Rami Vainio Heli Hietala Tarkast - Lahti

Department of FinanceSales Tax DivisionTax Exempt Certificate Holdersas of June 10, 2014Organization Legal Name Trade Name or DBA (if any) AccountAcademy of Charter Schools The Academy 2940601Adams 12 Five Star Schools 3064601Adams Arapahoe District 28J Aurora Public Schools 3158401Adams County Education Consortium ACEC 2705501Adams County Housing Authority 2744501Adams County Interfaith Hospitality Network, Inc. Growing Home, Inc. 2631801Adams County School District 1 Mapleton Public Schools 3146801Adams County School District 14 Adams 14 3169101Adams County School District 27J 3189001Adams County School District 50 1212501Almost Home Adoptions 2582701Angel Covers 2304001Apostolic Faith Tabernacle 2981001Arapahoe County School District #6 Littleton Public Schools 3160601Boulder Valley School District RE-2 3160701Bullhead City Bread of Life Ministries, Inc. Living Word Ministries International 2780601Carson J. Spencer Foundation, Inc. 2761501Catholic Health Initiatives Colorado St. Anthony North Hospital 1226301Catholic Health Initiatives Colorado Foundation St. Anthony North Health Foundation 3159301Centura Health Corporation 3115401Church in the City 2725901Chihuahua & Small Dog Rescue, Inc. 3071801City of Westminster 2715301City of Westminster 136th Avenue General Improvement District 3048201City of Westminster 144th Avenue General Improvement District 3048301City of Westminster Amherst General Improvement District 3048401City of Westminster Mandalay Town Center General Improvement District 3048501City of Westminster Orchard Park Place North General Improvement District 3048601City of Westminster Promenade Parking General Improvement District 3048701City of Westminster Sheridan Crossing General Improvement District 3048801Clare of Assisi - Westminster, Inc. 1848601Clinica Campesina Family Health Services 2750501Colorado Community College System 3187101Colorado Legacy Foundation 3216201Colorado Nurses Foundation, Inc. 3129901Colorado Public Employees Retirement Assoc. PERA 2282601Colorado Ridge Covenant Church 2998601Community Food Share, Inc. 2843301Community Resources & Housing Development Corp fka Colorado Rural Housing Development Corp 1728001Cornerstone United Methodist Church Fellowship 2673901County of Adams 3201901Crown Pointe Academy 2631301Denver Bilble Church 3217501Denver Public Schools 3199501Denver Urban Gardens 2750601Devereux Cleo Wallace Foundation Cleo Wallace Center 1278001El Paso County School District #38 Lewis Palmer School District #38 3213701Episcopal Diocese of Colorado 2713301Family in Christ Community Christian Reformed Church 3078901Feline Alliance 2905401First Baptist Church of Westminster 3062101Front Range Community College 2631701Gideons International 3230101Girls Athletic Leadership School of Denver 3038101Goodwill Industries of Denver 1107701Healthy Learning Paths, Inc. 3062801Highland Baptist Church 2628601Hmong District of the Christian Missionary Alliance 3237901Page 1 of 2

TiivistelmäPerinteisessä Boltzmann-Gibbs (BG) -statistiikassa entropia on ekstensiivinensuure, jonka vaaditaan maksimoituvan tasapainotilassa. Tässä tutkielmassa perehdytäänyleistettyyn termodynaamiseen formalismiin, joka luo mahdollisuudentutkia myös systeemejä, joissa yllä mainitut ehdot eivät toteudu.Ensin kerrataan lyhyesti Boltzmannin entropian ymmärtämiseen vaadittavatkäsitteet, minkä jälkeen esitellään Tsallisin entropia, joka on Boltzmannin entropianyleistys epäekstensiivisiin systeemeihin. Esittelyn jälkeen tutkitaan Tsallisinentropian funktionaalin ominaisuuksia ja vastaavuuksia BG-entropiaan. Tsallisinentropian avulla esitellään yleistettyä termodynaamista formalismia lähtien mikrokanonisestaensemblestä ja päätyen Legendren muunnosten tutkimiseen kanonisessaensemblessä. Lopuksi keskustellaan lyhyesti sovellutuksista sekä teoriaatukevista mittauksista.

