Les droites et les plans - TFO

ÉDITION 2009
Les droites et les plans
x
z
y
MCV4U

Les droites et les plans
La série
Responsable de projet : Annette Lalonde
Le guide – Édition 1998
Auteur de la version anglaise : John Amadio
Traduction de la version anglaise : Translatec Conseil Ltée
Le guide – Édition 2009
Révision pédagogique : Karine Rozon
Pour obtenir des copies des émissions de la série Les droites et les plans :
• Vous pouvez enregistrer les émissions lors de leur diffusion sur les ondes de TFO.
• Consultez le site www.tfo.org/diffusion pour connaître la date de la prochaine diffusion ou
téléphonez au 1.800.387.8435, poste 2388 pour une diffusion spéciale.
• Les écoles de langue française de l’Ontario peuvent visionner les émissions de cette série
directement sur le site web www.tfo.org/ressources.
Pour obtenir des exemplaires supplémentaires de ce guide :
• Vous pouvez l’imprimer à partir du site www.tfo.org/guides.
• Vous avez le droit d’en faire des photocopies à volonté.
• Vous pouvez l’acheter auprès du Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques à Ottawa en
appelant au 1.877.742.3677, poste 228 (Ontario) ou au 1.877.747.8003, poste 228 (Canada).
Renseignements : tfoliaison@tfo.org
© L’Office des télécommunications éducatives de langue française de l’Ontario, mai 2009.

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Table des matières
Introduction
Émission 1 : Cherchez la droite (644301)
Émission 2 : Les droites dans l’espace (644302)
Émission 3 : Encore les droites dans l’espace (644303)
Émission 4 : Nommer le plan (644304)
Émission 5 : Les droites qui coupent les plans (644305)
Émission 6 : Un plan réussi (644306)

Introduction
Face aux droites et aux plans dans l’espace, matière qui est au programme de
mathématiques du cycle supérieur du palier secondaire, l’élève se sent parfois frustré.
C’est difficile pour lui de comprendre les subtilités et les complexités qu’il aborde
lorsque, abandonnant le plan cartésien, il se plonge dans l’univers tridimensionnel.
L’ensemble des émissions Les droites et les plans permet de visualiser de façon unique
la position des droites et des plans dans l’espace en illustrant les développements
algébriques par des graphiques animés à trois dimensions. Cette série explique
ce qu’on entend par « équation vectorielle d’une droite sur un plan cartésien » et
décrit les rapports qu’elle a avec d’autres formes d’équations linéaires. On montre
comment le produit scalaire de deux vecteurs est utile pour déterminer si ces vecteurs
sont perpendiculaires. Le concept du vecteur normal est aussi défini en fonction de
son rapport avec l’équation cartésienne d’une droite.
La série aborde ensuite l’univers tridimensionnel où les axes des x, y et z sont
représentés comme étant des systèmes de coordonnées tridimensionnels. Les diverses
formes d’équations linéaires sont développées en trois dimensions et on se penche
sur la façon de déterminer les points d’intersection. Il devient vite évident que,
sur le plan conceptuel, l’espace à trois dimensions peut être très différent de l’espace
à deux dimensions. La série a recours à des techniques d’animation pour se déplacer
autour des objets sur l’écran afin de les examiner sous tous les angles.
Le concept des plans dans l’espace est alors présenté et exploré en se servant de
la méthode déjà adoptée pour les droites : un mélange de développement algébrique
assorti de visualisation tridimensionnelle. Enfin, on établit l’équation vectorielle
d’un plan et on la compare à l’équation cartésienne qui lui correspond en se servant,
comme instruments, du produit vectoriel et du produit scalaire de deux vecteurs.
Enfin, la série passe aux diverses configurations des droites et des plans dans l’espace
que l’on établit grâce à une étude de leurs différents points de rencontre : tout est
vu, des cas d’intersection d’un plan par une droite en un point, aux cas d’intersection
de trois plans en un nombre infini de points. La série permet d’envisager les droites
et les plans sous une nouvelle perspective en se libérant des restrictions imposées par
l’univers bidimensionnel et l’environnement algébrique traditionnel. En fournissant
une nouvelle définition des droites et des plans exprimée par des vecteurs, un monde
nouveau de techniques de résolution de problèmes voit le jour.
Pour se préparer au visionnement de la série Les droites et les plans, les élèves
devraient réviser les techniques appliquées pour résoudre les systèmes linéaires :
les différentes formes de l’équation d’une droite sur un plan cartésien et les diverses
méthodes qui permettent de trouver les points d’intersection de deux droites.
Ces techniques seront d’une grande utilité lorsque ces concepts seront transposés
dans un univers à trois dimensions.

Émission 1 : Cherchez la droite 644301
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MCV4U
Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année
Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs
Attente
Représenter des droites et des plans au moyen d’équations cartésiennes, vectorielles et paramétriques,
et résoudre des problèmes de distances et d’intersections.
Contenu d’apprentissage
Reconnaître que l’équation d’une droite dans le plan représenté sous la forme Ax + By + C = 0 est
une équation cartésienne de la droite donnée, représenter une droite dans le plan
au moyen d’équations vectorielles et paramétriques et faire le lien entre les équations
de formes cartésienne et vectorielle.
Objectifs de l’émission
Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns des exercices
et activités proposés, les élèves devraient pouvoir :
• définir et expliquer le concept du vecteur, de la grandeur scalaire et du paramètre;
• décrire les caractéristiques des vecteurs, leur représentation sous la forme
de couples ordonnés sur un plan cartésien, et la multiplication d’un vecteur
par un scalaire;
• établir le rapport entre le vecteur directeur d’une droite et sa pente;
• trouver l’équation vectorielle d’une droite à partir du vecteur directeur
d’une droite et d’un point;
• générer des points sur une droite au moyen de ses équations paramétriques;
• passer d’une forme à l’autre des trois types d’équations s’appliquant à une droite :
l’équation vectorielle, les équations paramétriques et l’équation cartésienne.
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Les droites et les plans
Émission 1 : Cherchez la droite

