Tehtävät

Elektroniikan lämmönsiirto 2011
3. laskuharjoitukset keskiviikkona 19.10. klo 12.1513.45 luokassa 216
1. Totea laskemalla, että esimerkissä 2.14 johdettu kaava (2.132) antaa oikean lämpötilan
särmiön yläpinnan keskipisteessä. Ohje: Mathematical Handbookin kaava 21.15.
2. Pitkä, vaakasuora, suorakulmainen rima, jonka poikkileikkauksen leveys on 80 mm ja
korkeus 20 mm, on tehty aineesta, jonka lämmönjohtavuus po. olosuhteissa on keskimäärin
0,15 W / (m K). Riman neljästä pitkästä pinnasta kolme on hyvän lämpökontaktin ansiosta
vakioisessa lämpötilassa 50 °C, mutta yläpinta on alttiina kylmälle ulkoilmalle ja sen lämpötila
laskee reunoilta keskiviivalle, missä pintalämpötila on 10 °C. Riman pisimmän särmän
suunnassa lämpötilat eivät muutu. Laske a) lämpötila riman sisällä sen keskipisteessä ja
b) riman läpäisevä lämpövirta pisimmän särmän pituusyksikköä kohti.
Ohje: Tämän b-kohta on lukuarvoja lukuun ottamatta esimerkin 2.15 toisinto. Likiarvioi
leveyssuunnassa muuttuvaa lämpötilaa nytkin sinimuotoisella funktiolla. Saat käyttää
kaikkia esimerkissä johdettuja kaavoja, kunhan ymmärrät, miten ne on saatu. Nuo kaavat
sopivat hyvin pienin muutoksin nykyiseen tapaukseen. Vastaukset: a) 31 °C, b) 18 W/m.
3. Esimerkin 2.14 särmiön neljä pitkää pintaa ovat kaikki eri lämpötiloissa siten, että vasemmalla
pystypinnalla lämpötila on vakio T 10 , yläpinnalla T 20 , oikealla pystypinnalla T 30 , ja
alapinnalla T 40 . Laske särmiön lämpötilajakauma.
Ohje: Toimi samaan tapaan kuin esimerkissä 2.16, ts. jaa yksinkertaisempiin osatapauksiin,
joiden ratkaisujen summa niin ikään toteuttaa lineaarisen Laplacen yhtälön ja kelpaa alkuperäisen
tapauksen ratkaisuksi, mikäli toteuttaa sen reunaehdot. Nyt osatapauksia, joissa
kolmella pinnalla on yhteinen lämpötila, tarvitaan neljä, mutta ne kaikki ovat identtisiä
esimerkin 2.14 tapauksen kanssa ja kunkin ratkaisu on kaava (2.132), kun koordinaatistoa
sopivasti käännetään. Vastaus:
n
x
n
y
n
sin
sin
2 1
( 1)
a n
y n
( b y)
( )
20
sinh
40
sinh
b n
x n
a x
T
T
T30
sinh T10
sinh
n1
n
n
b
sinh
a
a n
a
sinh
b
b
a
b
4. Pienen suorakulmaisen uunin sisätilan mitat ovat 20 cm 20 cm 10 cm ja ulkokuoren
vastaavat mitat 40 cm 40 cm 30 cm. Sisä- ja ulkopinnat ovat ohutta metallia, joka on
erinomaista lämmönjohdetta ja hyvässä kontaktissa välissä olevaan eristeeseen, jonka
lämmönjohtavuus toimintalämpötilassa on keskimäärin 0,15 W/(mK). a) Laske uunin
vaatima pitoteho, kun sisäpinnan lämpötila on 300 °C ja ulkopinnan 70 °C. Kuinka suuri
suhteellinen virhe vastaukseen tuotettaisiin, jos tässä ei käytettäisi muototekijämenetelmää,
vaan yksinkertaista kaavaa (2.1) ottaen siinä pinta-alaksi uunin b) ulkopintojen ala, c) sisäpintojen
ala tai d) eristekerroksen puolivälistä kulkevan pinnan ala
Ohje: Vrt. esimerkki 2.17. Vastaukset: a) 97 W, b) +186 %, c) 43 % ja d) +50 %.
5. Laske esimerkin 2.18 öljyputken a) lämpötila loppupäässä ja b) lämmönhukkateho siinä
tapauksessa, ettei putken lämpökontakti ympäröivään maahan olekaan erinomainen, vaan
lämmönsiirtymiskerroin putken ja maan rajapinnassa on 20 W/(m 2 K).
Ohje: Rajapinnan ylityksestä aiheutuva lämpöresistanssi on sarjassa ympäröivän maan
läpäisemisen aiheuttaman lämpöresistanssin kanssa, joten se on lisättävä esimerkissä
saadussa kaavassa (2.168) lämpöresistanssia edustavaan lausekkeen osaan. Voit tehdä
tarvittavat muutokset suoraan tuohon kaavaan sitä uudelleen alusta asti johtamatta, kunhan
olet ensin varmasti ymmärtänyt, miten siihen on päästy. Vastaukset: a) 28 °C, b) 462 kW.
6. Radioaktiivinen jäte on haudattu maahan suorakulmaisessa arkussa, jonka pituus on 3,00 m,
leveys 1,20 m ja korkeus 0,60 m. Arkun kannen etäisyys maanpinnasta on 0,50 m. Arkun
materiaali johtaa erinomaisesti lämpöä, mutta ympäröivän kuivan maan lämmönjohtavuus
on 0,60 W/(mK). Jäte tuottaa jatkuvasti lämpöä 500 W teholla. Laske kuinka suureksi arkun
lämpötila voi korkeintaan nousta, jos maanpinnan lämpötila tuolla seudulla voi olla korkeintaan
30 °C. Ohje: Tee muototekijämenetelmän vaatimat lisäoletukset. Vastaus: 83 °C.