MÉCANIQUE DES FLUIDES MÉCANIQUE DES FLUIDES

Licence de Physique et Applications Année 2008-2009
MÉCANIQUE MÉCANIQUE DES DES FLUIDES
FLUIDES
TRAVAUX DIRIGÉS
TD 1 : Statique des fluides
TD 2 : Cinématique des fluides
TD 3 : Dynamique des fluides
parfaits
TD 4 : Dynamique des fluides réels

TD 1 Hydrostatique
Loi fondamentale de l’hydrostatique
Dans tous les exercices suivants, hormis l’exercice 6, le fluide est incompressible et en équilibre.
Exercice 1 - Mesure d’une pression par un tube piézométrique
Soit un point M d’un liquide en équilibre. Faisons déboucher en M un tube transparent dans lequel la
surface libre du liquide se fixe à la hauteur verticale z au-dessus de M. Le niveau A atteint par le liquide
dans le tube s’appelle niveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du
liquide dans le tube est pa.
Montrer que la mesure de la pression pM en M peut se faire par la mesure de la hauteur z en donnant la
relation qui relie les deux variables.
A.N. Quelles sont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans les
deux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ = 13 600 kg/m 3 ) ; le fluide est de l’eau (ρ = 1 000 kg/m 3 ).
Exercice 2 - Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli
Exercice 3 – Siphon
vide
Un siphon est essentiellement constitué par un tube en J
renversé, dont les deux extrémités ouvertes plongent dans
deux récipients situés à des niveaux différents. Supposons
qu’un robinet soit placé à l’extrémité inférieure et soit tout
d’abord fermé. Les deux récipients contiennent un même
liquide et le siphon est aussi rempli intégralement de ce
liquide.
Exprimer la pression au point B’ au-dessus du robinet en
fonction de la pression B’’ dans le récipient inférieur. Que se
passe-t-il lorsque l’on ouvre le robinet ?
L’appareil représenté sur la figure ci-contre
permet de mesurer la pression d’un fluide, un gaz
par exemple, par la mesure de la longueur L. Le
gaz est en contact avec un seul liquide. Exprimer
p en fonction de L.
Montrer que la sensibilité ∆L/∆p augmente si le
liquide a une faible masse volumique (eau, alcool
au lieu du mercure) et si l’angle α du tube avec
l’horizontal diminue.
1

Exercice 4 - Tube en U
Un tube en U de section uniforme contient du mercure. Dans une des branches, on verse de l’eau ; dans
l’autre, on verse de l’alcool. On constate que les surfaces libres de l’eau et de l’alcool (surfaces en contact
avec l’atmosphère) sont dans un même plan horizontal et que le mercure présente une différence de
niveau de 0,5 cm entre les deux branches du U.
Faire un schéma représentatif du système.
Calculer les hauteurs h et h’ d’eau et d’alcool.
On donne : masse volumique du mercure : 13,6 g/cm 3
masse volumique de l’alcool : 0,8 g/cm 3
Exercice 5 - Manomètre à deux liquides
La figure montre un manomètre différentiel à deux liquides non
miscibles de masses volumiques ρ et ρ’ voisines. Pour que la surface
de séparation des deux liquides puisse subsister, il faut que le liquide le
plus dense soit au-dessous ; dans le cas de la figure, il faut donc que ρ
< ρ’. Si la pression étudiée p augmente de ∆p, le niveau de la surface
de séparation des deux liquides baisse de z.
Exprimer ∆p et la sensibilité z/∆p en fonction de ρ, ρ’ et des sections
droites s et S du tube et des cuves.
A.N. On utilise souvent l’eau à 20 °C (ρ = 998 kg/m 3 ) et l’aniline à 20 °C
(ρ’ = 1 022 kg/m 3 ). Calculer la variation de pression correspondant à
une variation de niveau z de 1 mm, si S/s = 100. Comparer à un
manomètre à liquide simple (exercice 2 avec α = π/2).
Exercice 6 - Répartition de pression dans l’océan
Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la pression selon
la loi ρ = ρ0(
1+ a(
p − p0
) ) où a = 10 -10 Pa -1 . La profondeur est notée h. Pour h = 0, p = p0 = 10 5 Pa et ρ = ρ0
= 10 3 kg/m 3 .
Donner la loi p(h).
Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ?
A.N. : h = 1 km. Quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ?
2