Activités avant le visionnement
1. Réviser avec les élèves les concepts et les caractéristiques des vecteurs
en soulignant la différence qui existe entre les grandeurs vectorielles et
les grandeurs scalaires. Leur demander de dresser la liste de toutes les grandeurs
scalaires et vectorielles auxquelles ils peuvent penser.
2. Réviser les différentes formes d’équations linéaires sur un plan cartésien :
forme cartésienne, forme pente-point, forme pente-ordonnée à l’origine, etc.
3. Exprimer les équations suivantes sous la forme cartésienne :
a. y – 2 = 3 (x – 1)
b. y = 4x – 5
c. y + 7 = – 2 (x + 6)
d. y = – 6x + 11
4. Réviser les techniques permettant de résoudre les systèmes linéaires :
comparaison, substitution et élimination (au moyen d’additions et de soustractions).
5. Résoudre les systèmes linéaires suivants :
a. 5x + 3y = 7
8x + 9y = 7
6
b. 3x = 5 – 2y
15x + 4y – 1 = 0
c . 10x + 6y = -3
y = -2/3x + 1
Les droites et les plans
Émission 1 : Cherchez la droite

Description de l’émission
L’émission commence avec l’apparition de deux personnages extraterrestres animés
qui pilotent un vaisseau spatial. Ils aperçoivent des panneaux de signalisation
leur indiquant qu’ils ont quitté l’univers naturel à trois dimensions et se retrouvent
prisonniers d’un espace bidimensionnel. Ils ont perdu leur vaisseau et leur forme
tridimensionnelle et parcourent un plan cartésien, cherchant une sortie.
L’émission aborde alors une révision des vecteurs et de leurs caractéristiques :
la grandeur et la direction, leur représentation sur un plan cartésien sous la forme
de couples ordonnés, et la multiplication d’un vecteur par un scalaire. En reliant
la pente d’une droite à un vecteur représentant la direction d’une droite
(le « vecteur directeur » de la droite), l’émission en vient au concept de l’équation
vectorielle d’une droite.
À titre d’exemple, on développe une équation à l’aide d’une addition vectorielle.
Le concept du paramètre est expliqué comme étant un moyen de générer des points
sur la droite; chaque valeur donnée du paramètre fournit un nouveau point sur
la droite (on génère ainsi quelques exemples de points).
On arrive ensuite au problème présenté par les cas où seuls deux points de
la droite (et non du vecteur directeur) sont connus et on montre comment réduire
ce problème à l’énoncé de l’exemple précédent, étant donné qu’il est facile de
déterminer un vecteur directeur en reliant deux points. Cet exemple démontre
qu’il existe un nombre infini d’équations vectorielles pour une droite donnée.
L’équation vectorielle de la droite est alors soumise à une manipulation algébrique
afin de trouver les équations paramétriques de la droite lorsque chacune des deux
coordonnées a une équation qui dépend du paramètre. Enfin, il est démontré que
les équations paramétriques sont aussi équivalentes à l’équation cartésienne de
la droite. Cette équivalence est soulignée par un exemple dans lequel on part
de l’équation cartésienne d’une nouvelle droite pour développer une équation
vectorielle.
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Les droites et les plans
Émission 1 : Cherchez la droite

Activités après le visionnement
1. Multipliez les scalaires et les vecteurs suivants :
a. 4 x 50 km/h [E]
b. -3(6, -9)
c. t(3, -8)
d. -r(-4, 16)
2. Trouvez les vecteurs directeurs des droites reliant ces deux points et
servez-vous-en pour déterminer les pentes de ces droites :
a. (4, 2) et (5, 3)
b. (-3, -2) et (6, 0)
3. Le vecteur directeur et le point sur la droite étant connus, trouvez l’équation
vectorielle de ces droites :
a. Point (1, 2)
Vecteur directeur (7, 3)
8
b. Vecteur directeur (5, 3)
Point (-4, 1)
4. Déterminez les équations paramétriques des droites suivantes à partir de
leurs équations vectorielles :
a. (x, y) = (3, -4) + t(2, 5)
b. (x, y) = (-1, 6) + t(3, 2)
c. (x, y) = (0, 8) + t(-3, 3)
d. (x, y) = (4, 2) + p(-5, -7)
5. Générez trois points sur chacune des droites de l’activité précédente
à l’aide des équations paramétriques.
6. Trouvez les équations cartésiennes des droites de l’activité n o 4 ci-dessus.
7. Déterminez l’équation vectorielle de chacune des droites suivantes :
a. 3x + 7y + 9 = 0
b. 12x – 9y + 5 = 0
c. y = 4x – 3
d. 3x + 5 = -2y
Les droites et les plans
Émission 1 : Cherchez la droite