Sisältö1 Johdanto 42 Entropiasta yleisesti 53 Tsallisin entropian formalismi ja aksioomat 63.1 Parametri q ja yhtyminen BG-entropiaan . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Positiivisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Pseudosummautuvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Yleistetty termostatistiikka 104.1 BG-statistiikasta kohti yleistettyä termostatistiikkaa . . . . . . . . . . . 104.2 Mikrokanoninen ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Kanoninen ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Yhteenveto yleistetystä termostatistiikasta . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Sovelluksia 185.1 Epäekstensiivisen kaasun lämpökapasiteetti . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Yleistetty q-nopeusjakauma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Johtopäätökset 19

1 JohdantoStatistisen fysiikan tärkeimpiä käsitteitä on entropia, jonka avulla voidaan usein määrittääsysteemin termodynaamiset suureet ensimmäisen pääsäännön kautta. Tässä tutkielmassakerrataan ensin lyhyesti Boltzmannin entropian ymmärtämiseen vaadittavatkäsitteet, minkä jälkeen esitellään Tsallisin entropia, joka on Boltzmannin entropianyleistys. Tsallisin entropian avulla esitellään yleistettyä termodynaamista formalismiaja lopuksi keskustellaan lyhyesti sovellutuksista sekä teoriaa tukevista mittauksista.Makrotilalla statistisessa fysiikassa tarkoitetaan aineen kaukaa nähtävää termodynaamistatilaa. Makrotilaa kuvaavat systeemin tilamuuttujat, kuten lämpötila, tilavuusja energia. Mikrotilalla taas tarkoitetaan systeemin monihiukkastilaa, joka on yhdistelmäsysteemin hiukkasten ominaistiloista. Mikrotilat pitää ainakin periaatteessa pystyäerottamaan jollakin fysikaalisella kokeella toisistaan, jotta ne olisivat eri tiloja.Tietty makrotila voidaan saavuttaa monella erilaisella mikrotilalla. Entropia suureenamittaakin juuri kuinka monella erilaisella mikrotilalla saadaan tietty makrotila.Mikrotilojen lukumäärään vaikuttaa hiukkasten mahdollisten tilojen lisäksi myös hiukkastenkeskinäinen riippuvuus. Boltzmannin entropiassa oletetaan hiukkaset eroteltaviksi(identied), sekä riippumattomiksi toisistaan. Boltzmann-Gibbs (BG) -entropia onBoltzmannin entropian yleistys tilanteeseen, jossa kaikki mikrotilat eivät välttämättäole yhtä todennäköisiä tietyssä makrotilassa.Tsallisin entropia on yleistys BG-entropiasta epäekstensiivisiin systeemeihin ja tiloihin,jotka eivät ole termodynaamisessa tasapainossa. Tällaisia systeemejä ovat esimerkiksisysteemit, joissa esiintyy pitkän kantaman vuorovaikutuksia. Edellä mainituissasysteemeissä energia ei ole ekstensiivinen suure, eikä siksi entropiakaan.Tsallisin entropia on mahdollinen lähtökohta yleistetyn statistisen fysiikan teorianmuodostamiseen. Mahdollisia sovellutuksia on laajalti poikkitieteellisissä tutkimuskohteissaaina talouden mallinnuksesta biologiaan.4

2 Entropiasta yleisestiSysteemin makrotilasta ei voi suoraan entropiamittarilla määrittää entropiaa, vaanentropian määrittämiseksi on tiedettävä systeemin energia ja mahdollisten mikrotilojenlukumäärä. Ajan kuluessa systeemi pyrkii kohti todennäköisintä tilaansa, jolloin entropiamaksimoituu. BG-statistiikan systeemeissä on voimassa ergodinen hypoteesi, jokatarkoittaa systeemin ajallisen keskiarvon olevan yhtä suuri kuin keskiarvo yli tilastollisenensemblen. Voidaan sanoa, että rajat t → ∞ ja N → ∞ kommutoivat (tässä t onaika ja N systeemin hiukkasmäärä).Termodynaamisen systeemin entropia on funktio systeemin mahdollisten mikrotilojenlukumäärästä W makrotilassa. Yleisesti diskreetissä tapauksessaW =n!∏m n m! , (2.1)jossa alaindeksi m viittaa hiukkasen eri tiloihin, n hiukkaslukumäärään ja n m tilassa molevien hiukkasten määrään. Lisäksi kaavan (2.1) esitys mikrotilojen lukumäärälle päteevain, jos hiukkaset ovat identtisiä. Jotta tästä päästäisiin eteenpäin, tulee määrittääentropian funktionaali, josta saatavat tulokset ovat sopusoinnussa mittausten kanssa.BG-statistiikassa tämä postulaatiksi otettu fundamentaalinen funktionaali on kuuluisaBoltzmannin entropiaS = k B ln(W ).Vaatimalla entropian maksimoitumisen, sekä käyttämällä systeemille asetettuja ehtoja,saadaan haluttu tilojen jakauma. Edellä mainittuja ehtoja voisivat olla esimerkiksi U =∑m n mE m = vakio ja N = ∑ m n m = vakio. BG-statistiikassa saatu tilojen jakaumapätee vain tasapainotilassa, koska entropian maksimoituminen vaadittiin nimen omaantasapainotilassa.BG-statistiikan mukainen jakauma ei kuitenkaan ole ainoa jakauma, joka toteuttaavaaditut ehdot. Kokonaan erilainen tilojen jakauma saataisiin toistamalla sama menet-5