Forces hydrostatiques
Exercice 7 - Force de pression
Une porte rectangulaire de 2 m de large est placée
dans la paroi verticale d'un réservoir contenant de
l'eau (voir figure ci-contre). On souhaite que cette
porte s'ouvre automatiquement quand le niveau d'eau
par rapport au bord supérieur de la porte dépasse
10 m.
1. Établir l'expression littérale de la force de pression
exercée sur la porte en fonction du niveau d'eau H, de
la hauteur h de la porte et de sa largeur l.
2. Évaluer numériquement l'intensité de la force exercée
pour une porte de 4 m de haut et un niveau H = 10 m.
Exercice 8 - Forces sur les parois d’un vase
Préliminaire : Calculer la poussée qui s’exerce sur une surface plane rectangulaire de longueur L et dont
la largeur est la trace AB, inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal.
Calculer la force de pression du liquide sur chacune des parois du vase décrit ci-dessous. Quelle est la
résultante ? La comparer au poids du liquide.
Exercice 9 - Aréomètre
3
Les deux parois
latérales sont
inclinées d’un angle
α. Les deux autres
parois sont
verticales. La base
est carrée.
Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume V surmontée d’un tube
capillaire gradué de section s et de longueur l. L’ensemble est étanche et lesté de façon que, lorsque
l’appareil est plongé dans l’eau pure (de masse volumique ρ0), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0.
Si on le plonge dans un liquide de masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x. La
masse volumique ρ est-elle plus grande ou plus petite que ρ0 ?
Exprimer la densité d = ρ / ρ0 en fonction de x et en déduire la sensibilité de l’appareil σ = ∆x / ∆d. Pour
quel liquide le densimètre est-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil.
A.N. : V = 10 -5 m 3 ; s = 10 -5 m 2 ; l = 12 cm.
Exercice 10 - Corps flottant
B
α
A
h
Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il ? Quelle
proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachant que la masse volumique
de la glace est de 900 kg/m 3 et celle de l’eau salée 1 025 kg/m 3 ? Que pensez-vous de l’augmentation de
l’eau des océans due à la fonte des icebergs ?
a
α
H = 10 m
h = 4 m
z
0
dz

TD 2 Cinématique
des fluides
Trajectoires et lignes de courant
Exercice 1
Un écoulement est défini par les composantes du vecteur vitesse :
u = u0, v = v0 + at, w = 0
Étudier les lignes de courant et les trajectoires.
Rotation et déformation
Exercice 2
On considère un écoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes, en
coordonnées cylindriques et pour r ≠ 0 :
B
vr = 0,
vθ
= Ar + , vz
= 0
r
où A et B sont deux constantes.
Le mouvement se fait-il de façon isovolume ?
Calculer les composantes du rotationnel et du tenseur des vitesses de déformation.
Après avoir identifié les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0 et B = 0 et interpréter
physiquement les résultats.
4

TD 3
Dynamique des
fluides parfaits
Conservation de la masse. Débit massique
Exercice 1 – Expression macroscopique d’un bilan de masse
On examine une partie fixe Ω de l’espace,
constamment emplie de fluide.
1. On note son volume V, sa frontière A et m(t) la
masse de fluide que cette partie Ω contient à
l’instant t. En faisant un bilan de masse sur le
dm () t
volume V, exprimer le taux de variation
dt
de masse par rapport au temps.
2. On applique ce qui précède à la partie Ω de volume V constituée par un élément de conduit de
section d’entrée A1 et de section de sortie A2. L’écoulement sera considéré unidimensionnel en entrée
et en sortie. La vitesse dans la section Ai est notée vi.
A1
v1 r
Exercice 2 – Champ de vitesse
5
() t
dm
Quelle est alors l’expression de ?
dt
Que devient cette expression lorsque l’écoulement
est stationnaire ?
Que devient cette expression lorsque l’écoulement
est stationnaire et incompressible ?
Soit un fluide incompressible, de masse volumique ρ, s’écoulant dans un tuyau horizontal d’axe Ox de
section circulaire, avec un rétrécissement. Le champ de vitesse est :
r r r
v = vx ( x) ex −αrer
où α est une constante donnée.
1. L’écoulement est-il permanent (= stationnaire) ?
2. En vous aidant de l’équation de continuité (équation locale traduisant la conservation de la masse)
d’un fluide incompressible, calculer vx( x ) sachant que vx ( 0) = v0est
donné.
3. Calculer le débit massique à travers l’entrée du tuyau de rayon R. Calculer le débit à la sortie du tuyau.
4. Calculer le champ d’accélération du fluide a r .
5. L’écoulement est-il rotationnel ou irrotationnel ?
n v
A2
v 2
r
Ω
V
Le volume de contrôle V est
fixe. Sa surface est A. La
normale extérieure en un point
de cette surface est n v .
A
n v

