Les droites et les plans - TFO

Description de l’émission
On établit l’équation vectorielle d’un plan comme on avait établi auparavant
l’équation vectorielle d’une droite. Seule différence : il faut deux paramètres pour
pouvoir terminer l’addition vectorielle. C’est-à-dire que l’équation est déterminée
par un point situé sur le plan et deux vecteurs directeurs non parallèles. On se sert
d’un exemple numérique pour compléter le développement de l’équation vectorielle
d’un plan. On illustre ensuite comment trouver les équations paramétriques de
ce plan à partir de l’équation vectorielle (chacune d’elles étant une équation linéaire
à deux paramètres).
Un problème particulièrement ardu – à savoir trouver l’équation cartésienne
d’un plan – est abordé ensuite. Tout comme on était parti d’une droite normale pour
découvrir l’équation cartésienne d’une droite à partir de son équation vectorielle,
on prendra ici aussi au départ une normale au plan. Le produit vectoriel des deux
vecteurs est l’une des méthodes que l’on peut utiliser pour trouver un vecteur
perpendiculaire au plan défini par ces deux vecteurs (la normale au plan).
Un bref exemple numérique indique quelles sont les étapes à suivre pour calculer
le produit vectoriel des deux vecteurs.
L’émission se poursuit avec le développement de l’équation cartésienne d’un plan à
partir de l’exemple original. Pour ceci, il faut calculer la normale au plan à l’aide du
produit vectoriel, puis calculer le produit scalaire de ce vecteur normal et du vecteur
général dans le plan. En fait, le produit scalaire est égal à zéro, mais l’expression de
son calcul est montrée sous la forme de l’équation cartésienne du plan. On donne
l’équation cartésienne générale du plan (Ax + By + Cz + D = 0) et l’on montre
qu’elle contient un vecteur perpendiculaire au plan (A, B, C).
On apprend enfin à trouver rapidement l’équation cartésienne d’un plan à partir
de trois points situés sur ce plan : deux vecteurs directeurs sont découverts entre
les points, leur produit vectoriel donnant une normale au plan et le vecteur normal
donnant les valeurs A, B et C de l’équation générale. On peut déterminer la valeur D
en substituant n’importe quel point original dans cette équation.
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Les droites et les plans
Émission 4 : Nommer le plan