Pi - LIFL

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Le nombre π est-il simple ou compliqué ?
Jean-Paul Delahaye
Université des Sciences et Technologies de Lille
Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille
(U.M.R. CNRS 8022)
delahaye@lifl.fr
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Explorer π c'est comme explorer l'univers...
David Chudnovsky
...ou plutôt explorer le monde sous-marin car nous sommes dans la vase et que tout semble
sans forme. Nous avons besoin d'une lampe, et notre ordinateur est cette lampe
Gregory Chudnovsky
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π est le rapport entre
la longueur du périmètre P d'un cercle
et son diamètre D (le double du rayon r) :
π = P / 2r
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Le π des physiciens ?
Le π "sur terre" est plus petit que le vrai π = 3,1415926535... car P/2r < P/2R
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L'espace n'est pas Euclidien.
Quand on passe la main sur un cercle "son π" change !
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S = π r 2 Est-ce le même π ?
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Quelle définition sérieuse pour π ?
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Evaluer π ?
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(a) Méthode du tronc d'arbre (b) Méthode du disque peint (c) Méthode de la sphère peinte
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Des additions, deux multiplications et une division
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S'amuser avec π
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Le record de mémorisation des décimales de π est de 42 000.
Il est détenu depuis 1995 par un japonais de 21 ans, Hiroyuki Goto.
Réciter ces 42000 décimales lui demande 9 heures.
***
Record battu en septembre 2006 : 100 000 décimales
Akira Haraguchi,
16 heures pour réciter les décimales !
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Que j' aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Glorieux Archimède, artiste ingénieux,
8 9 7 9
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,
3 2 3 8 4 6 2 6
Soit ton nom conservé par de savants grimoires !
4 3 3 8 3 2 7 9
Jadis, mystérieux un problème bloquait
5 0 2 8 8
Tout l' admirable procédé, l' œuvre grandiose
4 1 9 7 1 6 9
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
3 9 9 3 7 5
O quadrature ! vieux tourment du Philosophe !
1 0 5 8 2 0
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
9 7 4 9 4 4
Défié Pythagore et ses imitateurs.
5 9 2 3 0
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Comment intégrer l' espace plan circulaire ?
7 8 1 6 4 0
Former un triangle auquel il équivaudra ?
6 2 8 6 2 0
Nouvelle invention : Archimède inscrira
8 9 9 8
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
6 2 8 0 3 4
Fonction du rayon. Pas trop ne s' y tiendra :
8 2 5 3 4 2 1 1 7
Dédoublera chaque élément antérieur ;
0 6 7 9
Toujours de l' orbe calculée approchera ;
8 2 1 4 8 0
Définira limite ; enfin, l' arc, le limiteur
8 6 5 1 3 2 8
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
2 3 0 6 6 4 7
Professeur, enseignez son problème avec zèle !...
0 9 3 8 4 4
Pour 1/π = 0,3183098... il y a la phrase astucieuse :
"Les trois journées de 1830 ont renversé 89".
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• Le "0" n'apparaît la première fois qu'en position 32 après la virgule alors que tous les autres
chiffres sont déjà représentés au moins une fois dans les 13 premières décimales. Pourquoi ce retard
du "0" ?
• Les décimales de π à partir de la 762-ièmes sont 999999. C'est quand même étonnant. Qu'il y ait
six "9" consécutifs quelque part dans le premier million de décimales de π ne serait pas étonnant,
mais que cela se produise avant la millième décimale n'est-ce pas troublant ?
• En additionnant les 20 premières décimales de π après la virgule (1+4+1+5+9+...+6) on trouve
100. Doit-on chercher une explication ?
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• En additionnant les 144 premières décimales de π (1+4+1+5+9+...+5+9) on trouve 666. Doit-on
en conclure que π est satanique ?
