Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Approximations multiéchelles
Marie Postel
Laboratoire Jacques-Louis Lions
Université Pierre et Marie Curie
Boˆte courier 187
75252 Paris Cedex 05
http://www.ann.jussieu.fr/˜postel
1

Table des matières
1 Introduction 4
2 Transformation multiéchelle 6
2.1 La Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 La transformation multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Décomposition multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Algorithmes de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Intérêt de la représentation multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Codage par valeurs ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Multirésolution par valeurs moyennes 14
3.1 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Décomposition Multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Précision polynômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Stabilité multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8 Compression et arborescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Schémas Volumes Finis pour les systèmes de lois de conservation 29
5 Le schéma de Harten et le schéma adaptatif 36
5.1 L’hypothèse d’Harten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Le schéma de multirésolution d’Harten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Algorithme complètement adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 L’initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Le raffinement prédictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.6 Le calcul précis des flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.6.1 Évaluation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Analyse de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Applications numériques 42
6.1 Cas mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Prediction operator for a triangular mesh 49
8 Conclusion 56
2

Table des figures
1 Approximation de f par ses valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Base orthonormale ϕj,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Approximations successives Pj et Pj+1 et détail Qj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 L’ondelette duale ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Algorithmes multiéchelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Codage / décodage par valeurs ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Exemple de stencil de reconstruction sur une maillage non structuré. Les Ui sont les valeurs moyennes
au niveau j−1 et les Vj, j = 0, ..., 3 sont les valeurs moyennes
sur les gros triangles correspondants Ω j−1
k
sur les quatre subdivisions Ω j
k
j = 0, ...3 de Ωj−1
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 0 (Haar) à gauche et r = 2 à droite. . . . . . . . 24
9 Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 4 à gauche et r = 6 à droite. . . . . . . . . . . . 24
10 Ondelettes primales r = 0, 2, 4 et 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 Exemple d’arbre non graduel Λ et maillage adaptatif correspondant S(Λ). . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 Arbre graduel minimal (par rapport à (54)) contenant Λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13 Analyse de la fonction y = f1(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction
reconstruite pour ε = 10 −3 |f1 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur
la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 30
14 Analyse de la fonction y = f2(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction
reconstruite pour ε = 10 −3 |f2 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur
la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15 Analyse de la fonction y = f3(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction
reconstruite pour ε = 10 −3 |f3 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur
la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16 Analyse de la fonction y = f4(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction
reconstruite pour ε = 10 −3 |f4 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur
la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 31
17 Erreur en norme L 1 en fonction de ε (à gauche) et en fonction du facteur de compression (à droite). . 31
18 Sélection adaptative du stencil Ifv au voisinage d’un choc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
19 Raffinement prédictif dans le cas mono-dimensionnel dyadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
20 Reconstruction des valeurs moyennes au niveau fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
21 ε = 0.001 Solution de l’équation de Burgers à t = 0, Flux ENO - valeurs reconstruites . . . . . . . . . 47
22 ε = 0.001 Solution de l’équation de Burgers à t = 0.5, Flux ENO - valeurs hybrides . . . . . . . . . . . 47
23 Reconstruction locale par valeurs moyennes pour calculer les flux sur une interface au niveau grossier,
dans le cas bidimensionnel non structuré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
24 Reconstruction locale par valeurs ponctuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
25 Reconstruction locale par valeurs ponctuelles pour calculer les flux sur une interface au niveau grossier,
dans le cas mono-dimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
26 Grille adaptative au début de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
27 Solution adaptative au début de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
28 Grille adaptative à la fin de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
29 Solution adaptative à la fin de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
30 Division of the triangle T ℓ 0 into T ℓ+1
0,j for j = 0, . . . , 3 and neighbors T ℓ 1 , T ℓ 2 , T ℓ 3 used for the reconstruction 54
31 The two cases for the differences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
32 L1 norm of the error, a regular function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
33 L1 norm of the error, a discontinuous function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3

1 Introduction
Ces notes sont inspirées des travaux en collaboration avec Albert Cohen, Nira Dyn, Sidi Mahmoud Kaber
et Sigfried Müller [22], [20]. Elles présentent l’application de la technique d’approximation multiéchelles à la
résolution par volumes finis d’un système de lois de conservations hyperboliques. Les méthodes multiéchelles
sont un outil puissant en analyse pour des applications allant du traitement du signal à l’analyse numérique
des EDP. Les fondements théoriques de ces techniques ont co¨ncidé avec l’émergence de la théorie des
ondelettes, dans les années 80. Le tableau 1 donne une vue synthétique de cet aspect pluridisciplinaire.
Un des principaux attraits des discrétisations dans des bases multiéchelles est de pouvoir par un simple
seuillage des coefficients de la fonction discrétisée dans une telle base, obtenir une discrétisation à une
échelle plus grossière dans les endroits où la fonction est régulière, tout en gardant les détails relevant des
discrétisations plus fines près des singularités. C’est le principe utilisé en traitement du signal ou d’image
pour faire de la compression de données. Dans le domaine qui nous intéresse, celui de la résolution numérique
des EDP, il s’agira dans la mesure où la solution est régulière, exception faite de singularités localisées,
d’utiliser une technique multiéchelle pour approcher cette solution en utilisant moins de mémoire et moins
de temps CPU. On peut remarquer que les premières applications de techniques multiéchelles en simulation
numérique avaient un objectif légèrement différent : dans le contexte des équations elliptiques, les techniques
“multigrilles” furent développées à partir des années 70 plutôt pour pré-conditionner les systèmes linéaires
que pour compresser les solutions. Plus récemment le développement des méthodes AMR (Adaptive Mesh
Refinement / raffinement adaptatif de maillages) a aussi des objectifs très proches du nôtre [12, 8]. Nous
nous intéressons ici aux systèmes de lois de conservations hyperboliques, problème dans lequel l’introduction
des techniques multiéchelles est due à Ami Harten vers la fin des années 80. Les solutions de ces équations
présentent en général des discontinuités - ou chocs - qui se propagent à vitesse finie. En exploitant leur
décomposition multiéchelle on va concentrer la représentation sur une grille très fine au voisinage de ces
discontinuités et économiser ainsi des ressources de calcul tout en conservant la précision du schéma initial
- ou tout au moins le même ordre d’erreur.
Résumons le principe dans ses grandes lignes : on part d’un schéma numérique pour résoudre un système
d’équations
∂tu + div(f(u)) = 0. (1)
A priori on peut choisir un schéma aux différences finies, volumes finis, etc... La solution à un temps tn est
représentée par des valeurs discrétisée u n i , sur une grille ΩL . Cette grille a une taille de maille d’ordre 2 −L ,
où on a choisi L suffisamment grand pour que u n i avec i ∈ ΩL représente une bonne approximation de la
solution exacte u(tn, xi). On fait évoluer les valeurs discrètes (ū n+1
k ) k∈Ω L de la solution approchée d’un pas
de temps à l’autre en évaluant les flux à travers les interfaces entre les mailles. L’idée de base est de faire
une décomposition multiéchelle de la solution, du type transformée en ondelettes, et d’utiliser les coefficients
de la transformée comme des indicateurs de régularité.
Ces indicateurs permettent d’adapter le maillage en fonction de la régularité locale de la solution - c’est
ce que nous appelons la multirésolution adaptative. La solution est discrétisée sur un maillage composé de
cellules appartenant à des niveaux de raffinement plus ou moins fins suivant la régularité locale. Ce maillage,
ou plutôt le niveau utilisé dans la hiérarchie de grilles, évolue en temps, puisqu’il dépend de la solution. Un
intérêt par rapport aux méthodes AMR qui utilisent aussi des indicateurs de régularités, est la transformation
multiéchelle peut être inversée à tout moment et que la solution est en fait connue “potentiellement” sur
la grille la plus fine, même si elle est calculée sur une grille beaucoup plus grossière. Cet avantage est très
intéressant du point de vue de l’analyse de la méthode, qui peut ainsi être comparée du point de vue précision
au schéma de référence sur la grille la plus fine.
Cette méthode de multirésolution adaptative est un développement assez récent ([22]). A l’origine les travaux
d’Harten ont plutôt porté sur l’utilisation des coefficients d’ondelettes comme indicateurs d’erreur dans le
contexte d’un schéma d’évolution sur la grille uniforme la plus fine. Ils indiquent en effet les zones où il est
possible d’économiser sur le calcul des flux, qui est d’autant plus coûteux que la solution est singulière :
dans les régions où les détails au delà d’un niveau d’échelle j < J sont petits (c’est-à-dire au dessous d’un
seuil ) on est dans une zone où la solution est régulière et on peut remplacer l’évaluation des flux par leur
4

Analyse
harmonique
théorie de
l’approximation
Séries de
Fourier
Transformée
de Fourier
(XIX siècle)
Base de Haar
(∼ 1910)
Base de Schauder
(∼ 1920)
Théorie de
Littlewood-Palay
(∼ 1930)
Fonctions
Splines
(∼ 1940 − 50)
Décompositions
Atomiques
(∼ 1960)
Traitement du
signal
et de l’image
Transformée de
Fourier rapide (FFT)
(∼ 1950)
filtrage sous-bande
(∼ 1960 − 70)
Bancs de filtres
à reconstruction
parfaite
(∼ 1980)
Transformées
Pyramidales et
multiéchelles
(∼ 1980)
⇓ ⇓ ⇓
Méthodes ondelettes ∼ 1980 − 90
Tab. 1 – Un peu d’Histoire
Analyse
numérique
et simulations
Différences
finies
(∼ 1950 − 60)
Elements
finis
(∼ 1960 − 70)
Méthodes
Multigrille
(∼ 1970 − 80)
Raffinements
de maillage
et adaptivité
(∼ 1970 − 80)
Méthodes
spectrales et
d’ordre élevé
(∼ 1970 − 80
Méthodes
Multirésolution
(Harten, 90)
interpolation à partir des valeurs sur un niveau de grille plus grossier.
A l’heure actuelle, plusieurs équipes travaillent dans ces deux directions avec toujours le point commun
d’accélérer le calcul global tout en gardant la même précision que le schéma de référence sur une grille uniforme.
Sans tenter de passer toutes ces méthodes en revue, nous développerons plus en détail les particularités
de l’algorithme adaptatif, en précisant ses bases théoriques dans le contexte de l’analyse multiéchelle.
Ce cours comprend, outre l’introduction, sept chapitres. Le chapitre 2 , introduit les notations et présente
la méthode multiéchelles (MR) , du point de vue transformée en ondelettes, avec les exemples de la base de
Haar et de la base de Schauder.
La présentation de l’analyse multirésolution d’une fonction définie par ses valeurs moyennes sur une grille
uniforme, fait l’objet du chapitre 3, avec l’introduction des notions de compression, de précision, de stabilité
et d’arborescence.
Dans le chapitre 4, on présente les équations qu’on cherche à résoudre et le schéma volume finis (VF) de
référence, sans entrer dans les détails de ce dernier. En particulier, on laissera le calcul du flux numérique
sous forme générique sans particulariser à un système d’équations.
Dans le chapitre 5, on applique la méthode multiéchelle à un schéma Volumes Finis tout d’abord “à la manière
d’ Harten”. La méthode multiéchelle adaptative où la solution est calculée sur une grille de résolution variable
suivant sa régularité locale et adaptative en temps est ensuite décrite.
5

Le chapitre 6 regroupe les différents algorithmes dans le cas mono-dimensionnel dyadique.
Les problèmes spécifiquement multidimensionnels, posés par l’analyse multiéchelle sur un maillage triangulaire
sont traités dans le chapitre 7, extrait de [20].
Enfin, en guise de conclusion, on présente dans la partie 8 quelques articles sur le sujet, ainsi qu’une bibliographie
sur les différents thèmes abordés.
2 Transformation multiéchelle
Dans ce chapitre on introduit la décomposition multiéchelle dans le contexte de l’analyse du contenu
fréquentiel d’une fonction, et plus particulièrement du point de vue de la théorie des ondelettes.
On introduit tout d’abord quelques notations :
La fonction caractéristique d’une partie Ω de Rd est notée χΩ(x)
d
1 si x ∈ Ω ⊂ R ,
χΩ(x) =
0 sinon.
Si f est une fonction, la notation g = f(a · +b) signifie que g(x) = f(ax + b).
On rappelle la définition de quelques espaces fonctionnels utilisés dans ces notes. Pour une description
détaillée, on renvoie à la section 25 du chapitre 3 du livre de Cohen [18].
⋆ On introduit les espaces de Banach L p , pour p ≥ 1
dans lesquels la norme est définie par
⎧
⎨
|f |Lp :=
⎩
L p (Ω) := {f t. q. |f |Lp < ∞}
|f|
Ω
p
1/p si p < ∞
sup ess t∈Ω|f(t)| si p = ∞
⋆ Pour p = 2 on a l’espace de Hilbert L2 avec la norme
|f | L2 = [< f, f >] 1/2
avec < f, g >=
⋆ Les espaces C m (Ω) pour m ∈ N
C m (Ω) =
f ∈ C 0 (Ω) t.q. ∂ α f =
∂ |α| f
(∂x1)
α1...(∂xd) αd
Ω
f(x) ¯
g(x)dx
∈ C(Ω), ∀|α| = α1 + ... + αd ≤ m
⋆ Les espaces de Hölder, Cs (Ω) pour 0 < s < 1
C s
(Ω) = f ∈ C 0 (Ω) t.q. sup |f(x) − f(x + h)| ≤ |h|
x∈Ω
s
pour m < s < m + 1
C s
(Ω) = f ∈ C m (Ω) t.q. sup |∆
x∈Ω
n
hf(x)| ≤ |h|s
où ∆n hf est l’opérateur différence finies d’ordre n défini de manière récursive par
∆ 1 hf(x) = f(x + h) − f(x)
∆ n hf(x) = ∆ 1 h(∆ n−1
h )f(x)
6

