Corrigé TP 9

Expériences Numériques pour la Physique :
Agrégation Limitée par Diffusion
Ce script reprend le plan du sujet de TP numéro 9, où l’on cherche à étudier
le phénomène d’agrégation limitée par diffusion, qui combine le mouvement
aléatoire de particules microscopiques et leur agrégation progressive sur un substrat.
Sommaire
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9.a un seul marcheur
9.b M marcheurs
9.c Questions Physiques
9.a un seul marcheur
Nous considérons dans un premier temps le cas d’un seul marcheur afin de
développer et tester la fonction matlab ”DLA1march”, qui va calculer et renvoyer
la visualisation des coordonnées succesivement explorées par une particule
ayant un mouvement aléatoire dans la boîte de simulation de taille N × N. Les
conditions aux limites sont périodiques sur les côtés de la boîte : si une particule
sort à droite elle entrera à gauche, et inversement. En haut de la boîte, la particule
sera réfléchie, alors qu’en bas elle viendra directement se fixer à l’agrégat
dont une première ligne est déjà occupée.
% visualisation d’un marcheur
N = 25 ; % taille de la grille
% on appelle la fonction affichant la trajectoire d’un marcheur
figure ;
DLA1march(N) ;
1

25
20
15
10
5
mouvement aléatoire d‘un marcheur
5 10 15 20 25
On retrouve bien un mouvement aléatoire de la particule sur la grille, jusqu’à
son agrégation sur le substrat situé en y = 1. Nous remarquons que même en
ayant choisi un taille modeste pour la boîte de simulation (25 points), le temps
de calcul et de visualisation peut être très important. En fait, ce sont les tracés
successifs que nous demandons dans la boucle qui sont très coûteux en temps
de calcul. Nous les supprimerons dans la suite quand nous passerons à un grand
nombre de marcheurs.
La fonction permettant de calculer la trajectoire d’un marcheur jusqu’à l’agrégat
s’écrit comme suit :
type DLA1march
function DLA1march(N)
% initialisation de l agregat
Nx = N ; Ny = N ;
AGR = zeros(Nx,Ny) ;
AGR(:,1) = ones(1,Ny) ;
% initialisation de la position actuelle x,y du marcheur
xnew = randi(Nx) ; ynew = Ny ; % n importe ou en haut
% Boucle : faire une marche jusqu’a ce qu’on touche l’agregat
while AGR(xnew,ynew) == 0
% on memorise la position pour actualiser l’agregat le cas echeant
xold = xnew ;
yold = ynew ;
2

%definir les nouvelles positions xnew,ynew
p = randi(4) ; % tirage au sort parmi 4 possibilit\’es :
if p == 1
xnew = xnew - 1 ; % aller a gauche
elseif p == 2
xnew = xnew + 1 ; % aller a droite
elseif p == 3
ynew = ynew - 1 ; % descendre
else
ynew = ynew + 1 ; % monter
end
%corriger les nouvelles positions xnew,ynew si necessaire
if xnew == Nx + 1
xnew = 1 ;
elseif xnew == 0
xnew = Nx ;
elseif ynew == Ny + 1
ynew = Ny - 1 ;
end
%animation
plot(xnew,ynew,’o’),axis([1 Nx 1 Ny]),hold on,...
title(’mouvement aleatoire d‘un marcheur’)
drawnow
end % fin d’une marche
% on attache la position precedente a l’agregat
AGR(xold,yold) = 1 ;
end % fin de la fonction
9.b M marcheurs
Afin de mettre en évidence le phénomène d’agrégation limitée par diffusion,
nous étudions maintenant un grand nombre de marcheurs, sur une grille plus
grande.
N = 100 ;
M = 1000 ;
On applique la fonction DLAMmarch, qui généralise la précédente à M particules,
au cas de 1000 marcheurs sur une grille 100x100, en minimisant donc
les représentations graphiques gourmandes en temps de calcul :
figure ;
DLAMmarch(N,M) ;
3

100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
agrégation limitée par diffusion
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
On observe la formation de structures fractales à partir du substrat,
caractéristiques du processus d’agrégation limitée par diffusion étudié ici.
Ces structures se forment progressivement et sont la combinaison du caractère
aléatoire du déplacement des marcheurs successifs, et du phénomène
d’agrégation où les marcheurs arrivant sur le substrat viennent s’y fixer et ainsi
en augmenter progressivement la taille.
La fonction validée pour un marcheur a été modifiée comme suit :
type DLAMmarch
function DLAMmarch(N,M)
% initialisation de l agregat
Nx = N ;
Ny = N ;
AGR = zeros(Nx,Ny) ;
AGR(:,1) = ones(1,Ny) ;
%nAGR = Ny ;
% boucle sur les marcheurs
cpt = 0 ; % compteur pour repr\’esentation
for i = 1 : M
% initialisation de la position actuelle x,y du marcheur
xnew = randi(Nx) ;
ynew = Ny ;
% Boucle : faire une marche jusqu?a ce qu?on touche l?agregat
4