1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6 100
2+6+4+3+3+8+3+2+7+9+5+0+2+8+8+4+1+9+7+1 92
6+9+3+9+9+3+7+5+1+0+5+8+2+0+9+7+4+9+4+4 104
5+9+2+3+0+7+8+1+6+4+0+6+2+8+6+2+0+8+9+9 95
8+6+2+8+0+3+4+8+2+5+3+4+2+1+1+7+0+6+7+9 86
8+2+1+4+8+0+8+6+5+1+3+2+8+2+3+0+6+6+4+7 84
0+9+3+8+4+4+6+0+9+5+5+0+5+8+2+2+3+1+7+2 83
5+3+5+9 22
---
666
• Parmi les 400 premiers chiffres de π il n'y a que 24 "7" ce qui est peu par rapport aux 40 "7"
attendus (voir plus de précisions au chapitre 5).
• Le groupe de 3 chiffres qui se termine à la position 315 est 315, et celui qui se termine à la
position 360 est 360.
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La quadrature du cercle
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Anaxagore (500-428 avant J.-C.) emprisonné à Athènes pour impiété (car il professait une théorie
du soleil qui en niait le caractère divin et car il soutenait que la lune ne faisait que refléter la lumière
solaire) se proposa de quarrer le cercle.
Le problème consiste à se donner un cercle et à tenter de dessiner un carré de même aire.
• N'utiliser qu'une règle (non graduée) et un compas ;
• Ne procéder qu'à un nombre fini de tracés intermédiaires.
Lorsqu'on ne s'impose pas ces deux contraintes, de nombreuses solutions sont possibles.
Le problème est équivalent à trouver une construction à la règle et au compas de π
Le problème de la rectification du cercle consiste à tracer un segment dont la longueur est celle de
la circonférence du cercle de départ. Il revient à construire le nombre π à la règle et au compas.
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Lunule d'Hippocrate de Chio
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Polygone tracable à la règle et au compas : Gauss m = 2 i p 1 ... p n p i = 2 2n +1
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Académie Royale des Sciences de Paris, année 1775.
L'Académie a pris, cette année, la résolution de ne plus examiner aucune solution des
problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l'angle, ou de la quadrature du cercle,
ni aucune machine annoncée comme un mouvement perpétuel.
Nous avons cru devoir rendre compte ici des motifs qui l'ont déterminée. Le problème de la
duplication du cube a été célèbre chez les Grecs. On prétend que l'oracle de Delos, consulté
par les Athéniens sur les moyens de faire cesser la peste, leur prescrivit de consacrer au Dieu
de Delos, un autel cubique double de celui qu'on voyait dans son temple. [...] Le problème de
la trisection de l'angle fut également célèbre chez les Anciens ; on le résolut d'abord par une
construction qui renfermait la description d'une courbe du troisième degré. [...]
Cependant, comme les Anciens ne regardaient comme géométriques que les solutions où l'on
n'employait que la ligne droite et le cercle, la règle et le compas, cette expression a fait naître
un préjugé, qui règne encore chez des hommes peu éclairés ; ils continuent de s'appliquer à
chercher des solutions géométriques de ces Problèmes ; les uns, en n'employant que la ligne et
le compas, donnent des solutions erronées ; d'autres en donnent de vraies, mais, sans le savoir
ils emploient des courbes, et leurs solutions rentrent dans celles qui sont connues : tout
examen est donc inutile.
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Le problème de la quadrature du cercle est d'un ordre différent : la quadrature de la parabole
trouvée par Archimède, celle des lunules d'Hippocrate de Chio, donnèrent des espérances de
quarrer le cercle, c'est-à-dire, de connaître la mesure de sa surface : Archimède montra que ce
Problème, et celui de la rectification du cercle, dépendaient l'un de l'autre, et depuis ils ont été
confondus.