⋆ On utilisera aussi les normes lp dans les espaces R n :
|x|p =
n
i=1
x p
i
1/p
Enfin on notera Π s (R n ) l’espace des polynômes de degrés s sur R n .
2.1 La Transformée de Fourier
Un outil sans doute bien connu, qu’on pourra mettre en parallèle avec la notion de transformée en ondelette
qui sera introduite juste après, est la Transformée de Fourier
ˆf(ω) := f(t)e −iωt dt −→ f(t) := 1
ˆf(ω)e
2π
iωt dω
R
Rappelons que cette transformation définit une isométrie surjective de L 2 (R) dans L 2 (R) avec < ˆ f, ˆg >=
2π < f, g >
La Transformée de Fourier est l’outil de base pour l’analyse harmonique. Elle s’utilise “dans les deux sens” :
• soit f(t) une fonction de t ∈ R, l’analyse fréquentielle de f consiste à calculer :
ˆf(ω) := f(t)e −iωt dt. (2)
R
Si la fonction est connue sous la forme de sa transformée, ˆ f, la synthèse consiste à calculer f par :
f(t) := 1
2π
ˆf(ω)e iωt dω. (3)
R
Sous certaines conditions, cette transformation revient à représenter f comme une combinaison linéaire
d’ondes planes eω(t) = e iωt de coefficients ˆ f(ω) :=< f, eω >. Si la fonction f est périodique, elle va s’exprimer
comme une série de Fourier, c’est à dire que l’intégrale précédente devient une somme discrète :
f(t) =
+∞
n=−∞
R
ˆfne 2iπnf0t , (4)
où f0 est la fréquence fondamentale, reliée à la période T0 par la relation f0 = 1/T0. Les coefficients ˆ fn sont
les composantes de f dans la base {e 2iπnf0t }n∈Z de L 2 ([−T0/2, T0/2])
ˆfn = 1
T0
T0/2
−T0/2
f(t)e −iπnf0t dt. (5)
La Transformée de Fourier est donc l’outil approprié pour l’analyse et la synthèse de fonctions uniformément
régulières sur un support compact, ou encore de combinaisons de fréquences pures, mais elle est inappropriée
pour étudier des fonctions régulières avec des singularités isolées, ou des fonctions avec un contenu fréquentiel
variable et imprévisible en temps. On va introduire dans le paragraphe suivant la transformation multiéchelle,
mieux adaptée à ce genre de situation.
2.2 La transformation multiéchelle
On commence par un exemple très simple d’outil ondelette/multiéchelle : soit f ∈ L 1 [0, 1], on définit une
série d’approximations de f par des fonctions constantes par morceaux (voir figure (1)).
Pour j ≥ 0 fixé, on définit Pjf comme l’approximation de f par ses valeurs moyennes sur les intervalles
Ij,k := [2 −j k, 2 −j (k + 1)[ pour k = 0, ...2 j − 1
7

qui forment une partition de l’intervalle [0, 1].
On définit Pjf par morceau
0
2 −j k
2 −j
f
P j f
Fig. 1 – Approximation de f par ses valeurs moyennes
Pjf |Ij,k
:= 2j
et en utilisant les fonctions caractéristiques de chaque intervalle
Pjf =
2 j −1
k=0
Ij,k
1
f(t)dt = aIj,k (f) (6)
aIj,k (f)χIj,k (f)
La fonction caractéristique χIj,k (t) joue ici le rôle de la fonction e2iπf0t dans (4) mais on voit qu’on a rajouté
à cette fonction de base, en plus de la dépendance spectrale f0, une dépendance dans l’espace temporel
de départ, par l’intermédiaire du facteur de translation k. L’application qui à f ∈ L 2 associe Pjf est la
projection L 2 -orthogonale de f sur l’espace
Vj := f ∈ L 2 , f |Ij,k = constante, k = 0, ....2j − 1 .
Notons ϕ := χ [0,1], on vérifie sans difficulté qu’une base orthonormale de Vj est
avec dim Vj = 2 j (voir figure (2)).
Avec ces notations, on a
où
ϕj,k = 2 j/2 χIj,k = 2j/2 ϕ(2 j · −k), k = 0, 1, ...2 j − 1
Pjf =
2 j −1
k=0
< f, ϕj,k > ϕj,k,
cj,k =< f, ϕj,k >= 2 −j/2 aIj,k (f).
On dira que cj,k est le coefficient d’approximation de f à l’échelle 2 −j et à la position 2 −j k.
Quelques Remarques :
– Les espaces Vj sont emboˆtés : Vj ⊂ Vj+1 ⊂ Vj+2. Si j0 < j les fonctions de base sur Vj0 et Vj sont les
fonctions constantes sur des intervalles de tailles respectives 2 −j0 > 2 −j , les intervalles de taille 2 −j étant
inclus dans ceux de taille 2 −j0 .
– L’approximation Pjf converge dans L p pour 1 ≤ p < ∞ et dans C 0 pour la norme uniforme :
si f ∈ L p , alors lim
j→+∞ |f − Pjf |Lp = 0.
si f ∈ C 0 , alors lim
j→+∞ |f − Pjf |∞ = 0.
8

1
φ =f [0,1]
2 j/2
0 1 0
I j,k
φ
j,k
Fig. 2 – Base orthonormale ϕj,k
P j f
P j+1 f
Fig. 3 – Approximations successives Pj et Pj+1 et détail Qj
– Si l’intervalle [0, 1] est remplacé par R, on a une construction identique avec :
Vj = {f ∈ L2 (R); f |Ij,k = const., k ∈ Z} (j peut alors être négatif).
2.2.1 Décomposition multiéchelle
Si j0 < J, l’espace VJ contient l’espace Vj0. Il est donc naturel de décomposer la projection de f sur l’espace
VJ comme la somme de la projection de f sur Vj0, plus un détail. En itérant ce procédé on obtient la
décomposition suivante :
PJf = PJ−1f + [PJf − PJ−1f] = . . . = Pj0f +
où les termes Qjf = (Pj+1 − Pj)f sont les “détails” à l’échelle 2 −j . L’opérateur Qj est en fait la projection
(voir figure (3)) sur le complémentaire orthogonal de Vj et Vj+1, noté Wj, Wj ⊕ ⊥ Vj = Vj+1.)
Remarque :
Q f
j
aIj,k (f) = aIj+1,2k (f) + aIj+1,2k+1 (f) /2
signifie que Qjf oscille sur chaque Ij,k. Plus précisément, notons ψ := f [0, 1
Qjf =
2 j −1
k=0
J−1
j=j0
Qjf.
2 ] −f [ 1
2
dj,kψj,k, où ψj,k := 2 j/2 ψ(2 j . − k) et dj,k :=< f, ψj,k > .
,1] (voir figure 4), on a ainsi,
On dira que le coefficient dj,k est la fluctuation de f à l’échelle 2 −j et à la position 2 −j k. On vérifie
facilement que (ψj,k) k=0,...,2 j −1 est une base orthonormale de Wj, et donc que ϕj,k, k = 0, ..., 2 j − 1 ∪
ψj,k, k = 0, ..., 2 j − 1 est une base orthonormale de Vj+1. On peut itérer le procédé, écrire Vj sous la forme
Vj = Wj−1 ⊕ ⊥ Vj−1 = Wj−1 ⊕ ⊥ Wj−2 ⊕ ⊥ Vj−2 = .... (7)
9

1
0 1/2 1 0
−1
=f [0, 1−2 [ −f ψ
[1_
2
,1[
I j,k
ψ
j,k
Fig. 4 – L’ondelette duale ψ
On a donc une série de bases orthonormales pour VJ : on peut écrire une fonction fJ de VJ sous la forme
canonique
fJ =
2 J −1
dans la base standard, ou bien dans la base d’ondelettes ou base multiéchelle
fJ =
2 j0 −1
k=0
k=0
cj0,kϕj0,k +
cJ,kϕJ,k, (8)
J−1
2 j −1
j=j0 k=0
Puisque fJ = PJf tend vers f dans L 2 quand J ↦→ +∞, on a aussi que
{ϕ} ∪ {ψj,k} j≥0,k=0,...2 j −1
dj,kψj,k. (9)
est une base orthonormale de L 2 [0, 1] (Système de Haar). Par extension on obtient de manière similaire que
est une base orthonormale de L 2 (R).
2.2.2 Algorithmes de transformation
{ϕ(. − k)}k∈ZZ ∪ {ψj,k}j≥0,k∈ZZ
Regardons maintenant les opérations nécessaires pour passer de la représentation d’une fonction dans la base
standard ϕJ,k de VJ à sa représentation dans la base multiéchelle.
Algorithme 1 Décomposition
Pour j = J ↘ j0
cj,k = cj+1,2k + cj+1,2k+1
√ ,
2
dj,k = cj+1,2k − cj+1,2k+1
√
2
Dans l’autre sens, si on connaˆt les valeurs moyennes sur l’échelle la plus grossière j0, ainsi que les détails,
on peut obtenir les valeurs moyennes sur l’échelle la plus fine J
Algorithme 2 Reconstruction
Pour j = j0 ↗ J
cj+1,2k = cj,k + dj,k
√ ,
2
cj+1,2k+1 = cj,k − dj,k
√
2
10
(10)
(11)

d d
J−1,k dJ−2,k j0 ,k
CJ,k CJ−1,k CJ−2,k Cj0 +1,k Cj ,k
0
C J−1,k
d J−1,k
C J−2,k d J−2,k dJ−1,k
C d
a
b
D R
Fig. 5 – Algorithmes multiéchelles
a+b a−b
2 2
a+b a−b a b
2 2
La complexité de ces algorithmes multiéchelles (illustrés par la figure (5)) dépend de l’échelle la plus fine de
la manière suivante : si N = 2 J = dimVJ est le nombre de coefficients de la fonction sur l’échelle la plus fine,
le nombre d’opérations d’un des algorithmes précédents est
Noper ∼ 2 J + 2 J−1 + 2 J−2 + . . . + 2 j0 ∼ O(N) (12)
Remarque : de tels algorithmes s’appliquent dans de nombreux contextes
– Données sous forme discrète (sk)k=... (e.g. traitement de signaux digitaux s(k∆t)
→ identification de fJ =
k skϕJ,k pour un J donné et application de la transformation multiéchelle à fJ
– Donnée sous la forme d’une fonction explicite f (e.g. f(x) = | cos(x)|)
→ Calcul initial de PJf pour un J donné, par exemple évaluation des termes CJ,k =< f, ϕJ,K > par une
formule de quadrature.
– On recherche une inconnue u dans VJ (e.g. discrétisation d’une EDP, méthode de Galerkin ...)
La transformation multiéchelle résumée par les deux algorithmes 1 et 2 est utilisée pour passer de la
représentation dans la base nodale à la représentation multiéchelle et inversement.
2.3 Intérêt de la représentation multiéchelle
les intérêts de la représentation multiéchelles sont multiples et seront d’ailleurs exploités pleinement dans
l’algorithme de multirésolution adaptative présenté au chapitre 5.
2.3.1 Analyse
Les coefficients d’une fonction dans sa représentation multiéchelle permettent de mesurer sa régularité.
Regardons le cas particulier du système de Haar :
dj,k =< f, ψj,k >= 2
j + 1
2
aIj+1,2k (f) − aIj+1,2k+1 (f)
si f est C 1 sur Ij,k, pour tout t ∈ Ij+1,2k il existe zt ∈ Ij+1,2k tel que
où on note x j
k = 2−j k. Or d’après la définition (6)
aIj+1,2k (f) = 2j+1
(13)
f(t) = (t − x j+1
2k )f ′ (zt) (14)
= 2 j+1
Ij+1,2k
Ij+1,2k
11
f(t)dt
(t − x j+1
2k )f ′ (zt)dt