Émission 2 : Les droites dans l’espace 644302
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MCV4U
Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année
Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs
Attentes
• Définir des vecteurs, les représenter de façon algébrique et géométrique,
et reconnaître des applications portant sur les vecteurs.
• Distinguer les représentations géométriques d’une équation du premier degré ou d’un système de
deux équations du premier degré dans le plan et dans l’espace tridimensionnel,
et déterminer les différentes configurations possibles de droites et de plans dans l’espace tridimensionnel.
• Représenter des droites et des plans au moyen d’équations cartésiennes, vectorielles et
paramétriques, et résoudre des problèmes de distances et d’intersections.
Contenus d’apprentissage
• Représenter géométriquement des vecteurs dans un plan (par exemple, au moyen de segments
de droite orientés) et algébriquement (par exemple, au moyen du système de coordonnées
cartésiennes), et représenter algébriquement des vecteurs dans l’espace tridimensionnel.
Remarque : La représentation des vecteurs dans l’espace tridimensionnel est à l’étude dans
cette émission tandis que la représentation des vecteurs dans le plan est à l’étude dans l’émission 1.
• Reconnaître qu’une droite dans l’espace tridimensionnel ne peut pas être représentée par
une équation cartésienne et représenter une droite à l’aide d’équations vectorielles et paramétriques
(par exemple, d’un vecteur donné et d’un point de la droite ou de deux points sur la droite).
Objectifs de l’émission
Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns des exercices
et activités proposés, les élèves devraient pouvoir :
• trouver le vecteur directeur d’une normale à une droite, compte tenu
de l’équation cartésienne de la droite;
• décrire et utiliser le système de coordonnées x, y, z dans un espace
à trois dimensions;
• visualiser des points dans un espace tridimensionnel et décrire l’endroit
où ils sont situés à l’aide des axes des x, y et z et de triplets ordonnés;
• trouver et représenter les vecteurs directeurs à l’aide de triplets ordonnés;
• trouver l’équation vectorielle d’une droite dans l’espace à l’aide d’un point
situé sur cette droite et d’un vecteur directeur;
• trouver les équations paramétriques d’une droite dans l’espace ainsi que
les équations symétriques d’une droite dans l’espace en partant de l’équation
vectorielle de cette droite.
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Les droites et les plans
Émission 2 : Les droites dans l’espace

Activités avant le visionnement
1. Demandez aux élèves de reconnaître, et de les distinguer entre elles,
l’équation vectorielle, les équations paramétriques et l’équation symétrique
d’une droite dans un plan, et générez des points situés sur cette droite en utilisant
l’une ou l’autre de ces équations. Trouvez trois points pour chacune des droites
suivantes :
a. (x, y) = (2, 4) + t(-6, 5)
b. x = 5t – 3, y = -2t + 1
c. x – 1 = y + 4
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2. Trouvez les équations vectorielles des droites suivantes :
a. Droite passant par le point (2, 5) dont le vecteur directeur est (-3, 1).
b. Droite passant par les points (-4, 1) et (5, 3).
Puis écrivez les équations vectorielles en vous servant de vecteurs directeurs
différents
(mais parallèles).
3. Trouvez les équations paramétriques et l’équation symétrique de chacune
des droites de l’activité n o 2 ci-dessus.
4. Révisez, tout en les distinguant entre eux, la multiplication d’un vecteur
par un scalaire, la projection d’un vecteur sur un autre, et le produit scalaire
de deux vecteurs. Trouvez le produit scalaire des deux couples de vecteurs suivants,
soit en vous servant des grandeurs et de l’angle formé par ces deux vecteurs,
soit en utilisant les coordonnées des composantes :
a. 5 unités Est et 8 unités Est
b. 4 unités Est et 7 unités Nord
c. 9 unités Est et 8 unités Nord-Est
d. (2, 4) et (5, 1)
e. (-4, 11) et (3, -8)
f. (-3, 5) et (10, 6)
Quels sont, parmi ces couples, ceux qui sont perpendiculaires?
5. Demandez aux élèves de visualiser un système de coordonnées à trois dimensions
en imaginant un ensemble d’axes imposés à la salle de classe. Leur demander
de décrire l’emplacement des objets présents dans la salle à l’aide de ces axes
de coordonnées et de représenter ces emplacements par des triplets ordonnés.
Leur demander d’imaginer les ramifications, pour les droites, de l’ajout
d’une dimension (c’est-à-dire montrer que, lorsque deux droites ne sont pas
parallèles, elles ne se coupent pas nécessairement).
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Les droites et les plans
Émission 2 : Les droites dans l’espace

Description de l’émission
Une brève révision de l’émission 1 montre comment on peut obtenir l’équation
vectorielle d’une droite à partir d’un point situé sur la droite et d’un vecteur directeur.
On révise également les équations paramétriques et l’équation symétrique
d’une droite dans un plan. On montre ensuite comment le produit scalaire de
deux vecteurs est très utile pour déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires
ou non. Le concept du vecteur normal est illustré en établissant sa relation avec
l’équation cartésienne d’une droite.
L’émission aborde ensuite l’univers tridimensionnel où les axes des x, y et z
forment un système de coordonnées à trois dimensions. Les triplets ordonnés
remplacent les couples ordonnés pour représenter l’emplacement des points
et les vecteurs directeurs. Des droites dans l’espace sont créées en réunissant deux
de ces points entre eux. Il est démontré que ces droites ne coupent pas
nécessairement l’un de ces trois axes. On développe alors les différentes équations
de droites dans un espace tridimensionnel. L’équation vectorielle d’une droite
est décrite à partir d’un point situé sur cette droite et d’un vecteur directeur.
Les équations paramétriques sont déterminées à partir de cette équation vectorielle.
Quant aux équations symétriques de la droite, elles sont établies en réordonnant
chaque équation paramétrique et en égalisant les trois expressions du paramètre.
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Les droites et les plans
Émission 2 : Les droites dans l’espace