tely Tsallisin entropiaanmissä k BS q ≡k Bq − 1[1 −W∑i=1p q i], (2.2)on Boltzmannin vakio, {p i } tilojen todennäköisyydet ja q parametri, jokakuvaa systeemin epäekstensiivisyyttä.3 Tsallisin entropian formalismi ja aksioomat3.1 Parametri q ja yhtyminen BG-entropiaanKappaleessa 2 mainittiin lyhyesti parametrin q kaavassa (2.2) liittyvän systeemin ekstensiivisyyteen.Kyseinen parametri kuvaakin juuri entropian summautumista yhdistetyssäsysteemissä. Jos q < 1, on yhdistetyn systeemin entropia suurempi kuin osasysteemienyhteenlaskettu entropia, jolloin puhutaan ylisummautuvuudesta (superadditivity).Kääntäen: jos q > 1, puhutaan alisummautuvuudesta (subadditivity) ja tällöinyhdistetyn systeemin entropia on pienempi kuin osasysteemien yhteenlaskettu entropia.Tarkemmin summautuvuutta tarkastellaan kappaleessa 3.3.Seuraavaksi tarkastellaan tilannetta q → 1 ja osoitetaan, että tällöin Tsallisin entropiayhtyy BG-entropiaan. Käyttämällä hyväksi ehtoa ∑ W1 p i = 1, voidaan Tsallisinentropian kaava (2.2) esittää muodossa:S q = −k bq − 1[∑ W] [p q i − 1 ∑ W= −k bi=1i=1](p q i − p i).q − 1Otetaan seuraavaksi raja-arvo jokaisesta termistä erikseen ja saadaan:[lim S ∑ Wq = lim −k bq→1 q→1i=1](p q i − p i)q − 1∑ W [ (pq= −k b limq→1i=1i − p i)q − 1].6

Tehdään muuttujan vaihto x = q − 1, ja voidaan esittää ylläoleva tulos muodossa:lim S q = lim S q = −k bq→1 x→oKäyttämällä hyväksi tulosta [1]∑ Wlimx→0i=1limx→0[ (px+1i − p i )x]∑ W= −k bi=1[ ] (pxp i lim i − 1).x→0 x[ ] (pxi − 1)= ln(p i ) , (3.1)xsaadaan:limq→1 S q = −k bW∑i=1[ ] (pxp i lim i − 1)x→0 x∑ W= −k b p i ln(p i ) = S BG .Saatiin siis tulos, jonka mukaan Tsallisin entropia yhtyy Gibbs-Boltzmann-entropiaanq-parametrin lähestyessä arvoa 1.i=13.2 PositiivisuusTutkitaan Tsallisin entropian mahdollisia arvoja vaatimalla ehdot ∑ Wi=1 p i = 1 ja q ∈ R,sekä kirjoittamalla kaava (2.2) uudestaan muotoon:S q =k bq − 1W∑i=1p i (1 − p q−1i ). (3.2)Tässä vaiheessa huomautettakoon, että tilanteessa q < 0 pitäisi hylätä kaikki todennäköisyydetp i = 0, koska näissä todennäköisyyksissä summan termi hajaantuu. Edellinentilanne on helpompi huomata kaavasta (2.2) suoraan. Keskitymme tässä kappaleessa tilanteeseenq > 0.Tapauksessa W = 1=⇒ ∑ Wi=1 p i = p 1 = 1, ja näin ollen S q saa arvon 0, joka onhelposti nähtävissä suoraan kaavasta (2.2).Tapauksessa 0 < q < 1, kirjoitetaan kaava7