On ne connaît que des méthodes d'approximation pour quarrer le cercle, la première est due à
Archimède ; un grand nombre de Géomètres célèbres en ont proposé de nouvelles, très
ingénieuses, très simples, très commodes dans la pratique ; il est possible encore de
perfectionner ces méthodes ; l'Académie n'exclut pas ce genre de recherches ; mais ce ne sont
pas des méthodes d'approximations, que prétendent donner ceux qui s'occupent de la
quadrature du cercle, ils aspirent à la solution rigoureuse du Problème. [...] une expérience de
plus de soixante-dix ans, a montré à l'Académie qu'aucun de ceux qui lui envoyaient des
solutions de ces Problèmes, n'en connaissaient ni la nature ni les difficultés, qu'aucune des
méthodes qu'ils employaient n'aurait pu les conduire à la solution quand même elle serait
possible. Cette longue expérience a suffi pour convaincre l'Académie du peu d'utilité qu'il
résulterait pour les Sciences de l'examen de toutes ces prétendues solutions.
D'autres considérations ont encore déterminé l'Académie. Il existe un bruit populaire que les
Gouvernements ont promis des récompenses considérables à celui qui parviendrait à résoudre
le Problème de la quadrature du cercle ; que ce Problème, est l'objet de recherches des
Géomètres les plus célèbres. Sur la foi des ces bruits, une foule d'hommes beaucoup plus
grande qu'on ne le croit, renonce à des occupations utiles pour se livrer à la recherche de ce
Problème, souvent sans l'entendre, et toujours sans avoir les connaissances nécessaires pour
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en tenter la solution avec succès : rien n'était plus propre à les désabuser que la déclaration
que l'Académie a jugé devoir faire. Plusieurs avaient le malheur de croire avoir réussi, ils se
refusaient aux raisons avec lesquelles les géomètres attaquaient leurs solutions, souvent ils ne
pouvaient les entendre, et ils finissaient par les accuser d'envie et de mauvaise foi. Quelquefois
leur opiniâtreté a dégénéré en une véritable folie. Tout attachement opiniâtre à une opinion
démontrée fausse, s'il s'y joint une occupation perpétuelle du même objet, une impatience
violente de la contradiction, est sans doute une véritable folie ; mais on ne la regarde point
comme telle, si l'opinion qui forme cette folie ne choque pas les idées connues des hommes, si
elle n'influe pas sur la conduite de la vie, si elle ne trouble pas l'ordre et la Société. [...]
L'humanité exigeait donc que l'Académie, persuadée de l'inutilité absolue de l'examen qu'elle
aurait pu faire des solutions de la quadrature du cercle, cherchât à détruire, par une déclaration
publique, des opinions populaires qui ont été funestes à plusieurs familles. [...] La quadrature
définie du cercle est le seul des Problèmes rejetés par l'Académie, qui puisse donner lieu à des
recherches utiles, et si un Géomètre venait à la trouver, la délibération de l'Académie ne ferait
qu'augmenter sa gloire, en montrant quelle opinion les Géomètres ont de la difficulté, pour ne
pas dire de l'insolubilité du Problème.
Légende. Partie du texte de l'Académie Royale des Sciences de Paris, année 1775. Imprimerie
Royale Paris, 1778, pp. 61-66.
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Wantzel 1837
Nombres constructibles à la règle et au compas =
nombres qu'on obtient à partir des entiers et de l'application un nombre fini de fois
d'opérations parmi :
Exemples :
addition, soustraction, multiplication, division et
racine carrée.
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équations non résolubles par radicaux : Abel 1824 (complété par Galois)
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Liouville 1844
e est transcendant : Hermite 1873
π est transcendant : Lindemann 1882
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Histoire de π
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Le papyrus de Rhind retrouvé en 1855 contient le texte recopié vers l'an 1650 avant J.-C. par
le scribe Ahmès d'un manuel de problèmes plus ancien encore (sans doute de 1800 avant J.-
C.). Il est conservé au British Museum et il indique un calcul qui pour être exact supposerait
que π vaut (16/9) 2 = 3.160449.
La méthode indiquée pour calculer la surface d'un disque propose de faire les opérations
suivantes :
(a) enlever un neuvième au diamètre, puis
(b) multiplier le résultat par lui-même.