Activités après le visionnement
1. Trouvez le vecteur normal et le vecteur directeur pour chacune des droites
suivantes situées sur le plan cartésien :
a. 3x + 2y – 7 = 0
b. 4x – 6y + 1 = 0
c. -x – y + 24 = 0
d. y = 5x – 8
2. Construisez un système de coordonnées tridimensionnel à l’aide de pailles.
Trois pailles représenteront les axes des x, y et z. Marquez sur chaque paille
des unités de longueur égale, puis les immobiliser avec du ruban adhésif dans
la position voulue pour qu’elles forment entre elles des angles de 90 ° . Vous obtenez
ainsi un système à trois dimensions, un outil qui, lorsqu’il est utilisé avec divers
objets, vous aide à trouver les points situés dans un espace tridimensionnel.
Si vous le placez, par exemple, le long des arêtes d’une boîte en plastique
transparent contenant de petits objets, vous pourrez identifier le triplet ordonné
de chacun d’eux (prendre le centre de ces objets). À noter que les axes fournissent
essentiellement une origine, une orientation et une échelle. Imaginez
des prolongements dans tous les sens pour de plus gros objets.
Faites des cadres de référence en examinant le même objet sous plusieurs angles.
(Deux élèves, debout à des endroits différents, leur appareil à la main, comparent
les triplets ordonnés d’un objet donné. Pourquoi sont-ils différents?)
3. Trouvez les vecteurs directeurs des droites réunissant les couples de points suivants :
a. (1, 2, 3) et (4, 5, 6)
b. (-6, 4, -3) et (2, 0, -5)
4. Trouvez les équations vectorielles de ces droites dans l’espace :
a. Droite passant par le point (6, -3, 1) dont le vecteur directeur est (1, 5, -2)
b. Droite passant par le point (4, 8, -3) dont le vecteur directeur est (-2, 1, 5)
c. Droite passant par les points (2, 5, 7) et (-1, 4, 0)
5. Trouvez les équations paramétriques de chacune des droites de l’activité
précédente.
Activité d’enrichissement
6. Trouvez l’équation symétrique de chacune des droites de l’activité n o 4 précédente.
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Les droites et les plans
Émission 2 : Les droites dans l’espace

Émission 3 : Encore des droites dans l’espace 644303
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MCV4U
Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année
Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs
Attente
Distinguer les représentations géométriques d’une équation du premier degré ou d’un système
de deux équations du premier degré dans le plan et dans l’espace tridimensionnel, et déterminer
les différentes configurations possibles de droites et de plans dans l’espace tridimensionnel.
Contenu d’apprentissage
Déterminer par exploration dans l’espace tridimensionnel, les différentes configurations possibles
de deux droites (par exemple, parallèles, sécantes, gauches) et de deux et trois plans
(par exemple, trois plans qui sont parallèles, intersection de deux plans, intersection possible d’une droite
et d’un plan), et décrire les configurations des droites et des plans selon la nature des intersections
(par exemple, l’intersection est une droite, un plan, un point ou est nulle).
Remarque : L’intersection de deux droites et l’intersection d’une droite avec les plans xy, xz et yz
sont présentées dans l’émission.
Objectifs de l’émission
Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns des exercices
et activités proposés, les élèves devraient pouvoir :
• trouver le point d’intersection de deux droites à l’aide de leurs équations
vectorielles;
• visualiser des droites dans un espace à trois dimensions, notamment le concept
des droites obliques (ou gauches), c’est-à-dire des droites non parallèles
qui ne se coupent pas;
• déterminer si deux droites se coupent en comparant leurs équations paramétriques;
• expliquer comment les trois axes de coordonnées définissent trois plans;
• déterminer si une droite coupe l’un ou plusieurs des plans définis par
les trois axes de coordonnées, et trouver le ou les points d’intersection;
• expliquer comment une famille de plans peut être définie par
deux vecteurs non parallèles.
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Les droites et les plans
Émission 3 : Encore des droites dans l’espace

Activités avant le visionnement
1. Demander aux élèves de reconnaître, et de les distinguer entre elles, l’équation
vectorielle, les équations paramétriques et l’équation symétrique d’une droite dans
l’espace, et générer des points situés sur cette droite en utilisant l’une ou l’autre de
ces équations. Trouver trois points pour chacune des droites suivantes :
a. (x, y, z) = (2, 4, -3) + t(1, -6, 5)
b. x = 5t – 3
y = -2t + 1
z = 4 + t
c. x – 1 = y + 4
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Trouver les équations vectorielles et paramétriques des droites suivantes :
2. Droite passant par l’origine dont le vecteur directeur est (7, -2, 3)
a. Droite passant par les points (9, 0, 2) et (-3, 2, 1)
b. Droite parallèle à l’axe des y et passant par le point (3, 1, 5)
3. Trouver les équations paramétriques des droites suivantes :
a. Droite passant par les points (2, 6, 1) et (4, -1, 5)
b. Droite parallèle à (x, y, z) = (1, -2, 0) + t(1, -1, 1) passant par le point (0, 0, 5)
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Les droites et les plans
Émission 3 : Encore des droites dans l’espace

Description de l’émission
Les voyageurs extraterrestres décident que, pour sortir de l’espace bidimensionnel,
il faut qu’ils trouvent l’origine du plan cartésien. Suit alors une brève révision de
l’émission 2 montrant comment l’équation vectorielle d’une droite dans l’espace
peut être établie à partir d’un point situé sur la droite et d’un vecteur directeur.
On explique également comment utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer
si deux droites sont parallèles.
Un exemple, fondé sur les équations vectorielles de deux nouvelles droites,
est alors développé. L’étude de leurs vecteurs directeurs révèle que les droites
ne sont pas parallèles bien qu’il soit difficile de déterminer si elles se coupent.
En égalisant leurs équations paramétriques, on trouve un système de trois équations
à deux inconnues. En choisissant deux des équations et en les résolvant, on peut
donner des valeurs particulières aux deux paramètres. Lorsque ces valeurs satisfont
également la troisième équation, la solution unique au système est complète.
Ceci confirme que les deux droites se coupent vraiment et que, en substituant
des valeurs paramétriques précises dans les deux équations vectorielles de ces droites,
on peut trouver leur point d’intersection.
L’émission montre alors que les manipulations dans un espace tridimensionnel sont
très différentes, sur le plan conceptuel, de celles qui interviennent dans un espace
bidimensionnel. On montre également deux droites non parallèles qui ne se coupent
pas (contrairement à ce qui pourrait se produire dans un espace à deux dimensions).
Ceci peut être déterminé en trouvant une inconsistance dans le système des équations
développées en égalisant toutes leurs équations paramétriques. Ces droites portent
le nom de droites obliques (ou gauches), et l’animation tridimensionnelle permet
d’étudier la situation sous tous ses angles.
On aborde ensuite le concept des plans dans l’espace en montrant comment
les droites dans l’espace coupent trois plans définis par trois axes de coordonnées.
Il est indiqué qu’il suffit de résoudre une seule équation paramétrique d’une droite
pour déterminer si cette droite coupe l’un de ces plans. Puis vient la démonstration
de l’existence d’autres plans dans l’espace en dehors de ces trois plans; on précise
comment deux vecteurs directeurs non parallèles quelconques peuvent définir
une famille infinie de plans parallèles.
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Les droites et les plans
Émission 3 : Encore des droites dans l’espace