Théorème de Bernoulli
Exercice 3 – Écoulement à travers un ajutage
Une cuve est remplie d’eau (voir schéma ci-dessous). On supposera que le niveau A dans la cuve est
constant. Le fluide s’écoule par un trou de diamètre D situé dans le fond de la cuve. L’eau sera considérée
comme un fluide parfait incompressible.
1. Énoncer le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait en
précisant la signification des différents termes.
2. Appliquer le théorème de Bernoulli entre les points A et B et
déterminer l’expression littérale de la vitesse vB au niveau du
trou.
3. Donner les relations permettant de calculer le débit-volume et le
débit-masse au point B.
4. Calculer numériquement la vitesse vB et le débit-volume au point
B.
5. En fait, le débit réel vaut 0,92 L/s. Comparer à la valeur trouvée
ci-dessus. On explique en partie cette différence par une
contraction de la veine liquide à la sortie de l’orifice. En déduire
le diamètre D’ de la veine liquide à la sortie de la cuve.
Valeurs numériques :
H = 0,82 m D = 2,0 cm ρ = 1000 kg/m 3
Exercice 4 – Mesure de débit avec un Venturi incliné
Une des méthodes peu coûteuses employées pour
la mesure du débit dans une canalisation est
l’utilisation d’un tube de Venturi. Il est proposé de
démontrer qu’avec cet instrument, il est possible, en
supposant que l’écoulement stationnaire est
unidimensionnel au moins dans les sections A0 et A1
et que le fluide circulant est dénué de viscosité, de
calculer le débit de ce fluide, et ceci sans
qu’intervienne l’inclinaison éventuelle de l’appareil.
Le fluide en écoulement est une huile incompressible
de masse volumique ρ = 820 kg/m 3 . La section A0
d’entrée dans le Venturi est caractérisée par son
diamètre D0 = 125 mm. La seconde prise de
pression statique est en section A1 où le diamètre est
D1 = 50 mm. A l’intérieur du tube en U où aboutissent
les prises de pression est placé un fluide de mesure
de masse volumique ρm = 13 600 kg/m 3 (mercure).
L’inclinaison du tube et les différentes cotes de
niveaux sont repérées par rapport à une base
horizontale arbitraire.
En supposant qu’une ligne de courant (au moins) passe par des points voisins de chacun des orifices de
prise de pression, calculer la valeur du débit volumique d’huile, lorsque la dénivellation observée dans le
tube en U est ∆h = 200 mm. On prendra g = 9,81 m/s 2 .
6
atmosphère
A
B
atmosphère
z
H
0

