Les droites et les plans - TFO

Introduction
Face aux droites et aux plans dans l’espace, matière qui est au programme de
mathématiques du cycle supérieur du palier secondaire, l’élève se sent parfois frustré.
C’est difficile pour lui de comprendre les subtilités et les complexités qu’il aborde
lorsque, abandonnant le plan cartésien, il se plonge dans l’univers tridimensionnel.
L’ensemble des émissions Les droites et les plans permet de visualiser de façon unique
la position des droites et des plans dans l’espace en illustrant les développements
algébriques par des graphiques animés à trois dimensions. Cette série explique
ce qu’on entend par « équation vectorielle d’une droite sur un plan cartésien » et
décrit les rapports qu’elle a avec d’autres formes d’équations linéaires. On montre
comment le produit scalaire de deux vecteurs est utile pour déterminer si ces vecteurs
sont perpendiculaires. Le concept du vecteur normal est aussi défini en fonction de
son rapport avec l’équation cartésienne d’une droite.
La série aborde ensuite l’univers tridimensionnel où les axes des x, y et z sont
représentés comme étant des systèmes de coordonnées tridimensionnels. Les diverses
formes d’équations linéaires sont développées en trois dimensions et on se penche
sur la façon de déterminer les points d’intersection. Il devient vite évident que,
sur le plan conceptuel, l’espace à trois dimensions peut être très différent de l’espace
à deux dimensions. La série a recours à des techniques d’animation pour se déplacer
autour des objets sur l’écran afin de les examiner sous tous les angles.
Le concept des plans dans l’espace est alors présenté et exploré en se servant de
la méthode déjà adoptée pour les droites : un mélange de développement algébrique
assorti de visualisation tridimensionnelle. Enfin, on établit l’équation vectorielle
d’un plan et on la compare à l’équation cartésienne qui lui correspond en se servant,
comme instruments, du produit vectoriel et du produit scalaire de deux vecteurs.
Enfin, la série passe aux diverses configurations des droites et des plans dans l’espace
que l’on établit grâce à une étude de leurs différents points de rencontre : tout est
vu, des cas d’intersection d’un plan par une droite en un point, aux cas d’intersection
de trois plans en un nombre infini de points. La série permet d’envisager les droites
et les plans sous une nouvelle perspective en se libérant des restrictions imposées par
l’univers bidimensionnel et l’environnement algébrique traditionnel. En fournissant
une nouvelle définition des droites et des plans exprimée par des vecteurs, un monde
nouveau de techniques de résolution de problèmes voit le jour.
Pour se préparer au visionnement de la série Les droites et les plans, les élèves
devraient réviser les techniques appliquées pour résoudre les systèmes linéaires :
les différentes formes de l’équation d’une droite sur un plan cartésien et les diverses
méthodes qui permettent de trouver les points d’intersection de deux droites.
Ces techniques seront d’une grande utilité lorsque ces concepts seront transposés
dans un univers à trois dimensions.