Ceci est remarquablement simple. Traduit en notations modernes la formule proposée est :
S = (D - D/9) 2.
La formule exacte étant :
S = (D/2) 2 π,
on en déduit que les égyptiens considéraient implicitement que π = (16/9) 2 = 3.160449... Nous
ne savons pas s'ils avaient conscience que ce n'était qu'une valeur approchée.
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Dans son texte intitulé De la mesure du cercle, il commence par établir que le rapport entre la
surface d'un cercle et le carré du rayon est le même que le rapport entre le périmètre et le diamètre.
Puis en considérant des polygones de 6, puis 12, puis 24, puis 48, puis 96 côtés Archimède calcule
soigneusement des encadrements successifs de π qui le conduisent à l'évaluation :
autrement dit :
3 + 10/71 = 223/71 < π < 3 + 1/7 = 22/7
3,1408 < π < 3,1429
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Voici le détail numérique des approximations données par les formules d'Archimède (nous
convenons de souligner les chiffres inexacts :
b0=3 a0=3,464101616
b1=3.105828540 a1=3,215390308
b2=3.132628612 a2=3,159659942
b3=3.139350206 a3=3,146086216
b4=3.141031951 a4=3,142714600
Si Archimède avait poursuivi deux étapes de plus (polygones à 192 côtés et polygone à 384 côtés)
il aurait trouvé les encadrements suivants de π :
b5=3.141452471 a5=3.141873050
b6=3.141557608 a6=3.141662748
Pour arriver à son approximation :
223/71 < π < 22/7
Archimède a dû évaluer des racines carrées à chaque étape par valeurs inférieures ou par valeurs
supérieures selon qu'il calculait an ou bn.
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Les Mayas
La science des mayas dont les premières traces remontent à trois mille ans, semble d'après la
précision extraordinaire de leur système de calendrier avoir atteint un très haut degré de raffinement
mathématique et trigonométrique. Les spécialistes jugent probable que les savants Mayas avaient
utilisé des valeurs de π (ou d'un équivalent) ayant une précision de 8 chiffres au moins.
En 1560, Diego de Landa évêque du Yucatán récemment conquis par les espagnols, brûla tous les
documents Mayas qu'on avait retrouvés.
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En Inde
En Inde le plus ancien document dont on dispose qui traite de calculs impliquant π est le Siddantas
qui est daté de l'an 380 de notre ère et utilise la valeur
3+17/1250 = 3,1416.
Le mathématicien Indien Brahmagupta né en 596 de notre ère propose pour π la valeur
10 = 3,162277
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En Chine
En Chine la valeur de 3 fut utilisée 12 siècles avant notre ère.
La valeur 3,1622 (proche de 10 ) est proposée en l'an 130 de notre ère par Hou Han Shu.
En 263 le mathématicien Liu Hui en étudiant, comme Archimède, un polygone de 192 côtés
propose l'encadrement :
3,141024 < π < 3,142704
puis avec un polygone de 3072 côtés trouve π = 3,14159.
Au 5ème siècle Tsu Chung-Chih et son fils Tsu Keng-Chih (aussi écrit Zu Chongshi) trouve
l'encadrement :
et découvre la valeur approchée
3,1415926 < π < 3,1415927
355/113.
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Dans le monde de l'Islam
Vers l'an 800, Muhammad ibn Musa Al-Khowarrizmi (aussi orthographié Al'Khwarizmi ou Al-
Huwarizmi et dont le nom est à l'origine du mot algorithme) né à Huwarrizm utilise la valeur
3,1416.
Vers 1450, Al-Kashi astronome à Samarkand dont il dirige l'observatoire, calcule π avec 14
décimales en utilisant la méthode des polygones d'Archimède, plus précisément en utilisant la
formule de récurrence qui donne le côté des polygones de n côtés :
s(6) = 1 s(2n) = 2 - 4 - s 2(n)
Il mène son calcul en utilisant 27 fois la formule ce qui revient donc à considérer le périmètre d'un
polygone de 3.2 28 côtés.