On procède d’une autre manière pour aboutir au résultat. On supprime l’hypothèse de la ligne de courant
passant par les deux orifices et on suppose à la place que l’écoulement est rectiligne en chacune des
deux sections A0 et A1. Retrouver le résultat précédent en vous appuyant sur la ligne de courant médiane.
Exercice 5 – Jet décoratif
Conformément au croquis ci-dessous, la conduite d’amenée d’un jet d’eau à caractère décoratif a un
diamètre intérieur d1 = 0,8 m et se termine par un embout d2 = 0,1 m. La hauteur du jet d’eau est de 160
m et sa sortie est située à 2 m au-dessus de l’axe de la tuyauterie. On donne ρeau = 1 000 kg/m 3 .
On néglige les différentes pertes de pression et les
variations de pression atmosphérique dues aux différences
d’altitude (p0 = 101 325 Pa).
a. Calculer la pression totale du fluide, définie par p + ρgz
+ ρv 2 /2, au point 3, sommet du jet. En déduire la
vitesse de l’eau à la sortie du jet, v2, en utilisant le
théorème de Bernoulli entre 2 et 3.
b. Calculer le débit massique d’eau m& puis la vitesse v1
dans la conduite d’amenée.
c. Toujours par application du théorème de Bernoulli,
calculer la pression p1 qui règne dans la conduite
d’amenée au niveau de l’axe.
d. Déterminer la pression p1’ indiquée par le manomètre
piqué sur la paroi de la conduite d’amenée.
Bilan de la quantité de mouvement sous
forme globale (théorème d’Euler)
Exercice 6 – Effort subi par un diffuseur
Un fluide incompressible, de masse volumique ρ, circule dans un conduit dont la section augmente
progressivement 1 , passant de Ae à As > Ae. On pose α = Ae/As (0 ≤ α ≤ 1). Un tel écoulement soumet la
conduite à un effort F qu’il s’agit de calculer en négligeant les forces de pesanteur et de viscosité. Les
profils de vitesse et de pression seront pris uniformes dans les deux sections Ae et As.
Exprimer F en fonction des grandeurs
d’entrée et de sortie ; puis, en appliquant le
théorème de Bernoulli entre l’amont et l’aval
du diffuseur, exprimer le résultat à partir des
valeurs prises dans la section d’entrée.
Ae
n
e
r
1 Le résultat n’aura de sens en pratique qu’en l’absence de décollement dans le divergent. Cette condition est en général
vérifiée pour une valeur de l’angle du divergent inférieure ou de l’ordre de 7 à 8 degrés.
7
z (m)
S
ve
p1’
As
n
s
r
vs

Exercice 7 – Poussée d’un moteur à réaction
La figure ci-dessous représente le modèle du moteur qui sert de base à l’analyse. Nous utilisons un
système de coordonnées en translation uniforme avec le moteur ; dans ce système, le moteur est au
repos et le fluide situé en amont se dirige vers le moteur à la vitesse v0.
La section d’entrée du fluide dans le volume de contrôle (voir figure) est placée suffisamment en amont du
moteur de telle sorte que la pression et la vitesse qui règnent dans cette section soient respectivement p0
et v0 (les conditions à l’infini amont dans l’écoulement libre).
La section de sortie du fluide est la section de sortie du moteur et les conditions qui règnent dans cette
section d’éjection sont pe, ve. Le débit masse rentrant dans le moteur est a
m& et le débit sortant, constitué
par la somme du débit d’air et du débit de carburant est : m&
= m&
+ m&
.
e a f
Calculer la poussée développée par le moteur en appliquant le théorème des quantités de mouvement.
On négligera les forces de pesanteur.
A.N. : Un turboréacteur propulse un avion à une vitesse constante de 300 m/s. Le débit masse d’air qui
passe dans le turboréacteur est de 90 kg/s, le débit de carburant est de 2 kg/s. La vitesse d’éjection des
gaz est de 620 m/s et la pression d’éjection est égale à la pression ambiante.
Volume de contrôle pour la détermination de la poussée d’un turboréacteur.
8