d’où
|aIj+1,2k (f)| ≤ 2j+1
Ij+1,2k
≤ 2 j+1
−1
2 (t − x j+1
≤
1
2 j+2
sup
t∈Ij+1,2k
|dj,k| ≤ 2 j+1
2 2 −j−1 sup
t∈Ij,k
(t − x j+1
2k )dt sup |f
t∈Ij+1,2k
′ (t)|
2k )2 x j+1
2k+1
|f ′ (t)|
x j+1
2k
sup
t∈Ij+1,2k
|f ′ (t)|
|f ′ (t)| ≤ C2 −3j/2 . (15)
On admettra ici que si f ∈ C α (sur Ij,k) avec α ∈]0, 1[ alors |dj,k| ≤ C2 −(α+1/2)j .
On verra plus loin une généralisation de ce résultat à des systèmes autres que celui de Haar. On peut déjà
admettre qu’il est possible de mesurer la régularité (locale) de f par la décroissance de dj,k en fonction de
j → +∞.
2.3.2 Synthèse
Une autre utilisation de la décomposition multiéchelle d’une fonction est la compression. On peut définir
une approximation adaptative de f en seuillant ses coefficients : on ne garde dans l’expression (9) que les
coefficients supérieurs en valeur absolue à une certaine tolérance, qui peut dépendre du niveau d’échelle
f =
dj,kψj,k → fε :=
˜dj,kψj,kavec ˜
dj,k si |dj,k| > εj,
dj,k =
(16)
0 sinon.
j,k
j,k
On verra plus loin que cette compression assure une certaine précision, dépendant de la tolérance. Une
variante consiste à plutôt imposer une performance de compression donnée :
f → fN :=
dj,kψj,k. (17)
N plus grands |dj,kψj,k|
Dans les deux cas f → fN ou f → fε sont des approximations non-linéaires de f.
2.4 Codage par valeurs ponctuelles
Dans l’exemple du système de Haar développé plus haut, on cherche une approximation de la fonction à
analyser par une fonction constante par morceaux. Cette représentation est bien adaptée à un schéma volumes
finis dans lequel, justement, les inconnues sont des approximations des valeurs moyennes de la solution sur
les mailles. Elle n’est cependant pas obligatoire et on peut choisir d’analyser la fonction discrétisée par
ses valeurs ponctuelles. L’exemple introductif dans ce cas est celui de la base de Schauder, qu’on résume
brièvement ici (voir [18] pour une étude détaillée). On cherche maintenant à approcher une fonction f par
une fonction fj, continue et affine par morceaux sur les intervalles Ij,k, k ∈ Z. Une telle approximation est
définie de manière unique par les valeurs de la fonction aux points 2 −j k. Dans le cas où f est continue on
pose
fj(2 −j k) = f(2 −j k), k ∈ Z
c’est à dire qu’on définit fj comme l’interpolée linéaire de f à l’échelle 2 −j . Notons Pj l’opérateur d’interpolation
qui envoie f sur fj. Pj est une projection sur l’espace
Vj = {f ∈ C(R); f |Ij,k ∈ P1 (Ij,k), k ∈ Z}
12

N values
N/2 values
N/2 details
N/4 values
N/4 details
N/2 details
N/8 values
N/8 details
N/4 details
N/2 details
Fig. 6 – Codage / décodage par valeurs ponctuelles
Une base naturelle de Vj est formée les fonctions chapeaux, en reprenant la terminologie éléments finis
{ϕj,k}, k ∈ Z, ϕj,k(x) = 2 j/2 ϕ(2 j . − k), ϕ(x) = max{0, 1 − |x|}
Les composantes de Pjf dans cette base nodale sont les valeurs nodales de f
Pjf =
k∈Z
cj,k(f)ϕj,k, cj,k(f) = 2 −j/2 f(2 −j k) (18)
La base nodale n’est pas une base orthonormale, en revanche c’est une base de Riesz, ce qui signifie que
|fj | et
|cj,k(j)| 2
k
sont des normes équivalentes sur Vj ∩ L 2 et la série (18) converge dans L 2 . L’approximation Pjf se déduit
de Pj+1f par interpolation
1/2
2 j/2 cj,k(f) = f(2 −j k) = 2 (j+1)/2 cj+1,2k(f)
soit encore, PjPj+1 = Pj. On définit maintenant les détails Qj = Pj+1 − Pj, permettant de passer d’un
niveau au suivant
Qjf(2 −j (k + 1/2)) = f(2 −j (k + 1/2)) − f(2−j k) − f(2 −j (k + 1)
2
13

Qjf mesure l’écart entre les valeurs de la fonction sur les points de la grille fine Γj+1 = {2−(j+1) k, k ∈ Z} et
les interpolations linéaires aux mêmes points calculées avec les valeurs sur la grille grossière Γj
Qjf =
dj,kψj,k, avec ϕ = ϕ(2x − 1)
k∈Z
Tout comme dans l’exemple du système de Haar (9), on peut écrire f dans la base multiéchelle
f =
cj0,kϕj0,k +
k
j≥j0
k
dj,kϕj,k
et on a les algorithmes de codage similaires aux algorithmes (1,2), illustrés par la figure 6.
Algorithme 3 Décomposition
Pour j = J ↘ j0
Algorithme 4 Reconstruction
Pour j = j0 ↗ J
cj,k = √ 2cj+1,2k,
dj,k = √ 2 {cj+1,2k+1 − (cj+1,2k + cj+1,2k+2)/2}
cj+1,2k = cj,k
√2 ,
cj+1,2k+1 = (cj,k + cj,k+1)/2 + dj,k
√
2
Dans la suite, on se concentrera sur la multirésolution pour des fonctions discrétisées par leur valeurs
moyennes sur les mailles. C’est en effet ce qui semble le plus naturel pour analyser une solution d’un schéma
volumes finis. La conservativité de la solution compressée est assurée de manière naturelle, ce qui est important
dans notre cas, où on cherche à résoudre un système de lois de conservation. Cependant l’exemple
ci-dessus montre qu’on peut faire de la multirésolution sur des fonctions discrétisées par leurs valeurs ponctuelles.
Les algorithmes de codage sont dans les articles d’Harten [33] pour le cas mono-dimensionnel et [10]
pour le cas bidimensionnel cartésien . Chiavassa et Donat ont appliqué cette idée à un schéma différences
finies pour résoudre un système de lois de conservation dans [15].
3 Multirésolution par valeurs moyennes
Dans l’optique de notre application à des schémas volumes finis, nous présentons maintenant la multirésolution
ou encore l’approximation multiéchelle d’une fonction discrétisée par ses valeurs moyennes.
On définit une hiérarchie de discrétisations sur des grilles imbriquées. Pour j = 0, 1, · · · , J, on se donne des
partitions emboˆtées (Ωγ)γ∈Sj de R d (ou du domaine considéré Ω) telles que chaque Ωγ, γ ∈ Sj est l’union
d’un nombre fini de cellules Ωµ, µ ∈ Sj+1.
L’index j fait référence à l’échelle du niveau au sens où il existe des constantes c, C telles que
(19)
c2 −j ≤ diam(cγ) ≤ diam(Cγ) ≤ C2 −j , γ ∈ Sj. (20)
où cγ (resp. Cγ) sont des boules contenues (resp. contenant) Ωγ. On utilisera la notation
|γ| := j si γ ∈ Sj. (21)
pour désigner l’indice de l’échelle du niveau auquel appartient Ωγ
L’exemple de base sera la décomposition en intervalles dyadiques en dimension 1
Ωγ = Ω j
k := [2−j k, 2 −j (k + 1)], γ ∈ Sj := {(j, k) ; k ∈ Z}, (22)
14

On considère un vecteur Uj := (uγ)γ∈Sj de données discrètes sur une grille Sj, représentant les valeurs
moyennes d’une fonction u ∈ L 1 (R d ), i.e.
uγ := |Ωγ| −1
Ωγ
u(x)dx, (23)
On notera aussi u j
k = uγ, avec l’indice du niveau d’échelle en haut, de manière à pouvoir étendre facilement
cette notation au cas cartésien bidimensionnel
Ωγ = Ω j
k,l := [2−j k, 2 −j (k + 1)] × [2 −j l, 2 −j (l + 1)], γ ∈ Sj := {(j, k, l) ; k ∈ Z, l ∈ Z}, uγ = u j
k,l
On va maintenant définir deux opérateurs permettant de passer de la représentation d’une fonction au niveau
j à sa représentation au niveau j −1 immédiatement plus grossier (opérateur de projection) et inversement de
prédire la représentation d’une fonction au niveau j à partir de sa représentation au niveau j − 1 (opérateur
de prédiction).
3.1 Projection
On introduit un opérateur de projection P j
j−1 , qui relie Uj à Uj−1. Comme les partitions Sj sont imbriquées,
on obtient naturellement les valeurs moyennes à un niveau en fonction des valeurs moyennes au niveau
immédiatement plus fin par
uγ = |Ωγ| −1
|Ωµ|uµ. (25)
|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique cela revient à prendre la demi somme des moyennes au niveau fin,
i.e. uj−1,k = (uj,2k+uj,2k+1)/2. Il est clair qu’on peut déduire toutes les valeurs moyennes UJ−1, UJ−2, · · · , U0
jusqu’au niveau le plus grossier, à partir des valeurs moyennes au niveau le plus fin en appliquant successivement
les opérateurs P j
j−1 .
3.2 Prédiction
On introduit maintenant l’opérateur de prédiction. P j−1
j , qui associe à Uj−1 une approximation Ûj de Uj.
Contrairement à l’opérateur de projection il y a une infinité de choix possibles pour définir P j−1
j
(24)
. Nous allons
restreindre ces choix en imposant quelques contraintes de base.
– La prédiction est locale, i.e. ûµ dépend des valeurs uγ sur un stencil de cardinal fini Rµ - une collection de
cellules entourant Ωµ, i.e. telles que
Rµ ⊂ {γ ; |γ| = |µ| − 1 et dist(Ωγ, Ωµ) ≤ M2 −|µ| }, (26)
pour un M donné.
– La prédiction est consistante avec la projection au sens que
|Ωγ|uγ =
|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ
|Ωµ|ûµ, (27)
i.e. ûµ doit être conservative par rapport aux valeurs moyennes sur la grille grossière, c’est à dire que
P j j−1
j−1Pj = Id. En particulier cette propriété implique que le stencil Rµ doit contenir l’indice γ tel que
|µ| = |γ| + 1 et Ωµ ⊂ Ωγ. Le stencil de prédiction d’une cellule doit obligatoirement contenir son “parent”
au niveau plus grossier.
Un exemple trivial d’un tel opérateur de prédiction consiste à prendre tout simplement
ûµ = ûγ, if Ωµ ⊂ Ωγ. (28)
15

Remarquons qu’a priori nous n’imposons pas la linéarité de l’opérateur de prédiction bien que nous verrons
par la suite que c’est une hypothèse importante dans l’analyse numérique du schéma. (voir [4] pour des
exemples d’opérateurs non linéaires ).
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique on peut construire toute une classe d’opérateurs de prédiction
linéaires et de précision arbitraire. On reprend les notations du paragraphe 2.2. On va chercher le polynôme
pµ de degré r qui vérifie
aI |µ|−1,k pµ = aI |µ|−1,k u pour (|µ| − 1, k) ∈ Rµ (29)
et on posera
ûµ := aIµpµ
Comme l’intervalle parent de µ est forcément dans Rµ, pour avoir des opérateurs centrés et linéaires on va
s’intéresser uniquement aux polynômes de degré r = 2s pairs. Le cas (28) correspond à r = 0. Pour r ≥ 0
on peut écrire (30) sous la forme générique
û j
2k = uj−1
k +
s
l=1
γl
u j−1
k+l
(30)
− uj−1
k−l = u j−1
k + Qs (k; u j−1 ) (31)
où les coefficients γl, solutions du système linéaire (29) sont donnés dans la table ci-dessous pour s ≤ 3.
r s γ1 γ2 γ3
0 0 0 0 0
2 1 −1
8
4 2 −22
128
6 3 −201
1024
0 0
3
128
11
256
0
−5
1024
Pour préciser les notations, le stencil de prédiction Rj,k dans ce cas est de cardinal r + 1 :
Rj,k = {(j − 1, k/2 + l), |l| ≤ s}
En dimension deux, il faut distinguer entre le cas des grilles cartésiennes, où on peut étendre les notions
mono-dimensionnelles par tensorisation et le cas grilles triangulaires, plus complexe.
L’exemple le plus simple est celui proposé par Harten [10] dans le cas d’un maillage cartésien. C’est la version
produit tensoriel de l’opérateur de reconstruction polynomial défini plus haut dans le cas mono-dimensionnel.
Avec les conventions d’indice (24) on a sur les quatre mailles au niveau j + 1, subdivisions de la maille Ωk,l
au niveau j
u j
2k+1,2l+1
u j
2k,2l+1
u j
2k+1,2l
u j
2k,2l
= uj−1
k,l + Qs (k; u j−1
.,l ) + Qs (l; u j−1
k,. ) + Qs 2(k, l; u j−1 )
= uj−1
k,l − Qs (k; u j−1
.,l ) + Qs (l; u j−1
k,. ) − Qs 2(k, l; u j−1 )
= uj−1
k,l + Qs (k; u j−1
.,l ) − Qs (l; u j−1
k,. ) − Qs 2 (k, l; uj−1 )
= uj−1
k,l − Qs (k; u j−1
.,l ) − Qs (l; u j−1
k,. ) + Qs 2 (k, l; uj−1 )
16
(32)