while AGR(xnew,ynew) == 0
% on m\’emorise la position pour actualiser l’agr\’egat le cas \’ech\’eant
xold = xnew ;
yold = ynew ;
%definir les nouvelles positions xnew,ynew
p = randi(4) ; % tirage au sort parmi 4 possibilit\’es (gauche droite haut bas)
if p == 1
xnew = xnew - 1 ; % aller gauche
elseif p == 2
xnew = xnew + 1 ; % aller droite
elseif p == 3
ynew = ynew - 1 ; % monter
else
ynew = ynew + 1 ; % descendre
end
%corriger les nouvelles positions xnew,ynew si necessaire
if xnew == Nx + 1
xnew = 1 ;
end
if xnew == 0
xnew = Nx ;
end
if ynew == Ny + 1
ynew = Ny - 1 ;
end
end % fin d’une marche
% disp(’bravo vous avez r\’eussi l‘agregation’)
AGR(xold,yold) = 1 ;
cpt = cpt + 1 ;
if cpt == fix(N/10)
[indx,indy] = find(AGR == 1) ;
plot(indx,indy,’o’),axis([1 N 1 N]),...
title(’agr\’egation limit\’ee par diffusion’),...
drawnow
cpt = 0 ;
end
end % fin de la boucle sur les marcheurs
end
9.c Questions Physiques
1 - Pourquoi des arborescences ?
5

Du fait du caractère aléatoire du mouvement des marcheurs, ces derniers peuvent
se fixer à partir de n’importe quelle position au voisinage de l’agrégat. De
plus, la croissance étant orientée par le substrat initial, les dépôts successifs
vont se former en montant, et l’on obtient ainsi ces structures arborescentes
caractéristiques.
2 - Où est la diffusion ?
Le mécanisme de diffusion résulte de mouvements microscopiques aléatoires des
particules (mouvement Brownien), sans direction privilégiée. Si on ajoute une
source d’anisotropie, par exemple la gravitation, on va observer un dépôt plus
homogène de matière.
Pour tester cette hypothèse, nous modifions la fonction à M marcheurs (fonction
”DLA mg Mmarch”), en augmentant la probabilité de descendre par rapport
aux trois autres directions : nous donnons ainsi une direction privilégiée au
mouvement aléatoire, qui modélise ainsi la gravité.
% fonction M marcheurs, avec la gravite :
figure;
DLA_mg_Mmarch(N,M) ;
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
agrégation limitée par diffusion et gravité
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
La fonction modifiée, faisant intervenir la gravité, s’écrit comme suit :
type DLA_mg_Mmarch.m
Dans la figure ci-dessus, nous observons bien un dépôt plus dense, avec beaucoup
moins de structures arborescentes.
6

function DLA_mg_Mmarch(N,M)
% initialisation de l agregat
Nx = N ;
Ny = N ;
AGR = zeros(Nx,Ny) ;
AGR(:,1) = ones(1,Ny) ;
%nAGR = Ny ;
% boucle sur les marcheurs
cpt = 0 ; % compteur pour repr\’esentation
for k = 1 : M
% initialisation de la position actuelle x,y du marcheur
xnew = randi(Nx) ;
ynew = Ny ;
% Boucle : faire une marche jusqu?a ce qu?on touche l?agregat
while AGR(xnew,ynew) == 0
% on m\’emorise la position pour actualiser l’agr\’egat le cas \’ech\’eant
xold = xnew ;
yold = ynew ;
%definir les nouvelles positions xnew,ynew
p = randi(6) ; % tirage au sort parmi 6 possibilit\’es (gauche droite haut bas)
if p == 1
xnew = xnew - 1 ; % aller gauche
elseif p == 2
xnew = xnew + 1 ; % aller droite
elseif p == 3
ynew = ynew + 1 ; % monter
else
ynew = ynew - 1 ; % descendre
% probabilite plus forte de descendre
% pour modeliser la gravite
end
%corriger les nouvelles positions xnew,ynew si necessaire
if xnew == Nx + 1 % sort a droite
xnew = 1 ;
elseif xnew == 0 % sort a gauche
xnew = Nx ;
elseif ynew == Ny + 1 % sort en haut
ynew = Ny ;
end
end % fin d’une marche
% disp(’bravo vous avez r\’eussi l‘agregation’)
AGR(xold,yold) = 1 ;
cpt = cpt + 1 ;
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if cpt == fix(N/10)
[indx,indy] = find(AGR == 1) ;
plot(indx,indy,’o’),axis([1 N 1 N]),...
title(’agr\’egation limit\’ee par diffusion et gravit\’e’),...
drawnow
cpt = 0 ;
end
end % fin de la boucle sur les marcheurs
end
3 - Exemples d’application
Les structures arborescentes systématiquement observées se retrouvent dans des
domaines variés :
- la formation des flocons de neige par agrégation de particules d’eau en
suspension dans l’air,
- la structure des réseau de transport dans les agglomérations urbaines, et
la structure des agglomérations elles-mêmes,
- les éclairs pour lesquels la propagation de l’arc électrique se fait par diffusion
de proche en proche,
- la formation par calcification progressive des arborescences coralliennes,
par exemple du corail rouge.
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