TD 4
Viscosité
Exercice 1 – Palier lubrifié
Dynamique des
fluides réels
On considère un axe de rayon R = 2 cm en rotation à N = 7200
tours/min dans un palier lubrifié. On supposera que
l’espacement entre l’axe et le palier est constant et égal à h =
0,04 mm. La viscosité de l’huile est 0,020 poiseuilles et sa
masse volumique est ρ = 920 kg/m 3 . Le palier mesure 5 cm de
longueur. On tiendra compte du fait que la distance entre l’axe et
le palier est petite devant le rayon moyen.
On suppose que la charge sur l’axe est très faible, de telle sorte que les forces de frottement associées à
la viscosité sont seules importantes. Calculer la contrainte agissant sur le fluide au niveau de l’axe, la force
de frottement développé sur l’axe, le couple correspondant et la puissance nécessaire pour faire tourner
l’axe.
Équation de Navier-Stokes
Exercice 2 – Écoulement de Couette
On considère l’écoulement laminaire et permanent d’un fluide visqueux newtonien, incompressible, entre
deux plaques parallèles horizontales espacées d’une distance h. La plaque supérieure est en mouvement
à la vitesse V, alors que la plaque inférieure est statique. Les deux plaques sont considérées de
dimensions infinies dans les deux directions x et y. L’écoulement est unidimensionnel, parallèle à la
direction x. On note µ le coefficient de viscosité dynamique du fluide et ρ sa masse volumique. On étudie
le régime permanent.
h
z V
1. Écrire l’équation de continuité, compte tenu des hypothèses.
2. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement. On posera, sans le démontrer, que la
pression ne varie pas suivant x (car plaques infinies).
3. Montrer que la pression varie, sur une verticale, suivant une loi hydrostatique.
x
9

4. Déterminer la distribution de vitesse entre les plaques en intégrant l’équation du mouvement et en
utilisant les conditions aux limites correspondantes.
5. Considérons la situation pour laquelle le fluide est de l’huile pour moteur et h = 3 mm. La vitesse de la
plaque en mouvement est V = 10 m/s. On suppose que les propriétés de l’huile sont constantes. On
donne :
ρ = 888,2 kg/m 3
ν = µ/ρ = 900 10 -6 m 2 /s
Déterminer les contraintes de viscosité et en déduire l'expression de la force par unité de surface
nécessaire pour assurer le mouvement de la plaque supérieure à vitesse constante V.
Exercice 3 – Écoulement de Poiseuille plan
On considère une géométrie idéale où le fluide incompressible de viscosité µ s’écoule entre deux plans
fixes parallèles distants d’une largeur 2h. On suppose en outre que le fluide est non pesant (forces de
gravité négligeables) et que le mouvement est permanent (stationnaire dans le temps), rectiligne, parallèle
aux plans et bidimensionnel.
y
+h
-h
Sens du
mouvement
Conformément aux notations de la figure, on prend l’axe des x colinéaire à celui du mouvement, la
direction normale aux plans étant prise pour axe y. L’axe z, orthogonal au plan de la figure complète le
trièdre orthonormé. On désigne par vx, vy et vz les composantes du vecteur vitesse dans le repère ainsi
constitué et par p la pression.
En raison du caractère plan de l’écoulement on a, pour toute fonction du champ de celui-ci ∂ ∂z
= 0 , et
par raison de stationnarité ∂ ∂t
= 0 . Le problème dynamique posé par cet écoulement se réduit donc à la
détermination des quatre fonctions scalaires vx(x,y), vy(x,y), vz(x,y) et p(x,y) entre les deux plans.
6. Traduisez le caractère parallèle du mouvement et écrivez l’équation de continuité.
7. Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement (en les simplifiant au maximum compte
tenu des hypothèses).
8. Comment la pression varie-t-elle sur une verticale (suivant y) ? De quelle variable dépend la vitesse
vx ?
Réécrivez alors la 1 re équation de Navier-Stokes sous la forme d’une égalité de deux fonctions
inconnues à variables séparées.
9. En déduire la loi de variation longitudinale (suivant x) de la pression. On notera p0 la pression de
référence en x = 0, et A la constante qui subsiste après l’intégration.
10. Déterminez le profil de vitesse entre les plaques en fonction de A.
Que vaut la vitesse maximale en fonction de h, µ et A ? Quel est le signe de A ? Que vaut la vitesse
moyenne ?
Exprimer A en fonction du débit volumique par unité de largeur (largeur = dimension suivant z).
11. Déduire des résultats précédents le tenseur des contraintes visqueuses et calculer la contrainte de
τ à la paroi supérieure.
cisaillement τxy en fonction de A. Que vaut en particulier le frottement p
10
x