(3.2) muotoonS q = k bxW∑p i (1 − p x i ) ,i=1jossa x ∈] − 1, 0[. Koska pätee, että 0 ≤ p i < 1 kaikilla W ≠ 1, niin p x i > 1 =⇒ S q > 0,kun 0 < q < 1. Tapauksessa q > 1 kirjoitetaan kaava (3.2) muotoonS q = k byW∑p i (1 − p y i ) ,i=1jossa y on positiivinen luku. Jälleen pätee että p i < 1 kaikilla W ≠ 1, mutta nyt p y i < 1,joten jokainen summan termi on positiivinen ja S q saa vain positiivisia arvoja. Parametrinq lähestyessä arvoa 1, Tsallisin entropia muuttuu Gibbs-Boltzmann entropiaksi,joka saa myös vain positiivisia arvoja. Pätee siisS q ≥ 0, ∀q > 0, ∀ {p i } .3.3 PseudosummautuvuusBG-entropialla on summautuvuusominaisuus, joka johtuu entropian ekstensiivisyydestä.Summautuvuusominaisuus voidaan esittää S(A + B) = S(A) + S(B), missä S(A)on systeemin A entropia ja S(B) systeemin B entropia. Yhdistetyn systeemin entropiasaadaan siis yksinkertaisesti summaamalla osasysteemien entropiat yhteen. Tässä onoletettu systeemit A ja B vuorovaikuttamattomiksi. Tämä oletus on yhtäpitävä ekstensiivisyysoletuksenkanssa.Pseudosummautuvuus on Tsallisin entropian summautuvuusominaisuus yhdistetyllesysteemille. Summautuvuuden tutkimiseksi oletetaan siis systeemit A ja B toisistaantodennäköisyyden mielessä riippumattomiksi siten, että p i,j (A + B) = p i (A)p i,j (B |A) = p i (A)p j (B), joissa alaindeksit i ja j viittaavat todennäköisyyteen löytää systeemitilasta i ja j.Tällöin Tsallisin entropia yhdistetylle systeemille voidaan kirjoittaa:8

[] [S q (A + B)= 1W A ,W∑ B1 − p q i,j = 1 1 −k b q − 1q − 1i,jW A ,W∑ Bi,jp q i pq j](3.3)Toisaalta pätee seuraava yhteys:(1 − q) S q(A) S q (B)k b k b[= −1 ∑W A1 −q − 1j=1i=1p q i] [∑W B1 −i=1j=1[= 1 ∑W B W A W−1 + p q jq − 1+ ∑A ,W Bp q i − ∑[(= 1 ∑W B W A−2 + p q jq − 1+ ∑= − S q(A)k bj=1i=1p q i)− S q(B)k b+ 1q − 1+[(1 −i,j1 −p q j]W A ,W∑ Bi,jp q i pq jW A ,W∑ Bi,jp q i pq j]p q i pq j])](3.4)Yllä olevan kaavan oikean puoleinen hakasuluissa oleva termi on juuri kaavan (3.3) mukainenyhdistetyn systeemin entropia. Tällöin voidaan tulos (3.4) ilmaista seuraavasti:(1 − q) S q(A) S q (B)= S q(A + B)− S q(A)− S q(B)k b k b k b k b k bRatkaisemalla tästä yhdistetyn systeemin entropia saadaan Tsallisin entropian summautuvuus:S q (A + B)k b= S q(A)k b+ S q(B)k b+ (1 − q) S q(A) S q (B)(3.5)k b k bKaavasta (3.5) huomataan pseudosummautuvuuden muuttuvan Gibbs-Boltzmanentropian noudattamaksi puhtaaksi summautuvuudeksi parametrin q lähestyessä arvoa1. Tämä oli odotettavissa oleva tulos, koska kuten jo kappaleessa 3.1 johdettiin,yhtyy Tsallisin entropia Gibbs-Boltzmann entropiaan rajalla q = 1.Yhtälön (3.5) mukaan yhdistetyn systeemin entropia voidaan laskea osasysteemienentropiasta ja epäekstensiivisyydestä, ilman tarkempaa tietoa systeemien ominaisuuk-9

kooppisiin ominaisuuksiin käsitellään tämän tietyn entropiafunktionaalin kautta. Kolmenyleistetyn entropian, Tsallisin entropian, normalisoidun Tsallisin entropian ja Rényinentropian on näytetty olevan sopusoinnussa termodynamiikan ensimmäisen pääsäännönkanssa [2]. Nämä kaikki kolme täyttävät entropian muodostettavuuden (composability),jota on tarkemmin käsitelty kappaleessa 3.3.Kaikki kolme edellä mainittua entropiaa toteuttavat ehdon entropian maksimoitumisestajollain stationaarisella tilalla ensimmäisen pääsäännön määräämällä tavalla.Rényin entropia sekä normalisoitu Tsallisin entropia eivät kuitenkaan täytä fysikaalisestihavaittavan entropian stabiilisuusehtoja. Tsallisin entropia puolestaan on stabiilimielivaltaisella todennäköisyysjakaumalla ja kelpaa siten pohjaksi yleistetylle statistisellemekaniikalle [2, 3].4.2 Mikrokanoninen ensembleSuljettua systeemiä kuvaavan mikrokanonisen ensemblen tapauksessa maksimoidaanentropian funktionaali ehdolla ∑ Wi=1 p i = 1. Lagrangen kertojien avulla voidaan osoittaa,että Gibbs-Boltzmann entropian tavoin myös Tsallisin entropia maksimoituu, kunjokaisen tilan todennäköisyys on yhtä suuri [4]. Tällöin jokaisen tilan todennäköisyysp i = 1 /W, jolloin kaava (2.2) voidaan esittää muodossa:S q =k bq − 1[1 −W∑i=1p q i]= k bq − 1[1 −W∑i=1]1= k b[W 1−q − 1 ] . (4.1)W q 1 − qNähdään käyttämällä hyväksi tulosta (3.1), ettälimq→1k b[W 1−q − 1 ] = k b ln(W ) = S BG .1 − qMääritellään seuraavaksi apufunktiot1e x q ≡ [1 + (1 − q)x] 1 − q , (4.2)11