Al Kashi calcule en sexagésimal et trouve : 2π = 6, 16 59 28 1 34 51 46 14 50
C'est la première fois dans l'histoire de l'humanité que l'on dépasse 10 décimales de π.
Pour cent décimales, il faudra attendre le 18ème siècle, et le 20ème pour les mille décimales.
Mais en fait au 20ème siècle, on atteindra aussi 10 000 décimales, 100 000 décimales, un million de
décimales et même (en 1989) un milliard de décimales.
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Calculateurs fous
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Toujours plus loin
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Doublement de vitesse tous les 18 mois (loi de Moore)
= multiplication par 10 de la vitesse tous les 5 ans
= multiplication par 10 du nombre de chiffres calculés tous les 10 ans (algorithmes en n 2 )
Donc : un million en 1973 (Guilloud Bouyer) ====> un milliard en 2003
Or un milliard a été obtenu en 1989 (Chudnowski). Comment ?
Quelques idées sont nécessaires
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1968 Strassen découvre une méthode de multiplication basée sur la transformée de Fourier
discrète introduite en 1965 par Cooley et Tukey.
1971 Schönhage propose une multiplication en n.ln(n).ln(ln(n)) ce qui est mieux que
n 1+e
(Utile en cryptographie et pour la recherche de nombres premiers géants)
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Srinivasa Ramanujan est né en Inde en 1887 dans une famille pauvre et y est mort en 1920.
Le mathématicien anglais Godfrey Harold Hardy (1877-1947) est le découvreur de
Ramanujan et il est aussi l'européen qui l'a le mieux connu.
Il écrit de lui :
«qu'il est le personnage le plus romanesque de l'histoire récente des mathématiques ; un
homme dont la carrière semble accumuler les contradictions et les paradoxes et qui défie tous
les critères auxquels on est accoutumé à se référer pour juger les autres».
En 1913, Ramanujan écrit à Hardy une lettre contenant 120 énoncés mathématiques.
Hardy reconnaît immédiatement en lisant les formules extraordinaires (certaines avaient déjà été
trouvées, d'autres non) que ce ne peut être ni l'œuvre d'un farfelu ni celle d'un fou.
Hardy réussit à le faire venir en Angleterre, l'accueille, travaille avec lui pendant plusieurs années.
En 1918, Ramanujan devient membre de la Société Royale et membre du Trinity Collège.
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Le calcul de 2002 de Kanada (1 241 100 000 000 décimales) utilise les formules :
de K. Takano 1982 et F. Störmer 1896
1 030 700 000 000 chiffres en base 16, puis conversion en base 10
Raisons du changement : problèmes liés à la mémoire et aux communications massives
nécessaires pour la mise en œuvre des formules utilisées lors des calculs précedents.
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Progrès récents du à Xavier Gourdon qui propose des formules permettant un compromis
entre l'utilisation de plus de calcul ou de plus de mémoire, et autorisant donc peut-être la mise
au point d'algorithmes massivement distribués pour le calcul (exhaustif)
des chiffres décimaux de π.
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π est-il simple ou compliqué ?
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Il est simple quand on le regarde sous le bon angle
Il apparaît compliqué observé de certains points de vue
C'est le propre d'un objet mathématiquement intéressant
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Le nombre Oméga de Chaitin est bien pire :
- oméga est transcendant ; comme π
- oméga est normal (donc c'est un nombre univers) ; pour π on ne sait pas
- oméga est non calculable ; π est calculable
- oméga est aléatoire au sens de l'incompressibilité (Martin-Lôf) ; π est compressible
- oméga est imprédictible ; π est prédictible
Progrès récent de D. Bailay et R. Crandal vers une démonstration que π est normal.
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Jeux de la vie de Conway
• naissance si 3 voisins
• survie si deux ou trois voisins
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