Activités après le visionnement
1. Trouvez le point d’intersection des couples de droites suivantes :
a. (x, y) = (-4, -1) + t(5, 3)
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b. (x, y) = (5, 10) + s(2, 4)
c. (x, y) = (2, -1) + t(3, -1)
d. (x, y) = (-10, -8) + s(2, 3)
2. À l’aide de pailles représentant des droites dans l’espace,
démontrez aux élèves les divers cas de points d’intersection.
3. Trouvez, s’il existe, le point d’intersection des deux droites suivantes :
a. x = 4s + 9 x = 3t – 2
b. y = 3 y = -3t + 6
c. z = 2s + 4 z = t – 1
4. Déterminez, s’ils existent, les points d’intersection de la droite
(x, y, z) = (7, 12, 17) + t(2, 4, 5) et des autres droites suivantes :
a. x + 1 = y – 3 = z
2 -4 5
b. x = 3 – s
y = 2 – s
z = s
5. Trouvez, s’ils existent, les points d’intersection de la droite suivante
et des trois plans définis par les axes de coordonnées :
(x, y, z) = (3, 2, -1) + t(4, 3, 2)
Les droites et les plans
Émission 3 : Encore des droites dans l’espace

Émission 4 : Nommer le plan 644304
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MCV4U
Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année
Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs
Attente
Représenter des droites et des plans au moyen d’équations cartésiennes, vectorielles et paramétriques,
et résoudre des problèmes de distances et d’intersections.
Contenus d’apprentissage
• Représenter des plans au moyen d’équations vectorielles et paramétriques à partir de deux vecteurs
directeurs du plan et d’un point du plan ou à partir de trois points du plan.
• Reconnaître algébriquement et géométriquement le vecteur normal au plan, c.-à-d. le vecteur
perpendiculaire au plan (par exemple, le vecteur normal au plan 3x + 5y -2z = 6 est (3, 5, -2),
et déterminer par exploration certaines propriétés du plan (par exemple, toute normale à un plan
possède la même direction; trois points non colinéaires suffisent à définir un plan;
le vecteur résultant de la somme de deux vecteurs dans un plan donné est aussi contenu dans ce plan).
• déterminer à l’aide des propriétés du plan, les équations vectorielle, paramétriques et cartésienne
du plan.
• transformer l’équation d’un plan et l’exprimer sous ses autres formes
(par exemple, cartésienne, vectorielle, paramétriques).
Objectifs de l’émission
Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns des exercices
et activités proposés, les élèves devraient pouvoir :
• déterminer l’équation vectorielle d’un plan, étant donné deux vecteurs directeurs
non parallèles et un point;
• transformer l’équation vectorielle d’un plan en équations paramétriques;
• trouver un vecteur normal à un plan à l’aide du produit vectoriel de
ses vecteurs directeurs;
• trouver l’équation cartésienne d’un plan au moyen du produit scalaire
d’une normale au plan et du vecteur général du plan;
• trouver l’équation cartésienne générale d’un plan : (Ax + By + Cz + D = 0);
• obtenir un vecteur normal directement à partir de l’équation cartésienne;
• trouver l’équation cartésienne du plan étant donné trois points.
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Les droites et les plans
Émission 4 : Nommer le plan

Activités avant le visionnement
1. Les élèves doivent étudier les trois plans définis par les axes de coordonnées,
soit les plans xy, xy et yz.
a. Nommer cinq points situés sur chaque plan
b. Donner trois couples de vecteurs directeurs pour chaque plan
c. Décrire comment une droite pourrait couper un, deux ou trois de ces plans
2. Les élèves devraient réviser les mécanismes permettant de calculer le produit
vectoriel à partir de composantes de deux vecteurs. Ils devraient également revoir
le sens physique et la définition du produit vectoriel et s’exercer à déterminer
la direction donnée par le résultat du produit vectoriel en utilisant la règle de
la main droite.
3. Trouver le produit vectoriel des couples de vecteurs suivants :
a. (1, -2, 2) X (3, 4, -1)
b. (2, -4, -6) X (-1, 2, 3)
c. (7, -3, 0) X (3, -1, -5)
Échanger les deux vecteurs et déterminer si le produit vectoriel est commutatif.
4. Trouver un vecteur directeur des droites suivantes à partir de leurs équations
cartésiennes :
a. 2x + 3y – 4 = 0
b. y = 6x – 5
c. (y + 3) = -2(x – 4)
d. mx + ny – r = 0
18
Les droites et les plans
Émission 4 : Nommer le plan

