Les droites et les plans - TFO

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Introduction Face aux droites et aux plans dans l’espace, matière qui est au programme de mathématiques du cycle supérieur du palier secondaire, l’élève se sent parfois frustré. C’est difficile pour lui de comprendre les subtilités et les complexités qu’il aborde lorsque, abandonnant le plan cartésien, il se plonge dans l’univers tridimensionnel. L’ensemble des émissions Les droites et les plans permet de visualiser de façon unique la position des droites et des plans dans l’espace en illustrant les développements algébriques par des graphiques animés à trois dimensions. Cette série explique ce qu’on entend par « équation vectorielle d’une droite sur un plan cartésien » et décrit les rapports qu’elle a avec d’autres formes d’équations linéaires. On montre comment le produit scalaire de deux vecteurs est utile pour déterminer si ces vecteurs sont perpendiculaires. Le concept du vecteur normal est aussi défini en fonction de son rapport avec l’équation cartésienne d’une droite. La série aborde ensuite l’univers tridimensionnel où les axes des x, y et z sont représentés comme étant des systèmes de coordonnées tridimensionnels. Les diverses formes d’équations linéaires sont développées en trois dimensions et on se penche sur la façon de déterminer les points d’intersection. Il devient vite évident que, sur le plan conceptuel, l’espace à trois dimensions peut être très différent de l’espace à deux dimensions. La série a recours à des techniques d’animation pour se déplacer autour des objets sur l’écran afin de les examiner sous tous les angles. Le concept des plans dans l’espace est alors présenté et exploré en se servant de la méthode déjà adoptée pour les droites : un mélange de développement algébrique assorti de visualisation tridimensionnelle. Enfin, on établit l’équation vectorielle d’un plan et on la compare à l’équation cartésienne qui lui correspond en se servant, comme instruments, du produit vectoriel et du produit scalaire de deux vecteurs. Enfin, la série passe aux diverses configurations des droites et des plans dans l’espace que l’on établit grâce à une étude de leurs différents points de rencontre : tout est vu, des cas d’intersection d’un plan par une droite en un point, aux cas d’intersection de trois plans en un nombre infini de points. La série permet d’envisager les droites et les plans sous une nouvelle perspective en se libérant des restrictions imposées par l’univers bidimensionnel et l’environnement algébrique traditionnel. En fournissant une nouvelle définition des droites et des plans exprimée par des vecteurs, un monde nouveau de techniques de résolution de problèmes voit le jour. Pour se préparer au visionnement de la série Les droites et les plans, les élèves devraient réviser les techniques appliquées pour résoudre les systèmes linéaires : les différentes formes de l’équation d’une droite sur un plan cartésien et les diverses méthodes qui permettent de trouver les points d’intersection de deux droites. Ces techniques seront d’une grande utilité lorsque ces concepts seront transposés dans un univers à trois dimensions.
Émission 1 : Cherchez la droite 644301 Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario MCV4U Titre : Calcul différentiel et vecteurs, 12 e année Domaine : Algèbre et géométrie des vecteurs Attente Représenter des droites et des plans au moyen d’équations cartésiennes, vectorielles et paramétriques, et résoudre des problèmes de distances et d’intersections. Contenu d’apprentissage Reconnaître que l’équation d’une droite dans le plan représenté sous la forme Ax + By + C = 0 est une équation cartésienne de la droite donnée, représenter une droite dans le plan au moyen d’équations vectorielles et paramétriques et faire le lien entre les équations de formes cartésienne et vectorielle. Objectifs de l’émission Après avoir visionné l’émission et effectué quelques-uns des exercices et activités proposés, les élèves devraient pouvoir : • définir et expliquer le concept du vecteur, de la grandeur scalaire et du paramètre; • décrire les caractéristiques des vecteurs, leur représentation sous la forme de couples ordonnés sur un plan cartésien, et la multiplication d’un vecteur par un scalaire; • établir le rapport entre le vecteur directeur d’une droite et sa pente; • trouver l’équation vectorielle d’une droite à partir du vecteur directeur d’une droite et d’un point; • générer des points sur une droite au moyen de ses équations paramétriques; • passer d’une forme à l’autre des trois types d’équations s’appliquant à une droite : l’équation vectorielle, les équations paramétriques et l’équation cartésienne. 5 Les droites et les plans Émission 1 : Cherchez la droite
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