où l’opérateur Qs défini dans (31) est utilisé dans les deux directions et l’opérateur Qs 2 est un produit tensoriel
Q s 2 (k, l; uj−1 s−1 s−1
) = γa γb
a=1
b=1
u j−1
k+a,l+b − uj−1
k+a,l−b − uj−1
k−a,l+b + uj−1
k−a,l−b
Dans ce cas, comme dans le cas mono-dimensionnel, le stencil de prédiction est le même pour toutes les
subdivisions d’une même cellule :
R j,(k,l) = {j − 1, (k/2 + m, l/2 + n), −s ≤ m, n ≤ s}
Dans le cas de maillages triangulaires le choix de l’opérateur de reconstruction est vaste. La première idée
est de faire comme dans le cas mono-dimensionnel : on détermine un polynôme de reconstruction pµ de degré
s, en imposant la condition de conservation sur d triangles, (avec d la dimension de Π s (R 2 ).
Ωγ
pµ(x, y)dx dy = uγ pour γ ∈ Rµ (33)
et on définit l’opérateur Ûj = P j
j−1 Uj−1 localement sur les mailles de niveau j = |µ| + 1 incluses dans Ωµ par
û j γ
=
Ωγ
pµ(x, y)dx dy, ∀γ, |γ| = |µ| + 1, Ωγ ⊂ Ωµ
Mais la sélection des d − 1 triangles voisins de Ωµ qui vont servir à déterminer le polynôme pµ par (33) n’est
pas un problème trivial. Par exemple, dans le cas représenté sur la figure 7, pour déterminer un polynôme
affine, comment choisir les les deux triangles en plus de Ω0 qui feront partie du stencil de reconstruction
pour l’une des 4 subdivisions ?
Une idée simple serait de choisir pour chaque subdivision, les deux gros triangles ayant une arête commune
avec elle, c’est à dire
R j
Ω1 R j
Ω2 R j
Ω3 = {Ω j−1
O , Ωj−1 2 , Ω j−1
3 }
= {Ω j−1
O , Ωj−1 1 , Ω j−1
3 }
= {Ω j−1
O , Ωj−1 1 , Ω j−1
2 }
de calculer un polynôme affine différent pour chacune de ces subdivisions à l’aide de (33) , et de définir la
reconstruction sur la subdivision centrale en imposant la relation de conservativité :
|Ω j
0 |ûj0
= |Ωj−1 0 |û j−1
0
−
3
k=1
|Ω j
k |ûj
k
Malheureusement ce procédé est instable, au moins dans le cas de maillages réguliers, c’est à dire que si
on itère cet opérateur indéfiniment en partant d’une solution composée d’une seule valeur non nulle sur la
grille grossière, on converge vers une solution qui n’est pas dans L∞(Ω) (voir [20]). On a donc développé un
opérateur linéaire basé sur le même stencil pour les quatre subdivisions (soit R Ω j
k
sur la figure 7). ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
ũ j
0,0
ũ j
0,1
ũ j
0,2
ũ j
0,3
= ūi−1
0
= ūi−1 0 + (ū i−1
2
= ūi−1
0 + (ū i−1
1
= ūi−1
0 + (ū i−1
1
+ ūi−1 3
+ ūi−1 3
+ ūi−1
2
− 2ūi−1
− 2ūi−1
− 2ūi−1
L’étude détaillée de ce schéma est donnée en annexe 2. (extraite de [20]).
17
1 )/6
2 )/6
3 )/6
(34)
= {Ω j−1
0 , Ω j−1
1 , Ω j−1
2 , Ω j−1
3 }
(35)

U 8
U 9
U
2
U 6
U 10
V
1
V
3
V
0
Fig. 7 – Exemple de stencil de reconstruction sur une maillage non structuré. Les Ui sont les valeurs moyennes
au niveau j − 1 et les Vj, j = 0, ..., 3 sont les valeurs moyennes
sur les gros triangles correspondants Ω j−1
k
sur les quatre subdivisions Ω j
k
j = 0, ...3 de Ωj−1
0
Une approche plus globale mais non linéaire consiste à prendre un stencil assez gros, mais sans sélection
coûteuse, par exemple tous les triangles ayant un sommet en commun avec le triangle dont on veut reconstruire
les quatre subdivisions, et on détermine un polynôme de reconstruction de degré donné pµ ∈ Π s (R 2 )
qui sera valable pour les quatre subdivisions de Ωµ - qui ont donc toutes les quatre le même stencil R. Dans
la cas de la figure 7 R = {Ωi, i = 0, ..., 10} . Pour déterminer pµ, on impose la conservation des valeurs
moyennes de manière exacte sur le triangle en question et au sens des moindres carrés sur les autres triangles
de R. Les valeurs reconstruites au niveau fin sont les intégrales de pµ sur chacune des quatre subdivisions.
où
Ωµ
Eµ(q) =
U 5
U
3
p(x, y)dx dy = uµ
γ∈R
U0
V
2
U
1
U
4
Eµ(p) = min
q∈Π s (R 2 ) Eµ(q)
uγ −
Ωγ
p(x, y)dx dy
Cette idée est due à Abgrall et Harten qui l’ont mise en oeuvre dans [3, 2]. Elle a été reprise plus récemment
par Sonar et al [47] dans le contexte de schémas volumes finis vertex centered pour des maillages non
structurés. Les cellules au niveau le plus fins sont les volumes de controles (le maillage dual du maillage
triangulaire) et la hiérarchie de grilles est construite en agglomérant ces volumes. L’application de cette idée
à une hiérarchie de maillages triangulaires comme décrite ci-dessus est dans [37].
3.3 Décomposition Multiéchelle
On peut définir l’erreur de prédiction au niveau j comme les différences entre les valeurs exactes et les valeurs
prédites i.e.
dµ := uµ − ûµ. (36)
D’après l’hypothèse de consistance, on voit que cette erreur doit vérifier des relations
|Ωµ|dµ = 0. (37)
|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ
18
2
U
7

Grace à cette relation, pour chaque cellule au niveau grossier on peut éliminer une des relations de prédiction
de la valeur moyenne sur ses descendants. On va définir un ensemble ∇j ⊂ Sj en enlevant pour chaque
γ ∈ Sj−1 un µ ∈ Sj tel que Ωµ ⊂ Ωγ. On définit un vecteur des détails Dj = (dµ)µ∈∇j , ce qui met
en évidence la correspondance biunivoque entre Uj et (Uj−1, Dj) qu’on peut implémenter en utilisant les
opérateurs P j
j−1
et P j−1
j
. Dans le cas mono-dimensionnel dyadique, le vecteur des détails peut être défini
par Dj = (dj,k)k∈Z avec dj,k = (uj,2k − ûj,2k).
En itérant cette décomposition on obtient une représentation multiéchelle de UJ en fonction de MJ =
(U0, D1, D2, · · · , DJ). En utilisant la structure locale des opérateurs de projection et de prédiction, on peut
implémenter la transformation multiéchelle
M : UJ ↦→ MJ, (38)
et son inverse M −1 avec une complexité optimale O(NJ), où NJ :=card(SJ) représente la dimension de UJ.
3.4 Ondelettes
On va maintenant faire le lien entre la décomposition multiéchelle et les transformations en ondelettes
introduites dans la section 1.
Dans le cas où P j−1
j est linéaire, i.e.
ûµ :=
cµ,γuγ, (39)
γ
M et M −1 sont de simples changements de bases. Si les Uj sont donnés par (23), en utilisant le ”langage
ondelettes” on peut écrire
où la fonction d’échelle duale ˜ϕγ est simplement
et
où l’ondelette duale ˜ ψµ est donnée par
uγ := 〈u, ˜ϕγ〉, (40)
˜ϕγ := |Ωγ| −1χ Ωγ , (41)
dµ = uµ − ûµ = 〈u, ˜ϕµ〉 −
cµ,γ〈u, ˜ϕγ〉 = 〈u, ˜ ψµ〉, (42)
γ
˜ψµ := ˜ϕµ −
cγ,µ ˜ϕγ. (43)
Dans toute la suite, pour décrire de manière simple le vecteur multiéchelle on définit ∇ J := ∪ J j=0 ∇j avec
∇0 := S0 et on écrit
MJ = (dλ) λ∈∇ J = (〈u, ˜ ψλ〉) λ∈∇ J , (44)
où on a posé dλ = uλ et ˜ ψλ = ˜ϕλ si λ ∈ ∇0.
Dans le cas d’un maillage structuré, comme c’est le cas pour l’exemple mono-dimensionnel dyadique, il est
assez naturel d’imposer une structure simple, invariante par translation, à l’opérateur de prédiction. On
prendra la forme générale
ûj,k =
ck−2muj−1,m, (45)
m
avec des adaptations aux cas particuliers près des frontières du domaine. ˜ϕj,k = |Ωj,k| −1χ Ωj,k = 2j ˜ϕ(2 j · −k)
avec ˜ϕ := χ [0,1], conduit à la structure habituelle pour les ondelettes ˜ ψj,k := 2 j ˜ ψ(2 j · −k). Remarquons
que la fonction d’échelle duale et l’ondelette sont normalisées dans L 1 . D’une manière générale, on a aussi
19
γ

˜ϕγ L 1 = 1 par (41) et ˜ ψλ L 1 ≤ C indépendamment de λ en raison de (43), si on suppose qu’on a une
estimation uniforme sur les coefficients de prédiction cµ,γ (ce qui sera toujours vrai dans notre cas).
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique, l’opérateur de prédiction le plus simple donné en exemple (28)
conduit au fameux Système de Haar
déjà détaillé dans la section 2.2.
3.5 Compression
˜ψj,k := 2 j (χΩj+1,2k − χΩj+1,2k+1 ). (46)
L’intérêt de décomposer UJ dans MJ est que cette représentation est plus appropriée pour y appliquer la
compression de données. Précisons maintenant cette notion déjà introduite au paragraphe 2.3.2. Soit un
ensemble Λ ⊂ ∇ J d’indices λ, on définit un opérateur de seuillage TΛ sur la représentation multiéchelle.
TΛ(dλ) =
0 si λ ∈ Λ,
dλ sinon.
Pour un paramètre ε = (ε0, ε1, ..., εJ) définissant une famille de niveaux de seuillages associés à chaque
niveau, on désignera par Λε l’ensemble des indices correspondant à des détails non seuillés
(47)
Λε = Λ(ε0, ε1, · · · , εJ) := {λ t.q. |dλ| ≥ ε |λ|}. (48)
Ceci définit de manière précise l’opérateur de seuillage TΛ(dλ). A partir de cet opérateur qui agit sur la
représentation multiéchelle, on construit un opérateur d’approximation AΛ, sur la fonction de départ UJ
AΛ := M −1 TΛM., (49)
AΛ est non-linéaire puisque Λ dépend de Uj par (48). Une étude approfondie de l’approximation non-linéaire
- en particulier des algorithmes de seuillages - se trouve dans [27]. De notre point de vue, la propriété la plus
intéressante est de pouvoir décrire une fonction régulière par morceaux avec un petit nombre de paramètres.
On s’attend en effet à ce que les détails non seuillés sur les niveaux d’échelles fins soient concentrés près
des singularités. Mais cette propriété n’est pas suffisante pour pouvoir être utilisée en pratique dans un
algorithme de résolution d’EDP. Des propriétés supplémentaires de précision polynômiale et de stabilité
multiéchelle doivent être vérifiées par l’opérateur de prédiction P j−1
j .
3.6 Précision polynômiale
La première propriété requise signifie que l’opérateur de prédiction a une précision d’ordre N, ou, de manière
équivalente, est exact pour les polynômes de degré N − 1 : i.e. si u ∈ ΠN−1, alors uγ = ûγ pour tout γ. En
d’autres termes, pour tout u ∈ ΠN−1 et pour tout λ ∈ ∇ J , on a
〈u, ˜ ψλ〉 = dλ = 0, (50)
Les N premiers moments de l’ondelette duale doivent donc être nuls, ce qui a une conséquence immédiate
sur la taille des détails dλ dans les zones régulières : si u est régulière, par exemple u ∈ C s ( ˜ Σλ) pour un
s ≤ N, on peut utiliser le fait que dλ = 〈u − p, ˜ ψλ〉 pour tout p ∈ ΠN−1 pour majorer ce coefficient par
|dλ| ≤ inf u − pL∞ ( Σλ) ˜
p∈ΠN−1
˜ ψλL1 ≤ C inf
p∈ΠN−1
u − p L ∞ ( ˜ Σλ)
≤ C2 −s|λ| |u| C s ( ˜ Σλ) .
On utilise ici les propriétés de l’approximation localement polynômiale sur ˜ Σλ, le support de l’ondelette ˜ ψλ
(on verra dans le paragraphe 3.7 que sa mesure est en O(2 −|λ| )). On utilise également le fait que l’ondelette
20
(51)

