Couples de variables aléatoires

2 Lycée CHATEAUBRIAND - BCPST 1B
Remarque 2. La loi conjointe d’un couple de variables aléatoires est souvent représentée sous forme
de tableau. Si X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) = {y1, . . . , yp}, on note
Exemple 2.
pi,j = P [X = xi] ∩ [Y = yj] .
Proposition 1. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires tel que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) =
{y1, . . . , yp}. Alors,
n
i=1
p
P [X = xi] ∩ [Y = yj] =
j=1
p
j=1
n
P [X = xi] ∩ [Y = yj] = 1.
Remarque 3. La somme des coefficients du tableau qui représente la loi conjointe vaut 1 :
1≤i≤n
1≤j≤p
i=1
pi,j = 1.
Les deux formules de la proposition précédente correspondent respectivement aux sommes des coefficients
obtenus sur chaque ligne ou sur chaque colonne.
2. Lois marginales
Définition 3. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires. On appelle lois marginales les lois de
probabilités des variables aléatoires X et Y .
Théorème 2. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires tel que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) =
{y1, . . . , yp}. Alors, on peut retrouver les lois de X et Y à partir de la loi conjointe :
∀ i ∈ [1, n], P(X = xi) =
∀ j ∈ [1, p], P(Y = yj) =
p
P [X = xi] ∩ [Y = yj] ,
j=1
n
P [X = xi] ∩ [Y = yj] .
Remarque 4. En utilisant la représentation de la loi conjointe à l’aide d’un tableau, il suffit de faire
la somme des lignes pour obtenir la loi X et la somme des colonnes pour obtenir la loi de Y .
Exemple 3.
3. Lois conditionnelles
Définition 4. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires.
∗ Pour tout y ∈ Y (Ω) tel que P([Y = y]) = 0, l’application
P[Y =y] : X(Ω) −→ [0, 1]
i=1
x ↦−→ P [X = x] ∩ [Y = y]
P([Y = y])
est appelée loi conditionnelle de X sachant [Y = y].
= P([X = x] [Y = y])