Description de l’émission
On établit l’équation vectorielle d’un plan comme on avait établi auparavant
l’équation vectorielle d’une droite. Seule différence : il faut deux paramètres pour
pouvoir terminer l’addition vectorielle. C’est-à-dire que l’équation est déterminée
par un point situé sur le plan et deux vecteurs directeurs non parallèles. On se sert
d’un exemple numérique pour compléter le développement de l’équation vectorielle
d’un plan. On illustre ensuite comment trouver les équations paramétriques de
ce plan à partir de l’équation vectorielle (chacune d’elles étant une équation linéaire
à deux paramètres).
Un problème particulièrement ardu – à savoir trouver l’équation cartésienne
d’un plan – est abordé ensuite. Tout comme on était parti d’une droite normale pour
découvrir l’équation cartésienne d’une droite à partir de son équation vectorielle,
on prendra ici aussi au départ une normale au plan. Le produit vectoriel des deux
vecteurs est l’une des méthodes que l’on peut utiliser pour trouver un vecteur
perpendiculaire au plan défini par ces deux vecteurs (la normale au plan).
Un bref exemple numérique indique quelles sont les étapes à suivre pour calculer
le produit vectoriel des deux vecteurs.
L’émission se poursuit avec le développement de l’équation cartésienne d’un plan à
partir de l’exemple original. Pour ceci, il faut calculer la normale au plan à l’aide du
produit vectoriel, puis calculer le produit scalaire de ce vecteur normal et du vecteur
général dans le plan. En fait, le produit scalaire est égal à zéro, mais l’expression de
son calcul est montrée sous la forme de l’équation cartésienne du plan. On donne
l’équation cartésienne générale du plan (Ax + By + Cz + D = 0) et l’on montre
qu’elle contient un vecteur perpendiculaire au plan (A, B, C).
On apprend enfin à trouver rapidement l’équation cartésienne d’un plan à partir
de trois points situés sur ce plan : deux vecteurs directeurs sont découverts entre
les points, leur produit vectoriel donnant une normale au plan et le vecteur normal
donnant les valeurs A, B et C de l’équation générale. On peut déterminer la valeur D
en substituant n’importe quel point original dans cette équation.
19
Les droites et les plans
Émission 4 : Nommer le plan

Activités après le visionnement
1. Trouvez les équations vectorielles des plans suivants, étant donné
deux vecteurs directeurs pour le plan et un point situé sur le plan :
a. Vecteur directeur (3, -7, -3)
Vecteur directeur (0, -5, 1)
Point (1, 7, 2)
b. Vecteur directeur (5, -2, 3)
Vecteur directeur (1, 0, 1)
Point (0, 4, 2)
2. Trouvez les équations vectorielles des plans suivants, étant donné
trois points situés sur le plan :
a. (5, 1, 2) b. (1, 0, 1) c. (7, 0, 2)
(3, -2, 1) (4, -2, 2) (-3, 4, 0)
(2, 0, -1) (5, 3, 4) (-2, 6, 3)
3. Déterminez les équations paramétriques des plans suivants :
a. (x, y, z) = (0, 3, 2) + s(-1, 5, 2) + t(2, 4, 2)
b. (x, y, z) = (-13, 5, 8) + s(2, 6, -8) + t(1, -7, 4)
4. Trouvez la normale aux plans suivants à l’aide du produit vectoriel
de ses vecteurs directeurs :
a. (x, y, z) = (3, 1, -6) + s(0, 1, 1) + t(-1, 2, 1)
b. x = 3s + t + 2
y = 4s + 5
z = s – 2t
c. x = s – t + 2
y = -5s – 2t – 7
z = -2s – t – 2
5. À l’aide du produit scalaire, trouvez l’équation cartésienne des plans suivants,
étant donné un point sur le plan et une normale au plan :
a. Point (4, -1, 3)
Normale (3, 5, 2)
b. Point (2, -1, 1)
Normale (5, 7, 0)
6. En établissant le rapport entre la normale et l’équation cartésienne générale
d’un plan, déterminez l’équation cartésienne des plans suivants, étant donné
un point sur le plan et une normale au plan :
a. Point (1, -1, 4)
Normale (2, -1, 5)
b. Point (4, 7, 1)
Normale (4, -8, -1)
7. Trouvez l’équation cartésienne des plans suivants, étant donné trois points
situés sur le plan :
a. (3, -2, 1) b. (3, 1, -5) c. (2, -1, 3)
(4, 3, 2) (2, -4, 1) (1, 3, -1)
(1, 2, 7) (2, 4, 0) (0, 0, 1)
20
Les droites et les plans
Émission 4 : Nommer le plan

Émission 5 : Les droites qui coupent les plans 644305
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MCV4U
Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année
Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs
Attente
Distinguer les représentations géométriques d’une équation du premier degré ou d’un système
de deux équations du premier degré dans le plan et dans l’espace tridimensionnel, et déterminer
les différentes configurations possibles de droites et de plans dans l’espace tridimensionnel.
Contenus d’apprentissage
• Déterminer par exploration dans l’espace tridimensionnel, les différentes configurations
possibles de deux droites (par exemple, parallèles, sécantes, gauches) et de deux et trois plans
(par exemple, trois plans qui sont parallèles, intersection de deux plans, intersection possible
d’une droite et d’un plan), et décrire les configurations des droites et des plans selon la nature
des intersections (par exemple, l’intersection est une droite, un plan, un point ou est nulle).
Remarque : L’intersection d’une droite et d’un plan est présentée dans l’émission.
• Résoudre des problèmes portant sur l’intersection de droites et de plans représentés sous différentes
formes (par exemple, cartésienne, vectorielle, paramétrique) et comportant des distances
(par exemple, déterminer la distance entre un point et un plan, entre deux droites gauches) ou
des intersections (par exemple, de deux droites; d’une droite et d’un plan), et décrire
l’interprétation géométrique du résultat obtenu.
Objectifs de l’émission
Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns des exercices
et activités proposés, les élèves devraient pouvoir :
• citer et expliquer trois types d’équations d’un plan : l’équation vectorielle,
les équations paramétriques et l’équation cartésienne;
• trouver le point d’intersection entre une droite et un plan au moyen de l’équation
vectorielle de la droite et de l’équation cartésienne du plan;
• décrire et expliquer certains cas particuliers où la droite et le plan ne se coupent
jamais;
• décrire et expliquer certains cas particuliers où la droite est située à même le plan
et, par conséquent, coupe le plan en un nombre infini de points;
• déterminer la distance perpendiculaire entre un point et le plan à l’aide de notions
trigonométriques et du produit scalaire
21
Les droites et les plans
Émission 5 : Les droites coupent les plans