12. Exprimer A en fonction de τ p . En déduire l’expression de la perte de pression le long de l’écoulement
dp
en fonction de τ p .
dx
Écoulements laminaires et écoulements
turbulents. Pertes de charge
Exercice 4 – Écoulement laminaire dans une canalisation 2
1. Soit une conduite horizontale dans laquelle circule une huile de masse volumique ρ = 800 kg/m 3 et de
viscosité µ = 0,10 Pl. La longueur de la conduite est de 10 km et son diamètre de 100 mm. Le débit à
assurer étant de 20 m 3 /h, quelle est la puissance à prévoir ?
2. On considère une canalisation inclinée de 10 m de longueur où s’écoule le même fluide que
précédemment. Le diamètre de la canalisation est de 20 mm et la différence de niveau entre l’entrée
et la sortie est de 5 m.
La pression dans la section basse 1, p1, est maintenue égale à 3 bars, la pression dans la section
haute, p2, étant égale à 1,5 bars.
Vérifier d’abord que l’écoulement se fait bien de bas en haut (dans le sens 1 → 2), puis calculer le
débit de liquide dans la canalisation ainsi que le nombre de Reynolds de l’écoulement.
Exercice 5 - Dimensionnement d’une canalisation
1. Une conduite assure un débit liquide permanent de 50 L/s. Quel diamètre de conduite permettrait
d’obtenir un Reynolds de 2000 ? Conclure.
2. Faire la même évaluation en supposant cette fois que le nombre de Reynolds vaut 10 5 . Calculer le
facteur de frottement dans le cas d’une conduite hydrauliquement lisse. Déterminer la longueur de la
canalisation si la variation de pression entre l’entrée et la sortie vaut 10 6 Pa. Conclure.
3. On envisage maintenant une conduite hydrauliquement lisse de 1 km de longueur. La variation de
pression entre l’entrée et la sortie vaut 10 6 Pa et le débit volumique est encore de 50 L/s. Déterminer
le diamètre de la canalisation.
Données : le fluide considéré est de l’eau. On supposera qu’il s’agit d’un liquide incompressible pour
lequel ρ = 10 3 kg/m 3 et µ = 10 -3 kgm -1 s -1 . Pour des écoulements turbulents en conduite hydrauliquement
lisses et un nombre de Reynolds inférieur ou égal à 10 5 , le facteur de frottement (ou coefficient de perte de
charge linéaire 3 ) est donné par la formule de Blasius :
λ = 0,
316
−1
4 ( Re)
Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 10 5 , on peut utiliser la formule de Nikuradsé :
1
= 2 log
λ
2 ∆ p
On rappelle la formule de Poiseuille : t
L
32µ v
= m
2
D
3
On rappelle que ce coefficient est défini par λ=
∆Pt
L
1 2
ρvm
D
2
( λRe)
− 0,
8
11

Représentation monodimensionnelle d’un
écoulement permanent en conduite
Exercice 6 – Estimation des coefficients de répartition
Les problèmes des écoulements en conduite qui sont strictement tridimensionnel sont ramenés, pour
simplification, à des problèmes monodimensionnels selon l’abscisse x, en rapportant en chaque x des
grandeurs moyennes dans la section droite d’abscisse x. Pour bien peser cette approximation très usuelle,
nous allons en faire l’analyse sur un écoulement laminaire et un écoulement turbulent.
On considère l’écoulement d’un fluide incompressible dans un conduit de section circulaire de rayon R et
on envisage :
(a) un écoulement unidimensionnel de vitesse uniforme v0 ;
2 ⎛ r ⎞
(b) un écoulement laminaire de profil de vitesse dans une section droite : v() r = vL⎜1− 2 ⎟ ;
⎝ R ⎠
(c) un écoulement correspondant à un nombre de Reynolds Re = 10 5 . Le profil de vitesse est bien
1
⎛ r ⎞n
représenté par : v() r = vT⎜1− R
⎟ avec n = 7.
⎝ ⎠
Pour effectuer la comparaison, on suppose que les trois écoulements assurent le même débit massique
m& .
1. Déterminer les valeurs de vL et vT en fonction de v0.
2. Calculer les débits de quantité de mouvement et d’énergie cinétique.
3. En déduire les coefficients de répartition de quantité de mouvement β et d’énergie cinétique α,
définis respectivement par :
1
β= ρ
mv & ∫∫
A
1
α= ρ 2
mv &
∫∫
A
2
vdA
3
vdA
12