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Modèle des bâtonnets durs ce qui donne βP ρ = 1 1 − σρ où ρ = N/L. Le potentiel chimique d’excès est donné par la relation (C.7) exp(−βµex) = (1 − ρ) exp(− ρ ). (C.8) 1 − ρ Les fonctions de corrélation peuvent également être calculées analytiquement. C.2 Modèle du parking L’addition séquentielle aléatoire est un processus stochastique où des particules dures sont ajoutées séquentiellement dans un espace de dimension D à des positions aléatoires en respectant les conditions qu’aucune nouvelle particule ne doit recouvrir une particule déjà insérée et qu’une fois insérées, les particules sont immobiles. La version unidimensionnelle du modèle est connue sous le nom du problème du parking et a été introduite par un mathématicien hongrois, A. Rényi, en 1963. Des bâtonnets durs de longueur σ sont jetés aléatoirement et séquentiellement sur une ligne en respectant les conditions ci-dessus. Si ρ(t) représente la densité de particules sur la ligne à l’instant t, la cinétique du processus est gouvernée par l’équation maîtresse suivante : ∂ρ(t) ∂t = kaΦ(t), (C.9) où ka est une constante de vitesse par unité de longueur (qui l’on peut choisir égale à l’unité en changeant l’unité de temps) et Φ(t), qui est la probabilité d’insertion à l’instant t, est aussi la fraction de la ligne disponible pour l’insertion d’une nouvelle particule à t. Le diamètre des particules est choisi comme unité de longueur. Il est utile d’introduire la fonction de distribution des intervalles G(h, t), qui est définie telle que G(h, t)dh représente la densité de vides de longueurs comprises entre h and h + dh à l’instant t. Pour un intervalle de longueur h, le vide disponible pour insérer une nouvelle particule est h − 1, et en conséquence la fraction de la ligne disponible Φ(t) est simplement la somme de (h − σ) sur l’ensemble des intervalles disponibles, i.e. G(h, t) : Φ(t) = ∞ σ dh(h − 1)G(h, t). (C.10) Comme chaque intervalle correspond à une particule, la densité de particules ρ(t) s’exprime comme ρ(t) = ∞ 0 dhG(h, t), (C.11) tandis que la fraction de la ligne non recouverte est reliée à G(h, t) par la relation 1 − ρ(t) = ∞ 0 114 dhhG(h, t). (C.12)
C.2 Modèle du parking Les deux équations précédentes représentent des règles de somme pour la fonction de distribution des intervalles. Durant le processus, cette fonction G(h, t) évolue comme ∂G(h, t) ∂t ∞ = −H(h − 1)(h − 1)G(h, t) + 2 dh h+1 ′ G(h ′ , t), (C.13) où H(x) est la fonction de Heaviside. Le premier terme du membre de droite de l’équation (C.13) (terme de destruction) correspond à l’insertion d’une particule à l’intérieur d’un intervalle de longueur h (pour h ≥ 1), tandis que le second terme (terme de création) correspond à l’insertion d’une particule dans un intervalle de longueur h ′ > h + 1. Le facteur 2 tient compte des deux possibilités de créer un intervalle de longueur h à partir d’un intervalle plus grand de longueur h ′ . Notons que l’évolution temporelle de la fonction de distribution des intervalles G(h, t) est entièrement déterminée par des intervalles plus grands que h. Nous avons maintenant un ensemble complet d’équations, qui résulte de la propriété que l’insertion d’une particule dans un intervalle donné n’a aucun effet sur les autres intervalles (effet d’écrantage). Les équations peuvent être résolues en utilisant l’ansatz suivant, pour h > σ, ce qui conduit à G(h, t) = F (t) exp(−(h − 1)t), (C.14) F (t) = t 2 t exp −2 0 du 1 − e−u . (C.15) u En intégrant alors l’équation (C.13) avec la solution de G(h, t) pour h > 1, on obtient G(h, t) pour 0 < h < 1, t F (u) G(h, t) = 2 du exp(−uh) . (C.16) u 0 Les trois équations (C.10), (C.11) et (C.12) conduisent bien évidemment au même résultat pour la densité ρ(t), t u 1 − e−v ρ(t) = du exp −2 dv . (C.17) v 0 Ce résultat a été obtenu la première fois par Rényi. Une propriété non évidente du modèle est que le processus atteint une limite d’encombrement (quand t → ∞) à laquelle la densité sature pour une valeur ρ∞σ = 0.7476 . . . ; celle-ci est de manière significative plus petite que la densité d’encombrement géométrique maximale (ρ∞ = 1) qui est obtenue quand les particules peuvent diffuser sur la ligne. De plus, il est facile de voir que la limite d’encombrement dépend des conditions initiales : ici, nous sommes partis d’une ligne vide. Au contraire, à l’équilibre, l’état final du système est déterminé seulement par le potentiel chimique et ne garde aucune mémoire de l’état initial. La cinétique aux temps longs peut être obtenue à partir de l’équation (C.17) : ρ∞ − ρ(t) e −2γ 1 t 115 0 (C.18)
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