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Théorie de la réponse linéaire
Ainsi, la variable 〈∆B(t)〉 = 〈B(t)〉 − 〈B(−∞)〉 évolue comme
〈∆B(t)〉 =
dr N
N
dp f (N) (r N , p N , t) − f (N)
0 (r N , p N )
B(r N )dr N dp N .
(A.9)
A l’ordre le plus bas, la différence des distributions de Liouville est donnée par
l’équation (A.8) et l’équation (A.9) devient
〈∆B(t)〉 = − dr N dp N
t
exp(−i(t − s)L0){A, f (N)
0 }B(r N )F (s)ds
= −
dr N dp N
−∞
t
i=1
−∞
{A, f (N)
0 } exp(i(t − s)L0)B(r N )F (s)ds
en utilisant l’hermiticité de l’opérateur de Liouville.
En calculant le crochet de Poisson, il vient que
{A, f (N)
N
∂A ∂f
0 } =
∂ri
i=1
(N)
0 −
dpi
∂A ∂f
∂pi
(N)
0
dri
N
∂A ∂H
= − β
∂ri
(N)
0 −
dpi
∂A ∂H
∂pi
(N)
0 f
dri
(N)
0
= − βiL0Af (N)
0
= − β dA(0) (N)
f 0 dt
(A.10)
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
En insérant l’équation (A.15) dans l’équation (A.11), on a
〈∆B(t)〉 = β dr N dp N
t dA(0)
exp(−i(t − s)L0)B(r
dt
N )F (s)ds (A.16)
En utilisant le fait que
−∞
l’équation (A.16) devient
t
〈∆B(t)〉 = β
B(r N , t) = exp(−i(t − s)L0)B(r N ) (A.17)
−∞
ds B(t − s) dA(0)
F (s) (A.18)
dt
On définit la fonction de réponse linéaire de B par rapport à F comme
〈∆B(t)〉 =
∞
−∞
dsχ(t, s)F (s) + O(F 2 ) (A.19)
Compte tenu de l’équation (A.18), on trouve les propriétés suivantes :
1. La fonction de réponse (près) de l’équilibre est invariante par translation
dans le temps
χ(t, s) = χ(t − s) (A.20)
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