Couples de variables aléatoires

4 Lycée CHATEAUBRIAND - BCPST 1B
III. Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
1. Loi d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Définition 6. Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires et u : R 2 −→ R une application. On
définit la variable notée u(X, Y ) par :
u(X, Y ) : Ω −→ R
ω ↦−→ u X(ω), Y (ω) .
Proposition 4. La loi de Z = u(X, Y ) est donnée par par :
∀ z ∈ Z(Ω), P(Z = z) =
P [X = x] ∩ [Y = y] .
(x,y) | u(x,y)=z
2. Cas particulier de la somme de deux variables aléatoires
Proposition 5. Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires. La loi de Z = X + Y est donnée par
par :
∀ z ∈ Z(Ω), P(Z = z) =
P [X = x] ∩ [Y = y] .
(x,y) | x+y=z
Exercice 1. On effectue deux tirages successifs et sans remise dans une urne contenant 4 boules
numérotées de 1 à 4. On note X le plus petit des numéros tirés et Y le plus grand.
En utilisant la loi conjointe du couples (X, Y ), déterminer la loi de Z = X + Y .
Théorème 3. Soient X ↩→ B(m, p) et Y ↩→ B(n, p) deux variables aléatoires indépendantes.
Alors,
X + Y ↩→ B(m + n, p).
3. Espérance d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Théorème 4 (Theorem de transfert). Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles sur
(Ω, P(Ω), P) telles que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) = {y1, . . . , yp} et u : R 2 −→ R une application.
Alors,
E(u(X, Y )) =
1≤i≤n
1≤j≤p
u(xi, yj) P [X = xi] ∩ [Y = yj] =
n
i=1
p
u(xi, yj)pi,j =
Exemple 7. Retour à l’exercice précédent. On recherche de l’espérance de Z = XY .
Proposition 6. Soient X, Y des variables aléatoires réelles et a, b des réels. Alors,
On dit que l’espérance est linéaire.
j=1
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).
p
j=1
n
i=1
u(xi, yj)pi,j.