duale est normalisée dans L1 . La décroissance rapide des détails dans les régions régulières est donc assurée
si N est suffisamment grand.
Remarquons à ce sujet que l’opérateur de prédiction (28) associé au système de Haar n’est exact que pour les
constantes. Avec les notations introduites ci-dessus , cela veut dire que la multirésolution sera de précision
d’ordre 1. Une manière d’augmenter la précision est de définir P j
j+1 à l’aide d’un algorithme de reconstruction
polynômiale, ce qui est assez facile pour les grilles cartésiennes, mais beaucoup moins dans le cas des maillages
non structurés, comme on le verra dans l’annexe 2 consacrée aux maillages triangulaires. Reprenons le cas
mono-dimensionnel dyadique déjà étudié au paragraphe 3.2. on considère le stencil centré (u j
k−M , · · · , uj
k+M )
et on définit de manière unique le polynôme pj,k de degré 2M tel que
2 j
pj,k(x)dx = u j
l , l = k − M, · · · , k + M. (52)
Ωj,l
Ensuite on définit simplement la prédiction sur les deux demi-intervalles par les valeurs moyennes de pj,k
sur les deux moitiés de Ωj,k, i.e.
û j+1
2k
= 2j+1
Ωj+1,2k
pj,k(x)dx et û j+1
2k+1 = 2j+1 pj,k(x)dx.
Ωj+1,2k+1
(53)
Il est clair que cet algorithme est exact pour les polynômes de degré 2M, i.e a une précision d’ordre N =
2M + 1. Il est aussi clair d’après la formule (31) et le tableau des coefficients (32) qu’augmenter la précision
signifie augmenter la taille du stencil Rµ . Comme par ailleurs la précision globale du schéma est limitée aussi
par la précision du schéma volumes finis sur la grille fine on se contentera dans la plupart des applications
de la précision d’ordre 3 :
û j+1
2k
3.7 Stabilité multiéchelle
1
= uj
k +
8 (uj
1
k−1 − uj
k+1 ) et ûj+1
2k+1 = uj
k +
8 (uj k+1 − uj
k−1 ). (54)
La deuxième hypothèse énoncée dans le paragraphe 3.5 signifie qu’on doit être capable de contrôler l’effet
du seuillage sur le résultat de l’erreur d’approximation entre UJ et AΛUJ, pour une norme donnée. Pour
un opérateur de prédiction linéaire, cette étude peut s’effectuer en étudiant individuellement la contribution
de chaque détail dλ dans la reconstruction sur la grille fine par l’intermédiaire de M −1 . Cette contribution
est en fait définie par dλΨJ,λ où ΨJ,λ est le vecteur correspondant dans la base associée à la décomposition
multiéchelle, qui est obtenue en appliquant M −1 au vecteur de Dirac Mλ := (δλ,µ) µ∈∇ J . On peut décomposer
cette reconstruction en deux étapes : On reconstruit d’abord un vecteur de valeurs moyennes sur la grille
S |λ| à partir de Mλ, puis on applique à ce vecteur de manière successive les opérateurs de prédiction P j−1
j
pour j = |λ| + 1, · · · , J sans ajouter les détails. L’ondelette ΨJ,λ = Ψj,k est définie explicitement par
Ψj,k = P J−1
J
P J−2 j
J−1 · · · Pj+1 (0, · · · , 0, 1, −1, 0, · · · , 0), (55)
avec 1 en position 2k et −1 en position 2k + 1, ou de manière équivalente par Ψj,k := Φj,2k − Φj,2k+1 avec
Φj,k = P J−1
J
P J−2
J−1
j
· · · Pj+1 (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0), (56)
avec 1 en position k. Il est donc primordial de connaˆtre la stabilité de ces applications itératives des
opérateurs de prédiction P j−1
j .
Dans le cas des maillages cartésiens avec une représentation multiéchelle sur des grilles emboˆtées de manière
dyadique, ce problème est vraiment bien compris parce que le procédé de raffinement d’un niveau au suivant
est le même pour tous les niveaux. Dans ce cas, on traite naturellement le problème en analysant la convergence
de ΨJ,λ, considérée comme une suite de fonctions constantes par morceaux sur SJ, vers la fonction
limite ψλ quand le niveau de raffinement J tend vers +∞. C’est à dire qu’on considère une hiérarchie infinie
de discrétisations (Sj)j≥0, avec les ensembles d’indices
∇ := ∪j≥0∇j. (57)
21

L’étude de ces fonctions limites des processus de raffinement - d’algorithmes de subdivisions - est un sujet
en soi dans le domaine de la conception géométrique assistée par ordinateur ainsi que dans la théorie des
ondelettes, très documenté, comme on l’a déjà dit, dans le cas des subdivisions régulières. On renvoie à [29]
et [13] pour une revue des algorithmes de subdivision et à [26] ou [18] pour leurs liens avec les ondelettes et
on se contente ici de rappeler quelques résultats assez simples.
Si le procédé de subdivision converge au moins dans L1 alors on peut vérifier que les fonctions limites
(ψλ)λ∈∇ forment avec ( ˜ ψλ)λ∈∇ un système d’ondelettes biorthogonales similaire à ceux introduits dans [19] :
une fonction quelconque u ∈ L1 peut être décomposée dans ce système
u =
〈u, ˜ ψλ〉ψλ, (58)
et on a les relations duales
j≥0 |λ|=j
〈 ˜ ψλ, ψµ〉 = δλ,µ. (59)
Les fonctions ψλ et ˜ ψλ servant respectivement à la “synthèse” et à “l’analyse” sont appelées les ondelettes
primale et duale.
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique, si on suppose que l’opérateur de prédiction a la structure de
Toeplitz (45), les ondelettes primales ont la forme générale
ψj,k = ψ(2 j · −k). (60)
Dans les cas plus généraux, on a toujours la normalisation L∞ , c’est-à-dire ψλL∞ ≤ C indépendamment
de λ, à condition que le procédé de subdivision converge dans L∞ .
Au niveau discret J, pour |λ| ≤ J, le vecteur ΨJ,λ co¨ncide avec les valeurs moyennes sur chaque cellule de
ψλ au J, i.e. ΨJ,λ = (〈ψλ, ˜ϕγ〉)γ∈SJ . On peut définir au niveau J la métrique normalisée ℓ1 par
−dJ
UJ := 2
λ∈SJ
|uλ|, (61)
qui est équivalente à la norme L 1 de la fonction constante par morceaux correspondante. On obtient directement
ΨJ,λ ≤ Cψλ L 1 ≤ C2 −d|λ| . (62)
On peut donc contrôler l’effet du seuillage par la majoration suivante :
UJ − AΛUJ =
dλΨJ,λ ≤ C
|dλ|2 −d|λ| = C
λ/∈Λ
Par la suite on utilise un seuillage du type
λ/∈Λ
|dλ|

Si le domaine d’étude est borné, on peut alors poursuivre l’étude et obtenir l’estimation suivante
UJ − AΛUJ = C
|dλ|2
|dλ| N}. On remarque que Λ répond encore à la définition (48) avec εj = 2dj η
mais avec η qui peut maintenant être plus grand que 2−dJε. Le seuillage (66) proposé par Harten est pourtant celui utilisé dans la plupart des implémentations numériques.
Une de ses spécificités est d’assurer également une estimation d’erreur d’ordre ε en norme · ∞, (et donc
par interpolation dans toutes les normes discrètes ℓp ) si les ondelettes primales ψλ sont dans L∞ . En effet,
on a
UJ − AΛUJℓ ∞ = dλΨJ,λℓ∞ ≤
≤ C
≤ C
|dλ|≤ελ
J
j=0
J
|dλ|≤ελ,|λ|=j
sup
dλΨJ,λℓ ∞
dλΨJ,λℓ
j=0
|dλ|≤ελ,|λ|=j
∞
J
εj ≤ Cε,
j=0
où on a utilisé le fait que ψλ et ΨJ,λ sont normalisées en norme infinie, et qu’à un niveau fixé |λ| = j, les
supports des fonctions ΨJ,λ ne se recouvrent pas trop - au sens où
|λ|=j
(67)
dλΨJ,λℓ∞ ≤ C sup dλΨJ,λℓ∞. (68)
|λ|=j
L’intégrabilité des fonctions d’échelle et des ondelettes primales est en quelque sorte la condition minimale
pour pouvoir contrôler l’effet du seuillage. Cependant l’analyse complète de l’algorithme va nécessiter des
propriétés de régularité encore plus fortes sur ces fonctions, en raison de la propriété suivante : si les ψλ sont
dans C r , on a une propriété “inverse” de (51) assurant que cette propriété de décroissance est effectivement
23

2
1
0
−1
0.0 0.5 1.0
2
1
0
−1
0.0 0.5 1.0
Fig. 8 – Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 0 (Haar) à gauche et r = 2 à droite.
2
1
0
−1
0.0 0.5 1.0
2
1
0
−1
0.0 0.5 1.0
Fig. 9 – Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 4 à gauche et r = 6 à droite.
un indicateur de régularité locale. Plus précisément, si Σ est un domaine donné et si pour s < r on a
|〈u, ˜ ψλ〉| ≤ C2 −s|λ| pour tout λ ∈ ∇ telle que le support de ψλ et Σ ont une intersection non vide, alors u
est de régularité C s sur Σ. Ici, C s est la classe de Hölder habituelle quand s est rationnel, et quand s est
entier, il faut en fait remplacer C s par l’espace de Besov B s ∞,∞ (qui est légèrement plus grand que Cs , voir
par exemple [40, 36, 18, 26] ).
Notons que dans le cas de l’opérateur de prédiction (28) associé au système de Haar on a ˜ ψ = ψ et donc
l’ondelette primale n’a pas de régularité au sens de Hölder. En revanche, on peut montrer que les fonctions
limites associées à (54) ont une régularité C r pour tout r < 1.
Les figures 8 à 9 montrent la succession des fonctions ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour les quatre
opérateurs de prédiction prévus dans le tableau (32). La figure 10 permet de comparer les ondelettes obtenues
dans chacun des cas comme limite de ΨJ,0 quand J tend vers l’infini.
3.8 Compression et arborescence
Principalement pour des raisons de complexité algorithmique, on impose à l’ensemble Λ des indices conservés
- non seuillés - une structure d’arbre. De manière à définir cette structure de manière précise on introduit la
terminologie suivante : Si Ωµ ⊂ Ωγ avec |γ| = |µ| − 1, on dit que µ est un “descendant” de γ et que γ est le
24

1.9
1.5
1.1
0.7
0.3
-0.1
-0.5
-0.9
psi0
psi2
psi4
psi6
-1.3
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Fig. 10 – Ondelettes primales r = 0, 2, 4 et 6.
“parent” de µ. Notons que par définition de ∇j, si γ a Nγ descendants, Nγ − 1 d’entre eux sont dans ∇j,
c’est à dire qu’ils représentent un détail. On les appelle les “détails descendants” de γ
Définition 2.1. Un ensemble d’indices Λ ∈ ∇ est un arbre si les propriétés suivantes sont vérifiées
(i) le niveau de base ∇0 = S0 est contenu dans Λ.
(ii) si µ et ν sont des détails descendants du même γ, alors µ ∈ Λ si ν ∈ Λ.
(iii) si γ est tel que ses détails descendants sont dans Λ, alors le parent de γ a la même propriété.
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique cette définition peut être réécrite de manière plus simple ∇0 ∈ Λ
et
(j, k) ∈ Λ ⇒ (j − 1, [k/2]) ∈ Λ. (69)
En particulier, la propriété (ii) est inutile ici puisque chaque γ = (j, k) a un seul détail descendant, correspondant
au détail dj,k.
L’importance de ces structures d’arbre, réside dans le fait qu’elles permettent de définir une discrétisation
“hybride” sur des cellules appartenant à des niveaux différents. On définit en premier les feuilles L(Λ) d’un
arbre Λ comme les λ ∈ Λ qui n’ont pas de descendant dans Λ. Il est clair que les Ωλ, pour λ ∈ L(Λ), sont
disjoints mais ils ne forment pas une partition, en particulier ils ne recouvrent pas l’ensemble du domaine.
Par exemple, dans le cas où les feuilles sont toutes à un même niveau j i.e. L(Λ) = ∇j, on n’a pas une
partition puisque ∇j a été construit comme un sous-ensemble de Sj strictement inclus de manière à éviter
la redondance des détails Donc pour avoir une partition il faut ajouter aux feuilles L(Λ) tous ces µ qui ont
un parent en commun avec un λ ∈ L(Λ) mais qui ne sont pas dans ∇ (dans le cas où L(Λ) = ∇j, ceci
correspond à compléter ∇j dans Sj). Dans le cas général, l’ensemble complété correspond à une partition
adaptative du domaine (Ωλ) λ∈S(Λ), qui peut aussi être définie par un processus de raffinement itératif : On
part d’une partition grossière (Ωλ)λ∈S0, et on subdivise une cellule Ωλ de la partition courante si les détails
descendants de λ sont dans Λ. On définit aussi un ensemble plus grand R(Λ), correspondant à toutes les
cellules Ωλ produites au cours du procédé de raffinement y compris durant les étapes intermédiaires, i.e.
toutes les cellules Ωλ qui sont des unions de cellules Ωµ avec µ ∈ S(Λ). On vérifie facilement que
#(S(Λ)) = #(Λ) ≤ #(R(Λ)) ≤ 2#(Λ). (70)
On présente sur la figure 11 un exemple d’arbre Λ ainsi que le maillage adaptatif correspondant S(Λ) dans
le cas mono-dimensionnel dyadique.
Une famille d’opérateurs de prédiction P j−1
j étant fixée, on s’intéresse maintenant à l’élaboration d’une structure
d’arbre correspondant à une certaine graduation dans le maillage hybride correspondant. Il est assez
25

