVARUUS Määritelmä 2.1 = x, y ...

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-1
TTY, Pori
2 VEKTORIAVARUUDET
LINEAARIAVARUUS
Määritelmä 2.1
= { x, y,z,K}
+ yhteenlasku
kertominen reaaliluvulla (skalaarilla)
Joukko on (reaalinen) vektoriavaruus (eli lineaariavaruus), jos
a1)
a2)
x,y ∈ ⇒ x + y ∈
x ∈ ⇒ sx ∈, ∀s ∈
1) rx +sx = (r +s)x
2) rx +ry = r( x+ y)
3) r(sx) = (rs)x
4) x +y = y+ x
5) (x + y)+ z = x + (y + z)
6) ∃0 ∈ s.e ∀x ∈ x + 0 = x
7)
8) 1x = x,
9) 0x = 0
∀x ∈ ∃− x ∈ s.e x + (−x) = 0
Esim 2.1 n× m on vektoriavaruus.

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-2
TTY, Pori
Määr 2.2 Vektoriavaruuden osajoukko ⊆ on aliavaruus,
jos ∀x,y ∈, ∀s ∈
x,y ∈ ⇒ x + y ∈
x ∈ ⇒ sx ∈
Lause 2.1 Vektoriavaruuden , ei-tyhjä aliavaruus on :ssä
määritellyillä laskutoimituksilla vektoriavaruus.
Lause 2.2 Vektoriavaruuden ei-tyhjä osajoukko on
aliavaruus, joss jokainen :n alkioiden lineaarikombinaatio kuuluu
joukkoon .
Esim 2.2 Kaikki 3 aliavaruudet

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-3
TTY, Pori
Lause 2.3 Vektoriavaruuden 3 aliavaruudet ovat
(1) = { 0}
nolla-aliavaruus
(2) = { tx, x ≠ 0 } origon kautta kulkevat suorat
(3) = { x = a 1x 1 + a 2 x 2 , x 1 ≠ tx 2 ≠ 0}
origon kautta kulkevat tasot
(4) = 3 vektoriavaruus itse.
Määr 2.3 Olkoon S ⊂ . Tällöin kaikkien joukon S vektoreiden
lineaarikombinaatioiden joukkoa, , kutsutaan joukon S virittämäksi
joukoksi, = span(S).
Esim. 2.3 = span{ e 1 ,e 2 ,K,e n }= n

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-4
TTY, Pori
Lause 2.4 Olkoon S ⊂ , S ≠ ∅ ja = span(S). Tällöin on
vektoriavaruuden aliavaruus.

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-5
TTY, Pori
Esim. 2.4 Osoita, että yhtälön Ax = 0 ratkaisut muodostavat
vektoriavaruuden.

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-6
TTY, Pori
Lineaariset funktiot vektoriavaruuksissa
Määr 2.4 Lineaarisuus
Funktio f : → on lineaarinen, jos
f (sx + ty) = s f (x) + t f (y).
ZZZ
Ehto voidaan myös pilkkoa kahteen osaan:
f (x + y) = f (x) + f (y) additiivisuus
f (sx) = s f (x)
homogeenisuus
Lause 2.5 Lineaarinen funktio on bijektio, joss x = 0 on ainoa
vektori, jolle f (x) = 0.

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-7
TTY, Pori
Yhdistetty funktio
Lause 2.6 Jos f : → ja g: → ovat lineaarisia funktioita,
niin myös yhdistetty funktio g o f: → , joka määritellään
( g o f )(x) = g( f (x))
on lineaarinen määrittelyjoukossaan.
Lineaaristen funktioiden lineaarikombinaatiot
Lause 2.7 Jos f : → ja g: → ovat lineaarisia funktiota,
niin myös
f + g: →
r f: →
ovat lineaarisia funktioita.
Käänteisfunktiot
Lause 2.8 Jos f on lineaarinen, niin sillä on käänteisfunktio f −1 ,
joss f (x) = 0 ⇔ x = 0.
Lause 2.9 Jos f : → on lineaarinen ja bijektio, niin sen
arvojoukko F on :n aliavaruus ja f −1 on myös lineaarinen.

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-8
TTY, Pori
Arvojoukko
Lause 2.10 Olkoon f : → on lineaarinen funktio ja
vektoriavaruuden aliavaruus. Tällöin f ( ) on :n aliavaruus.
Erityisesti f :n arvojoukko (kuva) f () on :n aliavaruus.
Tod: WT s.126-127
Nolla-avaruus
Määr 2.5 Nolla-avaruus (null-space)
Lineaarisen funktion f : → nolla-avaruus on joukko
{ }
= v ∈ f (v) = 0
Lause 2.11 Lineaarisen funktion, f : → , nolla-avaruus on
vektoriavaruuden ali-avaruus.
Lause 2.12 Lineaarinen funktio, f : → , on bijektio, joss sen
nolla-avaruus = { 0}.

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-9
TTY, Pori
KOORDINAATIT JA DIMENSIOT
Miten n standardikanta { e 1 ,K,e n } voidaan yleistää muihin
vektoriavaruuksiin
Määr 2.6 Jos vektorijoukolle S ⊂ pätee = span(S), niin S
virittää vektoriavaruuden .
Määr 2.7 Vektoriavaruuden kanta on lineaarisesti riippumaton
joukko :n vektoreita, joka virittää :n.
Määr 2.8 Jos vektoriavaruudella on äärellinen kanta { b 1 ,K, b n },
niin sanomme, että avaruuden dimensio, dim() = n.
Muulloin :n dimensio on ääretön.
Esim 2.5 Vektoriavaruuden 2 kannat
2
1
0
-1
-2
-2 -1 0 1 2

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-10
TTY, Pori
Koordinaatit
Lause 2.13 Olkoon B = { b 1 ,K,b n } vektoriavaruuden kanta.
Tällöin jokaiselle v ∈ on olemassa yksikäsitteiset skalaarit v 1 ,K,v n
siten että
v = v 1 b 1 +K+ v n b n
lukuja v 1 ,K,v n sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannassa B
Vastavasti vektoria
x v = ( v 1 ,K,v n ) T ∈ n
sanotaan v:n koordinaattivektoriksi.
Jos
niin
( ) T
( ) T
u ↔ x u = u 1 ,K,u n
v ↔ x v = v 1 ,K,v n
u + v ↔ x u + x v
ru ↔ rx u

Insinöörimatematiikka 2 © J.T. Tanttu 14.11.2005 Lin 2-11
TTY, Pori
Dimensioteoreemat
Lause 2.14 Jos vektoriavaruuden kannassa on n vektoria, niin
jokainen :n osajoukko S, #S > n, on lineaarisesti riippuva.
Lause 2.15 Jos vektoriavaruudella on kanta B jossa on n
vektoria, niin jokaisessa :n kannassa on n vektoria.
Toisin sanoen äärellisdimensioisen vektoriavaruuden dimensio
dim() =# B
Lause 2.16 Jos V = span x 1 ,K,x n
osajoukko on :n kanta.
{ } niin joku joukon { x 1 ,K, x n }
Lause 2.17 Olkoon dim() = n ja B ⊂ . Jos joukolle B pätee
kaksi seuraavasta kolmesta ehdosta:
i) # B = n
ii) B on lineaarisesti riippumaton joukko
ii) = span(B)
niin B toteuttaa myös kolmannen ehdoista ja on vektoriavaruuden
kanta.