Activités avant le visionnement
1. Les élèves devraient passer en revue et analyser les ramifications du fait d’avoir
m équations ayant n inconnues. Par exemple, si m = n, on pourrait avoir un point
d’intersection qui serait la solution unique au système. Par contre, si les équations
sont moins nombreuses que les inconnues (ou si certaines sont membres
d’une même famille), il est probable qu’il n’y aura pas de solution unique
au système et qu’il y aura une infinité de points d’intersection.
2. Demander aux élèves de se remettre en mémoire les méthodes appliquées
pour trouver la distance entre deux points sur un plan cartésien : la méthode
pythagoricienne traditionnelle. Leur expliquer que ce concept pourrait également
s’appliquer au monde des vecteurs à trois dimensions.
3. Trouver la distance qui sépare les couples de points suivants :
a. (2, 6)
(-3, 1)
22
b. (-3, 3, -3)
(5, -2, 0)
c. (1, -9, 12)
(2, 2, 5).
Les droites et les plans
Émission 5 : Les droites coupent les plans

Description de l’émission
Les voyageurs extraterrestres dressent rapidement la liste des techniques adoptées
auparavant pour établir l’équation cartésienne d’un plan. Suit alors un bref résumé
de l’émission 4 démontrant qu’un point et deux vecteurs directeurs définissent un
plan particulier et, partant, permettent d’établir l’équation vectorielle, les équations
paramétriques et l’équation cartésienne du plan.
L’émission ensuite démontre les techniques dont on se sert pour déterminer le point
précis de l’intersection entre une droite et un plan dans l’espace tridimensionnel.
Dans le premier exemple, on a recours à l’équation vectorielle d’une droite et
l’équation cartésienne d’un plan. On procède alors à la substitution des équations
paramétriques de la droite dans l’équation cartésienne du plan et détermine ainsi
une valeur particulière du paramètre. Cette valeur indique le point d’intersection.
On suggère ensuite qu’il existe d’autres orientations de la droite et du plan qui ne
généreront aucun point d’intersection. Un autre exemple est donné dans le cadre
duquel la substitution des équations paramétriques de la droite dans l’équation
cartésienne du plan ne donne aucun résultat : aucune solution n’existe donc et la
droite et le plan ne se coupent pas.
Des graphiques tridimensionnels montrent en effet et ce, sous divers angles, que
la droite et le plan semblent parallèles et distincts. Ceci est confirmé en vérifiant
si un vecteur normal au plan est également perpendiculaire à la droite (au moyen
des produits scalaires). À noter que le cas particulier de la droite située à même
le plan est aussi mentionné, lequel découle d’un autre exemple qui établit que
le nombre de points d’intersection est infini.
Le dernier exemple de l’émission vise la détermination de la distance entre un plan
et un point (situé sur une droite parallèle au plan et distincte de celui-ci).
La méthode utilisée fait appel à des notions trigonométriques fondamentales
et à la définition du produit scalaire.
23
Les droites et les plans
Émission 5 : Les droites coupent les plans

Activités après le visionnement
1. Trouvez l’équation vectorielle et l’équation cartésienne des plans suivants :
a. x = -5 + 4t + 3
y = 2t
z = 4s – 5t + 1
24
b. x = 3 – 2s + 4t
y = 2t
c. z = 1 + 5s
2. Trouvez les points d’intersection, s’ils existent, des couples de plans
et de droites suivantes :
a. (x, y, z) = (1, 0, -1) + t(3, 1, -7) et x + 3y + z – 2 = 0
b. (x, y, z) = (2, -3, 1) + t(3, -1, 2) et 3x – y – 5z – 6 = 0
c. (x, y, z) = (2, -3, 1) + t(3, -1, 2) et 2x + 4y – z + 9 = 0
3. À l’aide de pailles, on construit un modèle représentant un système de
coordonnées tridimensionnelles (voir les activités après le visionnement
de l’émission 2). En tenant à la main des crayons ou de nouvelles pailles
jouant le rôle des droites, et des cartes à jouer représentant les plans,
visualisez comment les droites et les plans se coupent.
Tenez ces objets au sein du modèle représentant le système de coordonnées
afin d’illustrer et d’expliquer les différents cas d’intersection.
4. Trouvez la distance qui sépare le point (1, -2, 3) des plans suivants :
a. 3x + y – z – 5 = 0
b. 2x – 3y + 6z – 5 = 0
c. x + 4y – 3z = 0
d. 9x + y + z + 7 = 0
Les droites et les plans
Émission 5 : Les droites coupent les plans