sekäln q (x) ≡ x1−q − 11 − q, (4.3)jotka toteuttavat ehdot e x 1 = e x , ln 1 (x) = ln(x), sekä[] 1eq lnq(x) = 1 + (1 − q) x1−q − 1 1 − q [= 1 + x 1−q − 1 ] 11 − q = x.1 − qNäiden määriteltyjen apufunktioiden avulla voidaan Tsallisin entropia mikrokanonisessasysteemissä esittää Boltzmannin entropiaa muistuttavassa muodossa:S q = k b ln q (W ).Relaatiosta (4.1) voidaan ratkaista W ja kirjoittaa:W =[1 + (1 − q) S qk b] 11 − q .Käyttämällä tilastotieteen käsitettä uskottavuusfunktio, tässä yhteydessä P ({p i }), voidaantodennäköisyys entropian maksimoivasta tilasta eroavalle tilalle {p i }esittää [5]:P ({p i }) ∝[1 + (1 − q) S ] 1q ({p i }) 1 − q . (4.4)k bEsitellään seuraavaksi Rényin entropia, joka on Shannonin entropian yleistys:S SRα =log 2( ∑Wi=1 pα i1 − α),missä α ≥ 0. Tsallisin entropialla on yhteys Rényin entropiaan, joka nähdään kirjoittamalla12

[log 2 1 + (1 − q) S ]qk b1 − q=1log 2[1 + (1 − q)q − 11 − q(1 − ∑ ) ]Wi=1 pq i=log 2( ∑Wi=1 pq i1 − q)= S SRq ,jossa SqSR on Rényin entropia. SqSRon summautuva, jos ajatellaan makroskooppisensysteemin koostuvan riippumattomista makroskooppisista osasysteemeistä [5]. Tällöinvoidaan mikrokanonisen ensemblen statistiikan käsittelyn helpottamiseksi tulos (4.4)esittää Rényin entropian avulla:P ({p i }) ∝ e SSR q ({p i })4.3 Kanoninen ensembleSeuraavaksi tutkitaan kanonisen systeemin termodynamiikkaa yleistetyn termostatistiikannäkökulmasta. Määritellään yleistetty kanoninen systeemi ja vaaditaan entropian,tässä tapauksessa Tsallisin entropian S q maksimoituvan tasapainotilassa. Tämän avullapäästään käsiksi termodynaamisiin potentiaaleihin sekä termodynaamisiin suureihin,kuten lämpötilaan. Tätä ennen kuitenkin esitellään erilaisia kirjallisuudessa käytettyjävaihtoehtoja yleistetyn sisäenergian määritelmäksi.Systeemin yleistetty sisäenergia voidaan määritellä useammalla eri tavalla. Seuraavaksiesiteltävät määritelmät ovat kirjallisuudessa yleisimmin käytettyjä:U (1)q≡W∑i=1p µqi ε i , U q(2) ≡∑ Wi=1 pq i ε i∑ Wi=1 pq i, (4.5)missä ε i on jokin reaaliarvoinen tilaan i liittyvä luku, tässä tapauksessa tilan i energia.Kaavassa (4.5) µ q on funktio, josta lisää seuraavassa kappaleessa. Käsittelyn helpottamiseksimääritellään tästä eteenpäin k b = 1.Seuraavaksi tutkitaan tapausta, jossa valitaan yleistetyn sisäenergian määritelmäksikaavan (4.5) esitys U q(1) . Kanonisen systeemin tapauksessa maksimoidaan entropia13

