lignes d'influence dans les poutres isostatiques - Gramme

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
DEFINITION
les lignes d’influence décrivent l’influence de
la position des charges sur la valeur d’un effet
(R, V ou M) dans une section déterminée;
signification opposée à celle des diagrammes
ordinaires :
Position charge :
Position section :
L.I. Diagramme
variable
fixe
fixe
variable

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
soit une poutre isostatique, parcourue par une
charge verticale P;
soit un effet déterminé (R) produit par cette
force dans une section fixe (appui gauche);
R
P

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
soit une poutre isostatique, parcourue par une
charge verticale P;
soit un effet déterminé (R) produit par cette
force dans une section fixe (appui gauche);
R=0
P

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
soit une poutre isostatique, parcourue par une
charge verticale P;
soit un effet déterminé (R) produit par cette
force dans une section fixe (appui gauche);
R=P/2
P
P/2

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
soit une poutre isostatique, parcourue par une
charge verticale P;
soit un effet déterminé (R) produit par cette
force dans une section fixe (appui gauche);
P
P
R=P
P/2

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
soit une poutre isostatique, parcourue par une
charge verticale P;
soit un effet déterminé (R) produit par cette
force dans une section fixe (appui gauche);
P
1,3P
P
R=1,3P
L.I. R
P/2

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES
Dehard 2002
POUTRES ISOSTATIQUES
1,3P
P
R
P
L.I. R
P/2
la L.I. est la courbe telle que son ordonnée lue
sous les diverses positions de la charge donne
la valeur de l’effet considéré dans la section
choisie;
la L.I. permet donc de trouver la position des
charges qui produit le max (le min) d’un effet
déterminé dans une section déterminée;

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
Tracé rapide des L.I. : hypothèses
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cas de charges verticales (vers le bas);
démonstration pour une charge unitaire
(principe de superposition applicable);
L.I. réaction d’appui (R)
soit une poutre iso soumise à une charge
unitaire ;
A
B
recherchons la RC par le théorème des
travaux virtuels
1
C D
RC

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
L.I. réaction d’appui (R)
Dehard 2002
A
A
B
B
δv
si on choisit δv comme unité, RC est donc
donné par l’ordonnée δy de la déformée
virtuelle lue sous la charge !
la L.I. de RC: c’est la déformée virtuelle lue à
l’échelle δv (d.r.b.c.): RC = y/u !
1
C D
C D
RC
δy
δW = RC. δv − 1. δy = 0 RC = dy/dv
1

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
L.I. effort tranchant (V)
Dehard 2002
A
A
B
B
si on choisit δv comme unité, V est donc
donné par l’ordonnée δy (-) de la déformée
virtuelle lue sous la charge !
la L.I. de V: c’est la déformée virtuelle lue à
l’échelle δv (d.r.b.c.): V = y/u !
1
C D
δW = V. δv + 1. δy = 0 V = - dy/dv
V
1
δv
C D
δy
V

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
L.I. moment (M)
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A
A
B
B
si on choisit δθ comme unité, M est donc
donné par l’ordonnée δy de la déformée
virtuelle lue sous la charge !
la L.I. de M: c’est la déformée virtuelle lue à
l’échelle δθ (d.r.b.c.): M = y/u !
1
C D
δW = M. δθ - 1. δy = 0 M = dy/dq
1
M
C D
δy
M
δθ

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
Les signes des L.I.
A
A
pour des charges verticales vers le bas;
si le dépl. virtuel a le sens des efforts associés;
le signe des effets est contraire à celui du travail
virtuel de la force unitaire !
Dehard 2002
B
B
1
δv
C D
δy V
1
C D
δy
M
δθ
V = - dy/dv
M = dy/dq

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
Les signes des L.I.
A
A
pour des charges verticales vers le bas;
si le dépl. virtuel a le sens des efforts associés;
le signe des effets est contraire à celui du travail
virtuel de la force unitaire !
Les plages L.I. sont donc positives au-dessus !
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B
1 δv
+ +
C D
δy
1
V
C D
- B
-
δy
−
+
M
δθ
V = - dy/dv
−
M = dy/dq

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
Les unités des L.I.
A
A
A
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+
B
B
u
RC
y
C D
1
1
C D
- B y -
1
C D
y -
u
+ +
+
M
V
u
-
-
a b
u = b/a

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
Utilisation des L.I.
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pour n charges
concentrées :
R,
V,
M
=
n
∑
i=
1
Q
i
y
i
u
pour une charge
répartie q(x):
R,
V,
M
=
b
∫
a
q(
x)
pour une charge uniformément répartie q:
R,
V,
M
b
q
= ∫ u
a
y(
x)
dx
=
q.
S
( a,
b)
u
y(
x)
dx
u
Les effets max s’obtiendront en chargeant le
plus possible les plages de même signe !

L. I. POUTRES ISOSTATIQUES
Pour obtenir la L.I. d’un effet ...
Dehard 2002
effectuer une coupure simple relative à l’effet;
donner à la poutre, devenue un mécanisme, un
déplacement virtuel compatible avec les
liaisons;
la déformée virtuelle obtenue, lue à l’échelle du
déplacement relatif des bords de la coupure,
représente la L.I. cherchée.
remarque : les ordonnées de la L.I. sont en fait
les projections des déplacements sur la
direction des forces (projections confondues
avec les déplacements dans le cas de poutres
horizontales et de charges verticales).