Fig. 11 – Exemple d’arbre non graduel Λ et maillage adaptatif correspondant S(Λ).
Fig. 12 – Arbre graduel minimal (par rapport à (54)) contenant Λ.
intuitif en effet d’éviter, pour des raisons algorithmiques qui seront détaillées plus loin, d’avoir des mailles
adjacentes et appartenant à des niveaux non consécutifs, mais cette condition dépend en fait de l’opérateur
de prédiction utilisé.
Définition 1 On dira qu’un arbre Λ est graduel si pour tout µ ∈ Λ, le stencil de prédiction Rµ appartient
à R(Λ).
Notons que dans le cas de l’opérateur de prédiction (28), correspondant au système de Haar, un arbre est
toujours graduel. En revanche l’arbre de la figure 11 n’est pas graduel pour l’opérateur de prédiction (54)
qui utilise trois mailles pour prédire les valeurs moyennes sur les deux descendants de la maille centrale. On
montre sur la figure 12 un exemple d’arbre graduel pour cet opérateur, qui est le plus petit arbre graduel
contenant l’arbre de la figure 11. Dans le cas de l’opérateur (54) la propriété de graduation prend une forme
plus simple que la définition (1)
(j, k) ∈ Λ ⇒ (j − 1, [k/2] + l) ∈ Λ, l = −1, 0, 1. (71)
L’intérêt de la propriété de graduation est du au résultat suivant (voir [22] pour la preuve).
Proposition 1 Si Λ est un arbre graduel, il existe un isomorphisme MΛ qui associe aux valeurs moyennes
sur les cellules (uλ) λ∈S(Λ) d’une fonction u, les détails (dλ)λ∈Λ. Les opérateurs de décomposition et de reconstruction
adaptative (i.e. MΛ et M −1
Λ ) peuvent tous les deux être implémentés en O(#(Λ)) opérations.
Remarque 2.4 Pour un arbre non graduel Λ on peut toujours montrer le résultat suivant : si u a tous
ses détails dλ = 0 pour λ /∈ Λ, alors il existe un isomorphisme entre les valeurs moyennes (uλ) λ∈S(Λ) et les
coefficients (dλ)λ∈Λ. Cependant la complexité de l’implémentation de cet isomorphisme est en O(#( ˜ Λ)) où
˜Λ est le plus petit arbre graduel contenant Λ. Ceci est dû au fait que la reconstruction de uλ nécessite la
connaissance de uγ pour γ ∈ Rλ.
Dans la suite on considérera toujours la compression de données sur un arbre graduel, qu’on obtient par
exemple en agrandissant l’ensemble des détails non seuillés : on définit Λε comme le plus petit arbre graduel
26

contenant l’ensemble {λ ; |dλ| ≥ ε |λ|}, où εj est le seuillage dépendant du niveau défini par (66). On définit l’
opérateur d’approximation sur l’arbre Aε := AΛε. Comme Λε est plus grand et contient l’ensemble Λ définit
par le simple seuillage et utilisé pour obtenir (67) on a au moins la même estimation
UJ − AεUJ ≤ Cε, (72)
Avant de passer à l’utilisation de ces notions dans l’analyse du schéma volumes finis, nous allons étudier leur
implémentation dans le cas statique, en terme d’efficacité, du point de vue de la compression, de la précision
et de la complexité algorithmique. Tout d’abord les algorithmes de codage et décodage déjà présentés au
plus général, défini suivant les
règles du paragraphe 3.2. (Le cas mono-dimensionnel dyadique est traité en annexe 6.)
paragraphe 2.2.2 sont repris ici avec un opérateur de reconstruction P j
j+1
Algorithme 5 Codage par valeurs moyennes
u est connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine {Ωγ}, γ ∈ SJ
Pour j = J − 1 ↘ 0
1. Calcul de Uj :
2. Calcul de Ûj+1 = P j
j+1 Uj
uγ = |Ωγ| −1
3. Calcul des détails entre Uj+1 et Ûj+1
D j = (dµ)µ∈∇j+1, avec dµ = uµ − ûµ,
4. Remplacement de Uj+1 par Uj et Dj
Fin de Pour j
Ωµ⊂Ωγ ,|µ|=j+1
u est maintenant codée sous la forme (U0, D0, D1, ...DJ−1)
Algorithme 6 Décodage (valeurs moyennes)
|Ωµ|uµ, ∀γ ∈ Sj (73)
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
Pour j = 0 ↗ J − 1
1. Interpolation : calcul de Ûj+1 = P j
j+1 Uj
2. Reconstruction : calcul de Uj+1
uµ = ûµ + dµ, pour µ ∈ ∇j+1 et uµ par (73) pour µ ∈ Sj+1\∇j+1
3. Remplacement de Uj et Dj par Uj+1
Fin de Pour j
u est maintenant connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine
Pour compresser la solution, on regarde simultanément les 2 d − 1 détails relatif à une cellule du niveau j.
S’ils sont tous de norme inférieure au seuil alors on les mets tous à zéro, sinon on les conserve tous.
Algorithme 7 Seuillage Harten
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
Pour j = J − 1 ↘ 0
Pour γ ∈ Sj
Si pour tout µ ∈ ∇j+1, Ωµ ⊂ Ωγ |dµ| < εj alors dµ = 0 ∀µ ∈ ∇j+1, Ωµ ⊂ Ωγ
27

Fin de Pour γ
Fin de Pour j
L’opérateur d’approximation AΛ défini dans (49) peut donc être appliqué en utilisant successivement les
algorithmes 5, 7, 6. En revanche si on veut représenter la fonction sur la grille hybride il faut avoir recours
à un algorithme plus compliqué respectant la structure d’arbre définie par 3.8 et 1 :
Algorithme 8 Construction de l’arbre graduel Λ
• u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
• initialisation Λ = S0
• 1 ère étape, le seuillage :
Pour j = J ↘ 1
Pour γ ∈ ∇j
Si |dγ| < εj
Alors dγ = 0
Sinon γ ∈ Λ
Fin de Pour γ
Fin de Pour j
• 2 ème étape, l’ arbre :
Pour j = J ↘ 1
Pour γ ∈ Λ n ε , t. q. |γ| = j
soit ν, |ν| + 1 = |γ| et Ωγ ⊂ Ων
alors ∀µ ∈ ∇j, Si Ωµ ⊂ Ων, Alors µ ∈ ˜ Λ n+1
ε
Fin de Pour γ
Pour γ ∈ Λn ε , |γ| = j
∀µ, Si |µ| + 1 = |γ| et Ωλ ⊂ Ωµ,Alors µ ∈ ˜ Λn+1 ε
Fin de Pour γ
Fin de Pour j
• 3 ème étape, l’ arbre graduel :
Pour j = J ↘ 1
Pour γ ∈ Λn ε , |γ| = j
∀µ ∈ Rγ, µ ∈ ˜ Λn+1 Fin de Pour γ
ε
Fin de Pour j
Algorithme 9 Reconstruction partielle sur les feuilles de l’arbre R(Λ)
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et les détails dγ pour γ ∈ Λ.
Pour j = 0 ↗ J − 1
Pour γ ∈ ∇j ∩ Λ
Si ∃µ ∈ Sj+1 ∩ Λ, Ωµ ⊂ Ωγ
Alors Calcul de toutes les feuilles de γ :
28

Fin de Pour γ
Fin de Pour j
ûµ puis uµ = ûµ + dµ, ∀µ ∈ ∇j+1 avec Ωµ ⊂ Ωγ
uµ par consistance (73) pour µ ∈ Sj+1\∇j+1, et Ωµ ⊂ Ωγ
Les figures 13 à 16 illustrent l’algorithme de compression (49) dans le cas mono-dimensionnel dyadique avec
l’opérateur de reconstruction d’ordre r = 2 du tableau 32. Quatre fonctions de régularité différentes sont
testées
f1(x) = exp(−50(x − 0.5) 2 ), f2(x) = 0.5 − |x − 0.5| 4 ,
f3(x) = χ [π/6,1](x), f4(x) = 0.5 − |x − 0.5| .
On fixe le nombre maximum de niveaux de résolution à 10, avec 4 cellules sur la grille la plus grossière et
une tolérance de détails sur le niveau le plus fin égale à ε = 10 −2 |f |∞. On représente pour chaque fonction
fi, i = 1, . . . , 4 la fonction et sa reconstruction sur la grille la plus fine sur le graphe de gauche, la fonction et
la fonction compressée sur la grille adaptative sur le graphe du milieu. Enfin sur le graphe de droite la grille
elle-même est représentée par une fonction constante par morceau égale au niveau de résolution maximale
utilisé localement. Ce dernier graphe montre que pour la fonction f1, qui est infiniment régulière, seuls les
niveaux de résolution 2, 3 et 4 sont utilisés pour représenter la fonction sur la grille adaptative du graphe
du milieu. A la tolérance ε près, on peut, en utilisant l’opérateur de prédiction, reconstituer la fonction sur
le niveau le plus fin L = 10 à partir de ces seules données. Pour la fonction f2, continue mais dont la dérivée
en x = 0.5 est discontinue, l’analyse des détails conduit à les conserver jusqu’au niveau 7 dans la zone de
singularité - sur 4 mailles - puis sur les niveaux inférieurs pour avoir un arbre graduel. En revanche loin de la
singularité le niveau de résolution 3 est suffisant. Pour la fonction f3 qui est discontinue en x = π/6, on ne
peut évidemment pas faire l’économie du niveau le plus fin, qui est donc utilisé sur une maille à cet endroit,
puis tous les niveaux jusqu’au plus grossier en respectant la règle de graduation. Le niveau 0 est évidemment
suffisant pour représenter une fonction constante. Il l’est aussi pour une fonction affine, et l’arbre des détails
pour la fonction f4 présente lui aussi des mailles au niveau le plus grossier loin de la discontinuité sur la
dérivée en x = 0.5, où le niveau 6 est utilisé.
La figure 17 présente une étude de la convergence de l’algorithme quand on fait varier le niveau de seuillage
ε. Pour chaque valeur de seuil, on calcule l’erreur en norme L1 entre la fonction initiale et sa reconstruction
sur le niveau après la transformation codage-seuillage -décodage. Cette erreur est ensuite représentée dans un
repère gradué logarithmiquement, en fonction de ε sur le graphe de gauche et du facteur de compression sur le
graphe de droite. Le facteur de compression est le rapport entre le nombre de mailles sur la grille la plus fine
et le nombre de mailles dans la grille adaptative. Pour les deux fonctions continues f1 et f2, le comportement
de l’erreur est régulier en fonction du paramètre de seuillage et on observe bien le comportement en ′(ε)
annoncé par (67). Pour les fonctions f3 et f4, les graphes ne comportent que quelques points car pour les
petites valeurs de seuillage ε l’erreur est identiquement nulle. En effet ces deux fonctions étant respectivement
constante et affine par morceaux, l’opérateur de prédiction (54) est exact pour ces fonctions en dehors des
zones de discontinuité. Dès que le paramètre de seuillage est inférieur au plus petit détail dans ces zones, tous
les détails calculés par l’algorithme de codage sont soit significatifs et donc conservés, soit identiquement
nuls.
Les calculs ont été effectués avec les scripts Scilab que le lecteur pourra télécharger sur le site web
http ://www.ann.jussieu.fr/~postel/Roscoff.
4 Schémas Volumes Finis pour les systèmes de lois de conservation
Dans ce chapitre on présente le type d’équations pour lesquelles la multirésolution est bien adaptée et on
fait quelques rappels sur les schémas de Harten-Lax pour les systèmes de lois de conservation (extensions
du Schéma de Godunov), qui seront utilisés dans les exemples numériques. On renvoie par exemple à [31]
29

1.0
0.5
initiale
recons
0.0
0.0 0.5 1.0
1.0
0.5
initiale
mr
++
+ +
++
++
++
++
++
++
+++++ ++++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ +
++ ++++++++++++ + + +
+ ++ +++++
+ ++ +++++++++
0.0
0.0 0.5 1.0
10
8
6
4
2
+ +
+ + + +
+++++++++++++++++++++ +++++++++++
+++++++++++
+ +
+ +
+ + + +
0
0.0 0.5 1.0
Fig. 13 – Analyse de la fonction y = f1(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et
fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f1 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite
sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite).
initiale
recons
0.0 0.5 1.0
initiale
mr
++
++
+ + + ++ + + + ++ ++ +++++++++++++
++
++
++ ++
++
++
++ ++ + ++
++
++
++
++
++
++
++
+++++++++++
++
++
+ + + + +
+
0.0 0.5 1.0
10
8
6
4
2
+ + + + + + + + + +
+
+
++ ++
++++++++++++++
++++++++++++++
+
+ + + + + + + + +
0
0.0 0.5 1.0
Fig. 14 – Analyse de la fonction y = f2(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et
fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f2 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite
sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite).
1.0
0.5
initiale
recons
0.0
0.0 0.5 1.0
1.0
0.5
initiale
mr
+
+++ + + + + + + +++
+ + + + +++++
+++ +
0.0
0.0 0.5 1.0
+
+
+
+
+
++
++
+ +
+ +
+ + +
+ +
++ +++
+ +
+
+
+
+
+ +
++ +++
+ + +
+ + +
+ +
+ +
0
0.0 0.5 1.0
Fig. 15 – Analyse de la fonction y = f3(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et
fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f3 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite
sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite).
30
10
8
6
4
2
++
+ +
+
+
+
+
+
++