ehdolla ∑ Wi=1 p i = 1, sekä vaaditaan sisäenergian olevan käsiteltävälle systeemille kiinteäsuure. Tämän variaatio-ongelman ratkaisuna tapauksessa µ q = 1 käyttäen Boltzmanninentropian funktionaalia saataisiin tunnetut BG-statistiikan tulokset. Yleistetyntermostatistiikan tapauksessa variaatio-ongelman ratkaisuna saadaan:qq − 1 pq−1 i + βqε i p µq−1i − α = 0 , (4.6)missä α ja β ovat Lagrangen kertojia. Yksinkertaisin ratkaisu kyseiselle variaatioongelmalleon olettaa lineaarisuus p q−1isuhteen, jolloin µ q = q tai µ q = 1. Jälkimmäistätapausta on käsitelty viitteessä [4]. Voidaan kuitenkin osoittaa, että näistä kahdestaµ q :n arvosta vain µ q = q tuottaa BG-statistiikkaan rinnastettavalla tavalla määritellyttermodynaamiset suureet [8].Kaikki edellisissä kappaleissa esitellyt sisäenergian määritelmät toteuttavat termodynamiikanLegendren muunnosten formalismin perinteiseen termodynamiikkaan rinnastettavallatavalla. Myöhemmin tässä tutkielmassa perehdytään tarkemmin formalisminjohtamiseen valitsemalla sisäenergian määritelmäksi U q(1) , josta johdettua formalismiakutsumme ensimmäiseksi formalismiksi.Määritelmällä U (2)qjohdetulla formalismilla, jota kutsumme toiseksi formalismiksi,on kuitenkin joitakin etuja ensimmäiseen formalismiin verrattuna. Toisin kuin ensimmäisessäformalismissa, tällä tavalla johdetut todennäköisyysjakaumat ovat invarianttejaenergian nollatason siirrossa. Käytännössä tämä ei ole ollut suuri ongelma, koskaenergian nollatasoksi on voitu valita 0. Toinen etu on liittyy observaabelien normienparempaan säilyvyyteen. Merkittävää tälläinen voi olla tilanteessa, jossa observaabelinpitäisi olla liikevakio. Kolmantena etuna toisessa formalismissa on sisäenergian eksplisiittinenekstensiivisyys, joka on klassisen energian säilymisen kannalta haluttava ominaisuus.Jos lämpötilan vaikutuksesta ei olla kiinnostuneita, esimerkiksi jos lämpötilaon sovitusparametri, voidaan kuitenkin hyvin käyttää ensimmäistä formalismia.[11]1990-luvun julkaisuissa on enimmäkseen käytetty sisäenergian määritelmänä U q(1) :stavalinnalla µ q = q. Tämän määritelmän avulla on osoitettu lukuisia q-invariantteja tu-14

huomataan, että käyttämällä apufunktiota (4.3) sisäenergia U q voidaan ilmaista:U q = − ∂∂β ln q(Z q ) , (4.8)joka jälleen rajalla q = 1 tuottaa BG-statistiikan tuloksen U 1 = − ∂∂β ln(Z 1).Tähän mennessä johdetut tulokset ovat muistuttaneet BG-statistiikan tuloksia,ainoana erona on ollut eksponenttifunktion ja logaritmin korvaaminen yleistetylläq-eksponenttifunktiolla ja q-logaritmilla. Siirryttäessä termodynamiikan Legendren muunnostenformalismiin ja määrittelemällä näin termodynaamiset potentiaalit, huomataanyhtäläisyydet myös näissä [7].Aloitetaan Legendren muunnosten tutkiminen tekemällä muunnos suureeseen ln q (Z q )parametrin β ≡ 1 T suhteen1 ja käyttämällä hyväksi tulosta (4.8). Tällöin saadaan yhtälö[8]:ln q (Z q ) − β ∂∂β Z q = ln q (Z q ) + βU q = S q , (4.9)josta saadaan jälleen BG-statistiikan vastaavaa tulosta ∂S∂U = 1 Tmuistuttava relaatio∂S q∂U q= 1 T . (4.10)Termodynaamiset potentiaalit saadaan tekemällä Legendren muunnos yleistetyn sisäenergianU q suhteen. Esimerkiksi yleistetty Helmholtzin vapaa energia F q saadaantekemällä muunnos yleistetyn entropian suhteen ja käyttämällä relaatiota (4.10):F q ≡ U q − S q∂U q∂S q= U q − T S q ,1k B β1 Lagrangen kertojan arvo β = 1 Tsaadaan vastaavasti kuin BG-statistiikassa postuloimalla T ≡16

