Les droites et les plans - TFO

Description de l’émission
Les voyageurs extraterrestres dressent rapidement la liste des techniques adoptées
auparavant pour établir l’équation cartésienne d’un plan. Suit alors un bref résumé
de l’émission 4 démontrant qu’un point et deux vecteurs directeurs définissent un
plan particulier et, partant, permettent d’établir l’équation vectorielle, les équations
paramétriques et l’équation cartésienne du plan.
L’émission ensuite démontre les techniques dont on se sert pour déterminer le point
précis de l’intersection entre une droite et un plan dans l’espace tridimensionnel.
Dans le premier exemple, on a recours à l’équation vectorielle d’une droite et
l’équation cartésienne d’un plan. On procède alors à la substitution des équations
paramétriques de la droite dans l’équation cartésienne du plan et détermine ainsi
une valeur particulière du paramètre. Cette valeur indique le point d’intersection.
On suggère ensuite qu’il existe d’autres orientations de la droite et du plan qui ne
généreront aucun point d’intersection. Un autre exemple est donné dans le cadre
duquel la substitution des équations paramétriques de la droite dans l’équation
cartésienne du plan ne donne aucun résultat : aucune solution n’existe donc et la
droite et le plan ne se coupent pas.
Des graphiques tridimensionnels montrent en effet et ce, sous divers angles, que
la droite et le plan semblent parallèles et distincts. Ceci est confirmé en vérifiant
si un vecteur normal au plan est également perpendiculaire à la droite (au moyen
des produits scalaires). À noter que le cas particulier de la droite située à même
le plan est aussi mentionné, lequel découle d’un autre exemple qui établit que
le nombre de points d’intersection est infini.
Le dernier exemple de l’émission vise la détermination de la distance entre un plan
et un point (situé sur une droite parallèle au plan et distincte de celui-ci).
La méthode utilisée fait appel à des notions trigonométriques fondamentales
et à la définition du produit scalaire.
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Les droites et les plans
Émission 5 : Les droites coupent les plans