0.5
initiale
recons
0.0
0.0 0.5 1.0
0.5
initiale
mr
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +++ ++ +++ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
++
+++
0.0
0.0 0.5 1.0
+ + ++++
10
8
6
4
2
+
++
++
+ +
+ +
+ + +
+ +
++ ++
+ +
+
++ ++
+ +
+ +
+ + +
+ +
0
0.0 0.5 1.0
Fig. 16 – Analyse de la fonction y = f4(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et
fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f4 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite
sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite).
-1
10
-6
10
-11
10
×
f1
f2
f3
f4
eps
+
×
+ +
-16
10 -13 -12 -11 -10 -9
10 10 10 10 10
+
×
+
×
Erreur en fonction de epsilon
+
×
+
×
+
×
-8
10
+
×
+
×
-7
10
+
×
-6
10
+
×
+
×
-5
10
+ + + + + + + + + +
× × × × × × ×
× × ×
-4
10
-3
10
♦ ♦
♦ ♦
♦ ♦
-2
10
⊕ ⊕
-1
10
−1
10
−6
10
−11
10
+
−16
10 0
10
+
+
+ ×
× +
+
+
Erreur en fonction de la compression
+
+ +
1
10
+
+
+ + + + + + ++ ++
× ×× × ×××
♦ ♦♦♦♦
Fig. 17 – Erreur en norme L 1 en fonction de ε (à gauche) et en fonction du facteur de compression (à droite).
31
×
×
×
f1
f2
f3
f4
×
×
×
× ×
× ×
×× ×
⊕ ⊕
2
10
3
10
++
+ +
+
++

pour les détails et justifications théoriques. On s’intéresse a priori à des systèmes d’équations aux dérivées
partielles très généraux écrits sous la forme
Ut = AU, U(0) = U0 + Conditions Limites (74)
On introduit l’opérateur d’évolution E(t) qui prend en compte les conditions limites
U(t) = E(t)U0.
On introduit aussi l’opérateur de discrétisation D. C’est un opérateur linéaire
D : F −→ V,
F est l’espace fonctionnel où on a l’ existence de la solution du problème (74) et V est un espace vectoriel de
dimension J dans lequel on va chercher la solution discrétisée approchant la solution exacte. On ne précise
pas plus pour le moment ; D peut être l’opérateur correspondant à une discrétisation par valeurs ponctuelles
(différences finies), valeurs moyennes sur des mailles (volumes finies), coefficients dans une base de fonctions
(Eléments finis, méthodes spectrales). D est une projection dans le sens où pour tout v ∈ V il existe f ∈ F
tel que Df = v. On définit aussi un opérateur de reconstruction R, qui pourra être non linéaire, allant de V
dans F et inverse à droite de D. C’est à dire que
DRv = v.
En intégrant (74) entre tn et tn+1, avec t n = n∆t, on obtient
U(tn+1) − U(tn)
∆t
= 1
∆t
= 1
∆t
tn+∆t
tn
∆t
0
AU(τ)dτ,
AE(t)U(tn)dt.
On peut maintenant définir le schéma numérique, comme l’algorithme permettant de calculer une approximation
discrète v n de la solution U au temps t n ,
v n ≈ DU(t n ), Rv n ≈ U(t n ) (75)
la donnée de départ étant la solution au temps initial U0 = U(t 0 ). Pour cela, on écrit l’équation reliant les
solutions approchées à deux pas de temps consécutifs, en prenant comme condition initiale de (74) la solution
reconstruite à partir de la solution discrète au temps t n
v n+1 = DE(∆t)Rv n = v n + D
∆t
0
A[E(t)Rv n ]dt (76)
Finalement en itérant ce procédé, on obtient la solution approchée v n en fonction de la solution initiale
discrétisée v 0 = DU0
v n = DE(∆t)RDE(∆t)R . . . DE(∆t)Rv 0 = [DE(∆t)R] n v 0
Remarquons dans cette expression le terme RD, qui lui n’est pas égal à l’identité comme DR et est en fait
la projection de F sur un espace fonctionnel de dimension finie, qui va dépendre du choix de l’opérateur de
reconstruction R.
On introduit maintenant le schéma semi-discret. A partir de (76),on écrit
v n+1 − v n
∆t
= D 1
∆t
32
∆t
0
(77)
A[E(t)Rv n ]dt (78)

et on fait tendre ∆t vers 0. On obtient
dv
= DA[E(0+)Rv]
dt
(79)
On va maintenant particulariser tout ce qui précède au cas des systèmes de lois de conservation hyperboliques
pour tout k = 1, ..., d on note
Au = −divf(u), avec u : Ω ⊂ R d → R p et f : R p → R p
Jk(u) =
∂fi,j
∂uk
(u)
1≤i,j≤p
la matrice jacobienne de fk Rappelons que ce système, sous forme conservative, est dit hyperbolique si pour
tout u ∈ Ω et tout ω ∈ R d , la matrice
a p valeurs propres réelles
J(u, ω) = Σ d k=1ωkJk(u)
λ1(u, ω) ≤ λ2(u, ω) ≤ ... ≤ λp(u, ω)
et p vecteurs propres linéairement indépendants. (En d’autres termes, J(u, ω) doit être diagonalisable dans
R. Si en plus les valeurs propres sont toutes distinctes, on dit que le système est strictement hyperbolique).
On commence par préciser le choix de l’opérateur de discrétisation, dans le cadre d’un schéma volumes finis.
Il faut définir un maillage S du domaine dans lequel on cherche la solution. On numérote les cellules Ωj de
ce maillage et on définit les normales N aux arêtes des mailles, avec toujours la convention de prendre la
normale avec un signe positif dirigée vers l’extérieur de la cellule. La solution discrète est définie comme la
suite des valeurs moyennes de la solution exacte
(Du) j = 1
|Ωj|
où on note |Ωj| la mesure de la cellule Ωj, longueur en dimension 1, surface en dimension 2, etc. En intégrant
(74) avec (80) entre tn et tn+1 et en appliquant la projection D on obtient
U(tn+1) − U(tn)
∆t
DU(tn+1)j − DU(tn)j
∆t
= − 1
∆t
∆t
0
= − 1 1
∆t |Ωj|
= − 1 1
∆t |Ωj|
Ωj
udx
div (f (E(t)U(tn))) dt,
∆t
0
∆t
0
Ωj
∂Ωj
div (f (E(t)U(tn))) dxdt,
(f (E(t)U(tn))) .Ndsdt.
Le schéma numérique va consister à calculer une approximation de ces valeurs moyennes
v n+1
j = vn ∆t
1
j − f (E(t)Rv
|Ωj|
n ) .Ndsdt
0
∂Ωj
Notons que dans l’équation précédente, le cas où l’opérateur de reconstruction envoie v n dans l’espace des
fonctions constantes par morceaux correspond au schéma volumes finis bien connu de Godunov. On va
d’ailleurs détailler ce cas particulier : le schéma semi-discret est obtenu comme précédemment en faisant
tendre ∆t vers 0
dvj
dt
1
= −
|Ωj|
= − 1
|Ωj|
∂Ωj
∂Ωj
f (E(0+)Rv n ) .Nds
f R N
33
Rv |∂Ω −
j
, Rv |∂Ω +
j
ds
(80)

où fN = f.N désigne le produit scalaire avec le vecteur normale, f R N (u1, u2) est le flux numérique approchant
le flux exact sur une arête où la solution est u1 et u2 de part et d’autre. Dans le cas de la méthode de Godunov,
f R N (u1, u2) = fN(W (0; u1, u2)), où W ( x
t ; u1, u2) est la solution du problème de Riemann
Wt + ∂
∂ξ fN(W ) = 0,
u1, si ξ < 0,
W (ξ, 0) =
u2, si ξ > 0,
Le schéma le plus simple (de Godunov) consiste à utiliser comme opérateur de reconstruction l’application
qui à (vj)j∈G associe la fonction constante par morceaux
Rv(x) =
vjχΩj (x)
j∈G
mais on peut envisager, pour améliorer la précision, d’utiliser un opérateur de reconstruction polynomial
par morceau
(Rv) (x) =
r−1
Bl(x − ci) l pour x ∈ Ci
k=0 |l|=k
avec x ∈ R d , l = (l1, ..., ld), |l| = li, et ci le centre de gravité de la cellule Ci.
Un tel opérateur de reconstruction doit vérifier certaines propriétés dont l’exactitude polynomiale, c’est à
dire la vérification de DR = Id, ce qui conduit à un système linéaire reliant les coefficients {Bl} de R
(DRv) j =
r−1
k=0 |l|=k
Dans les relations ci-dessus, Ifv(i) est une famille de
cellules, contenant en particulier Ci, qu’on appelle en
général stencil. Le choix de ce dernier est crucial. Suivant
la dimension du problème et le degré du polynôme
on aura à choisir parmi plusieurs stencils possibles
et le critère de sélection du stencil conduira
à des méthodes plus ou moins stables et plus ou
moins précises. Par exemple, dans le cas d’une reconstruction
Essentiellement Non-Oscillante (ENO) ,
le stencil Ifv(i; v n ) est sélectionné de manière adaptative
de telle sorte que la solution reconstruite
soit régulière (voir figure (18) et références [28,
14]).
On peut résumer ce choix parfois très compliqué du flux
numérique en écrivant le schéma volumes finis sous la
forme condensée
v n+1 = v n − b n
Bl D.(x − ci) l
j = vj, Ωj ∈ Ifv(i)
(81)
Stencil
(i;v
S fv
n )
Ω
i
Cell
Shock
Fig. 18 – Sélection adaptative du stencil Ifv au
voisinage d’un choc.
où b n = B(v n ) est un opérateur non-linéaire. En dimension 1 la condition de conservativité des flux impose
la forme de l’opérateur B
v n+1
j
= vn j
∆t
− ˆf(vn j−p , v
∆x
n j−p+1 , ...vn j+q ) − ˆ f(v n j−p−1 , vn j−p , ...vn j+q−1 )
34
(82)

où on a noté v n j une approximation de la valeur moyenne de la solution sur la maille [x j−1/2, x j+1/2]. On
impose le plus souvent, pour démontrer la convergence d’un algorithme, une condition de consistance
ˆf(u, u, ..., u) = f(u) (83)
et une hypothèse de régularité Lipschitzienne
ˆ
f(vj−p, vj−p+1, ..., vj+q) − f(u) ≤ K max
−p≤i≤q |vj+i − u| (84)
pour tout vj+i suffisamment proche de u. On introduit finalement la notation suivante, qui peut être utilisée
aussi en dimension 2
b n ∆t
j =
|Ωj| D(unk ; k ∈ Ifv(j)), (85)
où F désigne cette fois le bilan des flux numériques sur la cellule Ωj. En dimension 1, ce bilan s’écrit
D(u n k; k = j − p, ...j + q) = ˆ f(v n j−p, v n j−p+1, ...v n j+q) − ˆ f(v n j−p−1, v n j−p, ...v n j+q−1) (86)
En dimension deux, le bilan s’effectue sur les arêtes de la cellule Ωγ notées Γγ,µ = Ωγ ∩ Ωµ
) =
où le flux numérique F n γ,µ
D(u n γ
µ
|Γγ,µ|F n γ,µ , (87)
est une approximation du flux exact
F n γ,µ =
f R N (Rvγ, Rvµ) ds (88)
Γγ,µ
calculée à partir des valeurs de un λ , pour λ ∈ I(γ). Ce flux est dit conservatif si ces approximations satisfont
aussi
F n γ,µ + F n µ,γ = 0.
On dénote par E l’opérateur d’évolution discret et non-linéaire associé à ce schéma, ce qui revient à réécrire
(76) puis (77) pour obtenir
V n = EV n−1 = · · · = E n U 0 . (89)
où U 0 est le vecteur des valeurs moyennes de la solution exacte u0 = u(t = 0).
Terminons ce paragraphe par quelques remarques sur la justification théorique des schémas numériques
introduits : si U n est le vecteur des valeurs moyennes de la solution exacte u au temps n∆t, on définit
l’erreur par
en := V n − U n . (90)
Pour des solutions non régulières de lois de conservation scalaires, on peut en général montrer que les
schémas volumes finis d’ordre 1 convergent vers la solution entropique au sens de la norme L1. Il est possible
d’obtenir une estimation d’erreur a priori en ≤ Cn∆t √ ∆x en 1D (voir [46]) et en ≤ Cn∆th 1/4 avec
h := maxγ∈G diam(Ωγ), en dimension supérieure à 1 (voir [17]). Dans les cas plus généraux, on peut seulement
se fier aux résultats numériques pour évaluer cette estimation. Notons aussi que le pas de temps est limité
par une condition CFL :
∆t ≤ C∆x, (91)
où la constante C dépend typiquement d’une estimation des dérivées partielles d’ordre un en espace de la
fonction flux sur le domaine de valeurs recouvert par la solution initiale |v| ≤ u0L ∞.
L’utilisation de schémas volumes finis d’ordre élevé se heurte donc à deux difficultés. L’une, théorique, de
l’analyse de la convergence de la solution vers la solution entropique et l’autre, pratique, du coût du calcul
des flux FN, particulièrement quand le choix du stencil résulte d’un algorithme non linéaire et adaptatif. En
fait c’est cette dernière difficulté qui à motivé au départ l’utilisation de techniques multiéchelles pour limiter
le besoin de recourir à de tels flux.
35