josta saadaan tuloksen (4.9) avulla:F q = U q − T (ln q (Z q ) + βU q ) = − 1 β ln q(Z q ) .Edelleen voidaan määrittää yleistetty lämpökapasiteettiC q ≡ T ∂S q∂T = ∂U q∂T = −T ∂2 F q∂T 2 .Lisähuomiona mainittakoon vielä, että lämpötilan kasvaessa kanoninen tilasumma lähestyymikrokanonista tilasummaa BG-statistiikan tapaan:lim Z q = limβ→0 β→0W∑i=11 W1∑[1 − β(1 − q)ε i ] 1 − q = (1) 1 − q = W4.4 Yhteenveto yleistetystä termostatistiikastaAikaisemmin tässä kappaleessa johdetut tulokset indikoivat vahvasti koko termodynaamisenLegendren muunnosten formalismin säilymistä yleisessä teoriassa. Onkin voituosoittaa, että asia on juuri näin. Tämä on erikoistapaus niinsanotusta q-invarianttiudesta,jolla tarkoitetaan standardin statistisen fysiikan muodon säilymistä q-formalismissa.Lista osasta q-invarianteiksi osoitetuista asioista löytyy viitteestä [12] sivut 7-9, uudempiaartikkeleita sovellutuksista löytyy esimerkiksi viitteestä [16].Varsinaisia teorian tuloksia varten pitäisi kuitenkin pystyä määrittämään, mitä tarkalleensysteemin epäekstensiivisyyden mitta eli parametri q kuvaa. Ilman numeroarvoaparametrille q ei termodynaamisille suureille saada mittauksissa todettavia arvoja.Usein lähdetäänkin fysiikalle ominaiseen tapaan mittaustuloksista liikkeelle ja pyritäänsaamaan siten ymmärrystä q-parametrista.i=117

5 Sovelluksia5.1 Epäekstensiivisen kaasun lämpökapasiteettiKuten aikaisemmin tässä tutkielmassa on mainittu, BG-statistiikan antamat tuloksetlämpökapasiteetille epäekstensiivisissä systeemeissä eivät vastaa mittaustuloksia. Tällaisiaepäekstensiivisen kaasun systeemejä ovat esimerkiksi epätasapainotilassa olevaplasma ja itsegravitoivat systeemit, joissa pitkän kantaman vuorovaikutuksia ei voidajättää huomioimatta. Näiden systeemien mallintamiseen on haettu ratkaisuja Tsallisinstatistiikasta.Esimerkiksi klassisessa ideaalikaasumallissa oletetaan, ettei hiukkasten välillä olevuorovaikutusta. Todellisuudessa hiukkasten välillä on toki gravitaatiovaikutus, muttauseimmiten gravitaatiovaikutus on niin olematon, että se voidaan hyvällä tarkkuudellajättää huomioimatta. Jos kuitenkin tutkitaan kaasua matalassa lämpötilassa, onkineettisen energian osuus kokonaisenergiasta huomattavasti pienempi kuin korkeassalämpötilassa. Lämpötilaa pienennettäessä alkaa hiukkasten potentiaalienergialla, johonmyös gravitaatiolla on vaikutus, olla yhä suurempi vaikutus systeemin käyttäytymiseen.Tällaisia kaasuja, joissa gravitaatio vaikuttaa kaasun käyttäytymiseen, ei voidaenää hyvällä tarkkuudella pitää ekstensiivisinä.Yleistettyä Tsallisin statistiikan ideaalikaasumallia käyttämällä ollaan voitu saadaBG-statistiikkaa paremmin mittaustuloksia vastaavia arvoja matalan lämpötilan kaasuissa[14]. Tässä mallissa lähtökohdaksi on otettu yleistetty kahden atomin molekyylinkaasu ja laskettu kaasun energian q-odotusarvo. Matalissa lämpötiloissa q-parametrinhieman arvoa 1 pienemmät arvot ovat tuottaneet laskennallisesti oikeita arvoja CO,O 2 ja N 2 -kaasuille. Nämä parametrin q arvot vastaavat systeemin hienoista epäekstensiivisyyttäja näin ollen tulokset ovat sopusoinnussa edellisessä kappaleessa esitettyjenperiaatteiden kanssa.18

5.2 Yleistetty q-nopeusjakaumaBG-statistiikassa on voitu johtaa Maxwellin nopeusjakauma hiukkasille tasapainotilassa.Vastaavalla tavalla, lähtien Tsallisin entropian lausekkeesta, voidaan johtaa yleistettyq-nopeusjakauma [15]:( mf q (v) = nB q2πkT) 32[1 − (1 − q) mv22kT1] 1 − q,missä B q on parametriin q liittyvä normitustekijä, n hiukkasten lukumäärätiheys, kBoltzmannin vakio, T lämpötila ja m ja v hiukkasen massa ja nopeus.Tsallisin nopeusjakaumaa on sovellettu esimerkiksi magnetoitumattoman ja törmäyksettömäntermisen plasman tutkimiseen [16]. Lähtemällä liikkeelle yleistetystä q-nopeusjakaumasta on voitu muuan muassa analyyttisesti johtaa dispersiorelaatiot plasmaoskillaatioille.Saatuja q-yleistettyjä teoreettisia tuloksia on verrattu Bohm-Gross jaLandau -vaimennettuihin aaltoihin. Vahvaa näyttöä Tsallisin formalismin hyväksi onsaatu parametrin q arvoilla q < 1, jolloin teorian tulokset vastaavat mittaustuloksia.q-nopeusjakauman on osoitettu tuottavan mittaustulosten kanssa sopusoinnussa oleviatuloksia myös muun muassa itsegravitoivissa systeemeissä ja polytroopeissa [16].6 JohtopäätöksetNormaalissa BG-statistiikassa postuloidaan Bolzmannin entropian kaava, jonka ympärillelähdetään rakentamaan statistisen fysiikan formalismia. Bolzmannin entropiallavoidaan kuitenkin kuvata vain systeemiä, joka on tasapainotilassa ja jossa entropiaon ekstensiivinen suure. Epäekstensiivisyyttä esiintyy esimerkiksi systeemeissä, joissaon pitkän kantaman vuorovaikutuksia. Laajennusta Boltzmannin entropiaan on haettuTsallisin entropiasta, jossa systeemin epäekstensiivisyyttä mallinnetaan niin sanotullaq-parametrilla. Muuttamalla parametrin q arvoa voidaan mallintaa alisummautuviasekä ylisummautuvia systeemejä.19