Émission 6 : Un plan réussi 644306
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MCV4U
Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année
Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs
Attentes
• Distinguer les représentations géométriques d’une équation du premier degré ou
d’un système de deux équations du premier degré dans le plan et dans l’espace tridimensionnel,
et déterminer les différentes configurations possibles de droites et de plans dans l’espace tridimensionnel.
• Représenter des droites et des plans au moyen d’équations cartésiennes, vectorielles
et paramétriques, et résoudre des problèmes de distances et d’intersections.
Contenus d’apprentissage
• Déterminer par exploration, à l’aide ou non d’outils technologiques, que l’ensemble
des coordonnées (x, y, z) qui vérifient une équation du premier degré dans l’espace tridimensionnel
représentent un plan et que l’ensemble des coordonnées (x, y, z) qui vérifient deux équations
du premier degré dans l’espace tridimensionnel déterminent généralement une droite,
c’est-à-dire que l’intersection de deux plans est généralement une droite.
Remarque : L’intersection de deux plans est présentée dans l’émission.
• Déterminer par exploration dans l’espace tridimensionnel les différentes configurations possibles
de deux droites (par exemple, parallèles, sécantes, gauches) et de deux et trois plans
(par exemple, trois plans qui sont parallèles, intersection de deux plans, intersection possible
d’une droite et d’un plan), et décrire les configurations des droites et des plans selon la nature
des intersections (par exemple, l’intersection est une droite, un plan, un point ou est nulle).
Remarque : Les intersections de deux plans et de trois plans sont présentées dans l’émission.
• Reconnaître que l’équation cartésienne d’un plan dans l’espace tridimensionnel est de la forme
Ax + By + Cz + D = 0, déterminer l’intersection de trois plans représentés sous leur forme cartésienne
en résolvant de façon algébrique un système d’équations du premier degré à trois inconnues et
décrire l’interprétation géométrique du résultat obtenu.
25
Les droites et les plans
Émission 6 : Un plan réussi

Objectifs de l’émission
Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns
des exercices et activités proposés, les élèves devraient pouvoir :
• décrire et expliquer comment deux plans peuvent se couper pour former une droite;
• trouver les équations paramétriques de la droite formée par l’intersection
de deux plans donnés;
• expliquer le cas particulier de deux plans parallèles et distincts qui,
par conséquent, ne se coupent pas;
• discuter d’une variété de cas où les plans se coupent de façons différentes
par rapport au nombre de points d’intersection qui sont engendrés;
• déterminer si trois vecteurs sont coplanaires en multipliant le produit scalaire
de l’un des vecteurs par le produit vectoriel des deux autres.
Activités avant le visionnement
Activités avant le visionnement
1. Demander aux élèves de réviser les concepts de vecteurs colinéaires (parallèles) et
de vecteurs coplanaires (qui appartiennent au même plan). Ils devraient analyser
des couples de vecteurs pour déterminer s’ils sont colinéaires.
2. Déterminer si les couples de vecteurs qui suivent sont colinéaires :
a. (-2, 3)
(6, 4)
26
b. (1, -2, 5)
(-1, 2, -5)
c. (12, 15, -3)
(-8, -10, 2)
Activité d’enrichissement
Déterminer si les groupes suivants de vecteurs sont coplanaires en cherchant à
exprimer l’un des vecteurs sous la forme d’une combinaison linéaire des deux autres.
a. (2, 2, -5)
(1, 1, 0)
(0, 0, 1)
b. (3, 1, 1)
(0, 0, 1)
(1, 1, 0)
c. (10, -3, 1)
(1, 3, -2)
(4, 1, -1)
Les droites et les plans
Émission 6 : Un plan réussi

Description de l’émission
On résume les trois cas de droites qui coupent des plans, soit en un point précis,
soit en un nombre infini de points, soit sans aucun point d’intersection.
On étudie ensuite l’intersection de deux plans. Des graphiques tridimensionnels
indiquent comment deux plans non parallèles se coupent en formant une droite.
On donne alors un exemple numérique où, en connaissant l’équation cartésienne
de chaque plan, on détermine les équations paramétriques de la droite d’intersection.
Suit un exemple qui illustre un cas particulier, à savoir des plans parallèles et distincts
qui, par conséquent, n’ont aucun point commun.
On passe ensuite à tous les cas possibles d’orientation et d’intersection de
trois plans : lorsque les trois normales sont parallèles (y compris les cas où les plans
sont confondus), lorsque deux normales sont parallèles et lorsque aucune normale
n’est parallèle (notamment aucun point d’intersection, un seul point d’intersection
et un nombre infini de points d’intersection).
En examinant les trois vecteurs normaux, on peut déterminer l’orientation précise
des plans. On établit, notamment, que si les trois vecteurs ne sont pas coplanaires,
les trois plans se coupent en un seul point. Ceci peut facilement être démontré en
multipliant le produit scalaire d’un vecteur par le produit vectoriel des deux autres :
si le résultat est zéro, les trois vecteurs sont coplanaires : si le résultat est différent
de zéro, les normales ne sont pas coplanaires.
On aborde, enfin, trois exemples mettant en jeu des vecteurs normaux et
on démontre qu’ils ne sont pas coplanaires, tout en illustrant visuellement que
leur plans correspondants se coupent en un point précis.
27
Les droites et les plans
Émission 6 : Un plan réussi

Activités après le visionnement
1. À l’aide de fiches (ou de vieilles cartes à jouer), construire des plans d’intersection
en fendant à moitié les cartes de plusieurs façons différentes afin de pouvoir
les orienter différemment. Ces cartes peuvent être ensuite imbriquées les unes
dans les autres pour illustrer les diverses intersections des plans dans l’espace.
2. Trouver les équations paramétriques des droites formées par l’intersection
des couples de plans suivants :
a. 4x – 5y – 2z – 1 = 0 et
x – y – 2z = 0
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b. x = s – 4 x = 6p + 2q + 8
y = s + 3t et y = 3p + 5q
z = -s – 2t z = p – q
c. 2x + 3y + 5z + 1 = 0
4x + y + 4z – 4 = 0
3. En utilisant le modèle du système de coordonnées construit avec des pailles
(voir la section précédente des Activités après le visionnement), demander
aux élèves d’illustrer les diverses possibilités d’intersection de deux ou trois plans
en se servant des cartes fendues (voir ci-dessus) et déterminer le nombre de points
d’intersection présents dans chaque cas.
4. Déterminer si les groupes suivants de normales sont coplanaires :
a. (1, 2, 3)
(2, -1, 4)
(3, -14, 1)
b. (1, 1, 0)
(0, 1, 1)
(1, 0, 1)
c. (3, 4, 6)
(2, 7, 7)
Les droites et les plans
Émission 6 : Un plan réussi