Les droites et les plans - TFO

Description de l’émission
Les voyageurs extraterrestres décident que, pour sortir de l’espace bidimensionnel,
il faut qu’ils trouvent l’origine du plan cartésien. Suit alors une brève révision de
l’émission 2 montrant comment l’équation vectorielle d’une droite dans l’espace
peut être établie à partir d’un point situé sur la droite et d’un vecteur directeur.
On explique également comment utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer
si deux droites sont parallèles.
Un exemple, fondé sur les équations vectorielles de deux nouvelles droites,
est alors développé. L’étude de leurs vecteurs directeurs révèle que les droites
ne sont pas parallèles bien qu’il soit difficile de déterminer si elles se coupent.
En égalisant leurs équations paramétriques, on trouve un système de trois équations
à deux inconnues. En choisissant deux des équations et en les résolvant, on peut
donner des valeurs particulières aux deux paramètres. Lorsque ces valeurs satisfont
également la troisième équation, la solution unique au système est complète.
Ceci confirme que les deux droites se coupent vraiment et que, en substituant
des valeurs paramétriques précises dans les deux équations vectorielles de ces droites,
on peut trouver leur point d’intersection.
L’émission montre alors que les manipulations dans un espace tridimensionnel sont
très différentes, sur le plan conceptuel, de celles qui interviennent dans un espace
bidimensionnel. On montre également deux droites non parallèles qui ne se coupent
pas (contrairement à ce qui pourrait se produire dans un espace à deux dimensions).
Ceci peut être déterminé en trouvant une inconsistance dans le système des équations
développées en égalisant toutes leurs équations paramétriques. Ces droites portent
le nom de droites obliques (ou gauches), et l’animation tridimensionnelle permet
d’étudier la situation sous tous ses angles.
On aborde ensuite le concept des plans dans l’espace en montrant comment
les droites dans l’espace coupent trois plans définis par trois axes de coordonnées.
Il est indiqué qu’il suffit de résoudre une seule équation paramétrique d’une droite
pour déterminer si cette droite coupe l’un de ces plans. Puis vient la démonstration
de l’existence d’autres plans dans l’espace en dehors de ces trois plans; on précise
comment deux vecteurs directeurs non parallèles quelconques peuvent définir
une famille infinie de plans parallèles.
15
Les droites et les plans
Émission 3 : Encore des droites dans l’espace