Postuloimalla Tsallisin entropia ja toistamalla tähän entropian funktionaaliin BGstatistiikanproseduurit, saadaan esimerkiksi termodynaamisille suureille BG-statistiikkaamuodoltaan vastaavia tuloksia. Ainoana erona näissä tuloksissa on oikeastaan eksponentti-ja logaritmifunktioiden korvaaminen q-eksponentti- ja q-logaritmifunktioilla,tätä ominaisuutta kutsutaankin q-invarianttiudeksi. q-invarianttiutta löytyy laajaltimyös muilta statistisen fysiikan osa-alueilta. Rajalla q → 1 tuottaa yleistetty formalismiBG-statistiikan tulokset.Epäekstensiivisissä systeemeissä ja epätasapainotiloissa esimerkiksi BG-statistiikallalasketut sisäenergia ja tilasumma usein hajaantuvat. Kuitenkin näistä riippuvat mitattavatsuureet, kuten lämpökapasiteetti, voivat olla hyvin käyttäytyviä ja mitattavissaolevia. Soveltamalla yleistettyä formalismia ja määrittämällä systeemin epäekstensiivisyys,eli parametrin q arvo, voidaan teoria usein saattaa muotoon, jossa mittaustuloksetvastaavat teoriaa. Tsallisin entropiaa on laajalti sovellettu myös fysiikan ulkopuolella,esimerkiksi riskianalyysien ja informaation teorioissa.20

Viitteet[1] http://demonstrations.wolfram.com/TheNaturalLogarithmIsTheLimitOfTheIntegralsOfPowers/ (11.1.2010).[2] S. Abe, Tsallis entropy: how unique?, Continuum Mech. Thermodyn. 16, 237(2004).[3] S. Abe, Stability of Tsallis entropy and instabilities of Rényi and normalized Tsallisentropies: A basis for q-exponential distributions, Phys. Rev. E 66, 046134 (2002).[4] C. Tsallis, Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics, J. Stat. Phys 52,479 (1988).[5] C. Tsallis, Some Comment on Boltzmann-Gibbs Statistical Mechanics, Chaos,Solitons & Fractals 6, 539 (1995).[6] A. Rényi, Probability theory,North-Holland, Amsterdam (1970).[7] A. Plastino, A.R. Plastino, Phys. Lett. A 226, 257 (1997).[8] E. M. F. Curado, C. Tsallis, Generalized statistical mechanics: connection withthermodynamics, J. Phys. A 24, L69-L72 (1991), Corrigenda: J. Phys. A 24, 3187(1991) ja 25, 1019 (1992).[9] S. Abe, G. B. Bagci, Necessity of q-expectation value in nonextensive statisticalmechanics, Phys. Rev. E 71, 016139 (2005).[10] A. M. Scarfone, T. Wada, Equivalence among dierent formalisms in the Tsallisentropy framework, Physica A 384, 305 (2007).[11] C. Tsallis, R. S. Mendes, A. R. Plastino, The role of constraints within generalizednonextensive statistics, Physica A 261, 534 (1998).[12] C. Tsallis, Nonextensive Statistics: Theoretical, Experimental and ComputationalEvidences and Connections, Braz. J. Phys. 29, 1 (1999).21

[13] M. Sugiyama, Introduction to the topical issue: Nonadditive entropy andnonextensive statistical mechanics, Continuum Mech. Thermodyn. 16, 221 (2004).[14] G. Lina, D. Jiulin, Heat capacity of the generalized two-atom and many-atom gasin nonextensive statistics, Physica A 388, 4936 (2009).[15] R. Silva, A. R. Plastino, J. A. S. Lima, Phys. Lett. A 249, 401 (1998).[16] J. A. S. Lima, R. Silva, J. Santos, Phys. Rev. E 61, 3260 (2000).22