5 Le schéma de Harten et le schéma adaptatif
Les deux schémas que l’on présente dans ce chapitre, le schéma multirésolution d’Harten et le schéma
“adaptatif” sont tous les deux basés sur un schéma volumes finis de référence, répondant aux impératifs
décrits dans la section 4 de manière à résoudre le système de lois de conservation (80). On reprend les
notations introduites à la fin du paragraphe précédent, et on réécrit la discrétisation volumes finis (81) sur
le niveau le plus fin
où V n
V n+1
J
= V n
J − Bn J , (92)
J := (un γ )γ∈SJ est le vecteur représentant la solution numérique au temps n∆t et B n J := (bn γ )γ∈SJ avec
b n γ := ∆t
|Ωγ|
µ |Γγ,µ|F n γ,µ le bilan des flux numériques sur la cellule Ωγ. L’incrément b n γ dépend localement
seulement mais de manière non linéaire, de la solution numérique, et s’exprime de la manière suivante,
cohérente avec les notations introduites en (87) et (88)
b n γ := ∆t
|Ωγ| F (un µ ; µ ∈ I(γ)), (93)
où I(γ) représente le stencil volumes finis associé à la cellule γ, et F la fonction de bilan des flux numériques.
La condition CFL introduite en (91) devient
et l’erreur
∆t ≤ C2 −J , (94)
en := V n J
n
− U J. (95)
où on rappelle que U n
J est le vecteur des valeurs moyennes de la solution exacte u sur la grille J. Le but des
schémas multirésolution présentés ici est de calculer une solution numérique U n J avec un gain de temps de
calcul significatif par rapport au schéma volumes finis de référence sans que l’erreur additionnelle
an := U n J − V n J (96)
ne dépasse une précision donnée. Il est naturel de choisir cette limite du même ordre que l’estimation (95)
de l’erreur en disponible sur le schéma de référence.
5.1 L’hypothèse d’Harten
Les deux algorithmes que nous étudions ici reposent tous les deux sur l’idée intuitive, introduite par Harten
dans [34], que l’ensemble des coefficients significatifs de la solution numérique évolue “lentement” d’un pas
de temps à l’autre. Plus précisément si Λn ε est l’arbre graduel obtenu en appliquant l’opérateur Aε à une
approximation U n J
de U n
J, on peut résumer l’idée d’Harten de la manière suivante :
Hypothèse (Heuristique d’Harten ) : On peut agrandir l’ensemble Λ n ε en un arbre graduel ˜ Λ n+1
ε
nant à la fois Λ n ε
et Λn+1
ε
de telle sorte que, si U n+1
J
= EJU n J
U n J − A˜ n+1
Λε U n n+1
J ≤ Cε et UJ , on a
− A˜ Λ n+1
ε
conte-
n+1
UJ ≤ Cε, (97)
i.e. l’arbre graduel ˜ Λn+1 ε est adapté pour décrire la solution à la fois aux temps n∆t et (n + 1)∆t.
Précisons maintenant la signification du terme “agrandir” dans l’hypothèse ci-dessus. Il est clair que cette
affirmation est vraie si on définit simplement ˜ Λn+1 ε comme l’ensemble des cellules de la grille la plus fine ∇J .
Mais ce choix n’a aucun intérêt du point de vue pratique : l’ensemble ˜ Λn+1 ε ne doit pas être beaucoup plus
grand que Λn ε . La stratégie d’agrandissement proposée par Harten dans [34] consiste à faire grandir l’arbre
en fonction de la taille de ses détails. Plus précisément, on appliquera les règles suivantes, généralisation
directe des règles proposées par Harten dans le cas cartésien, avec en plus la structure d’arbre graduel :
36

Algorithme 10 Règles de raffinement prédictives d’Harten
– initialisation de ˜ Λn+1 ε
– Pour j = J ↘ 1
∀γ, |γ| = j
à S0
(i) Si dγ ≥ εj Alors µ ∈ ˜ Λ n+1
ε
pour µ ∈ V t
γ
(ii) Si dγ ≥ 2 p εj Alors µ ∈ ˜ Λ n+1
ε pour µ ∈ ∇j+1 Ωµ ⊂ Ωγ, .
La première règle (i) est dictée par la prise en compte de la vitesse finie de transport de la solution, en
respectant la restriction CFL (94) sur le pas de temps. On sait qu’une discontinuité éventuelle ne pourra pas
se propager sur plus d’une maille en un pas de temps et on définit V t
γ comme le voisinage immédiat de la
cellule Ωγ au même niveau (ce sont les cellules d’indices k − 1 et k + 1 en dimension un, toutes les mailles
ayant un sommet en commun avec Ωλ en dimension supérieure). Remarquons aussi qu’en dimension deux
pour des maillages cartésiens, Harten et Bihari [10] préconisent un seuillage un peu différent où les critères
sont trois combinaisons linéaires des détails relatifs à la même maille avec un paramètre de seuil différent
pour chaque combinaison linéaire.
La seconde règle (ii) a pour but de prévoir la formation de discontinuités. En effet dans le cas d’une équation
hyperbolique, on peut partir d’une solution infiniment régulière au temps 0 - et donc utiliser seulement les
niveaux de résolution grossiers - qui va développer en temps fini une discontinuité qui nécessitera le codage
de la solution sur le niveau le plus fin non utilisé au départ. Les détails de la solution vont être utilisés comme
indicateurs de régularité numérique ce qui présuppose que la perte de régularité encore à venir peut être en
quelque sorte détectée sur les niveaux de discrétisation plus grossiers. Dans le cas monodimensionnel, Harten
([33]) propose de prendre p = r − 1, où r est le degré du polynôme définissant l’opérateur de reconstruction
(31). Dans le cas bidimensionnel cartésien, les critères sont toujours des combinaisons linéaires des détails et
le coefficient p est r + 2 ou r + 1.
Les hypothèses précédentes sont cruciales dans l’analyse d’erreur des schémas de multirésolution adaptatifs
en temps. En fait, la justification rigoureuse de (97) (voir [22]) nécessite un aménagement des règles de
croissance. En particulier, il peut être nécessaire d’introduire plusieurs niveaux de raffinement quand |dγ| est
très grand plutôt que les deux seuls descendants directs. Le nombre de “générations” à introduire dépend
du degré de régularité de Hölder r de l’ondelette de synthèse ψλ. Pour tout λ ∈ Λn ε , on définit le nombre de
niveaux de raffinement à introduire à l’endroit d’un détail non négligeable par n(λ), l’unique entier tel que
2 n(λ)s ε |λ| < |d n λ | ≤ 2(n(λ)+1)s ε |λ|. (98)
Comme ε |λ| est donné par (66), notre procédure de prédiction va prendre en compte à la fois la taille et
l’échelle de dλ. Il est clair que subdiviser une maille λ sur n(λ) et en même temps respecter les règles de
graduation de l’arbre conduira à agrandir Λn ε aussi sur le même niveau (voir Algorithme 16 ).
5.2 Le schéma de multirésolution d’Harten
A partir de (92), on obtient
A˜ Λ n+1
ε
n+1
V
J
= A˜ n+1
Λ (V
ε
n
J − B n J ) (99)
Par ailleurs pour un ensemble d’indices à conserver fixé, Λ, l’opérateur AΛ est linéaire. Donc l’hypothèse
d’Harten implique aussi que
B n J − A˜ n+1
Λε Bn J ≤ Cε, (100)
c’est à dire que le bilan des flux est aussi bien représenté par ˜ Λn+1 ε . Étant donné une tolérance ε > 0, le
schéma proposé par Harten dans [34] consiste à utiliser le vecteur compressé AΛ˜ n+1
ε
Bn J à la place de Bn J
valeurs moyennes de la solution vont être évoluées en temps par
U n+1
J
. Les
= U n J − A˜ n+1
Λε Bn J . (101)
37

Bien entendu, en plus de l’opérateur A˜ n+1
Λ qui lui est appliqué, B
ε
n J diffère du terme original car c’est le
bilan des flux numériques calculé sur la solution U n J et non pas sur la solution volumes finis standard V n J .
Comme on l’a expliqué plus haut le but de cet algorithme est d’économiser du temps de calcul en ayant
moins d’évaluations de flux numériques à effectuer. A cet effet, on remarque que d’après la Proposition 1
, c’est à dire les valeurs moyennes sur la grille fine à partir des valeurs
page 26, on peut reconstruire A˜ n+1
Λε Bn J
moyennes (bn λ ) µ∈S( ˜ Λ n+1
ε ) de Bn J sur la grille hybride. Ces dernières sont définies à partir de Bn J par
b n λ :=
|γ|=J,Ωγ⊂Ωλ
|Ωγ|
|Ωλ| bnγ , (102)
D’un autre côté, comme bγ est un bilan de flux numériques sur Ωγ, on peut aussi le définir globalement sur
la cellule Ωγ,
b n λ := ∆t
|Ωλ|
|Γγ,µ|F n γ,µ. (103)
|γ|=|µ|=J,Ωγ⊂Ωλ,Γγ,µ⊂∂Ωλ
En d’autres termes, le calcul de A˜ n+1
Λε Bn J va finalement nécessiter le calcul de flux numériques F n γ,µ sur la
grille fine, correspondant à des bords de cellules de la grille fine, inclus dans des bords de cellules de la grille
adaptative S( ˜ Λn+1 ε ).
Pour fixer les idées on détaille ci-dessous les étapes de calcul de l’algorithme d’Harten dans le cas bidimensionnel
triangulaire [20]. (Le cas mono-dimensionnel dyadique est dans l’annexe 1 et l’article de Bihari-Harten
[10] détaille le cas d’un maillage cartésien). L’implémentation est basée sur deux structures de données : les
triangles et les arêtes.
À chaque triangle Tγ de l’arbre on associe ses quatre subdivisions (T j+1
µ , µ ∈ St γ = {|µ| = |γ| + 1, Tµ ⊂ Tγ}),
ses arêtes (aj µ , µ ∈ Aγ, ses voisins au même niveau V t (γ) = {µ, |µ| = |γ|, Tµ ∩ Tγ = ∅}, et ses voisins au sens
de la multirésolution : les trois triangles ˜ Rγ au même niveau qui vont permettre d’interpoler les valeurs sur
St γ grâce à 35.
À chaque arête aγ de l’arbre on associe ses deux subdivisions (aµ, µ ∈ Sa γ = {|µ| = |γ| + 1, aµ ⊂ aγ}), ses
deux triangles voisins V a (γ) = (µ, |µ| = |γ|, aγ ∈ ∂Tµ}, et l’orientation νγ de sa normale. Au niveau le plus
fin on définit pour chaque arête un voisinage au sens du schéma volumes finis V vf
γ , c’est à dire l’ensemble
des triangles entrant dans le calcul du flux numérique à travers l’arête aγ.
Remarque : comme on va de toutes façons faire évoluer la solution sur la grille la plus fine, le seuillage
effectif des détails en dessous du seuil de tolérance n’est pas indispensable. En fait il n’apporte rien du point
de vue algorithmique puisque les données ne seront pas effectivement compressées. La grille hybride ˜ Λn+1 ε
est dans ce cas virtuelle et sert simplement à repérer la régularité de la solution. Il est cependant important
de respecter la structure d’arbre qui est utilisée dans l’algorithme 12 de calcul des flux.
Algorithme 11 Volumes Finis + Multirésolution
– Initialisation : calcul de U J,0
−1 = {|Ωγ| Ωγ u(x, t = 0)dx}, γ ∈ SJ , la discrétisation de la condition initiale sur
la grille la plus fine.
– Boucle sur tn, n = 0, ...
Codage de U n J avec l’algorithme 5
Indicateurs de régularité, avec prédiction ˜ Λn+1 ε 10 :
Calcul des flux avec l’algorithme 12
Évolution au niveau fin : Pour γ, |γ| = J,
u n+1
γ
= un γ
Fin de Pour γ
– Fin de Pour tn
+ bγ
38

Algorithme 12 Calcul des flux en partant du niveau grossier
– Niveau grossier 0
Boucle sur les arêtes : Pour γ, |γ| = 0
(i) ∀µ, |µ| = J et aµ ⊂ aγ Fµ = Fx,y|Γx,y avec (x, y) ∈ V a µ
(ii) Fγ =
Fµνµ (voir 103)
Fin de Pour γ
aµ⊂aγ,|µ|=J
Boucle sur les triangles Pour γ, |γ| = 0
−1
(iii) bγ = |Tγ|
Fin de Pour γ
Pour j = 0 ↗ J − 1
µ∈Aγ
Fµνµ
boucle sur les triangles : Pour γ, |γ| = j
Si γ ∈ ˜ Λn+1 ε
calcul exact des flux sur toutes les petites arêtes composant les arêtes de Tµ, µ ∈ St γ
(i), (ii).
Sinon
Fin de Pour γ
Fin de Pour j
calcul de bµ, µ ∈ St γ comme en (iii)
calcul de bµ, µ ∈ S t γ par interpolation des valeurs de bν, ν ∈ ˜ Rγ avec l’opérateur 35.
comme en
Remarques :
– Il est clair qu’une petite arête au niveau J interviendra dans le calcul des flux (ii) à travers plusieurs arêtes
à des niveaux intermédiaires, (toutes ses arêtes ascendantes). Il faut donc repérer si le flux élémentaire (i)
a déjà été calculé ou non.
– Dans le cas mono-dimensionnel (voir algorithme 24) le nombre de flux à calculer précisément est directement
proportionnel au cardinal de ˜ Λn+1 ε , mais ce n’est plus vrai en dimension supérieure où le calcul du
flux sur une cellule sur la grille grossière fait intervenir un grand nombre de flux sur des petites arêtes au
niveau le plus fin.
– Cet algorithme ne permet aucun gain en mémoire puisque, on l’a déjà remarqué, l’évolution se fait sur
la grille la plus fine. De plus, du point de vue CPU, le gain est lui aussi limité parce que la complexité
des calculs est toujours de l’ordre de SJ . Même si le calcul des bilans de flux bγ sont moins coûteux pour
γ /∈ ˜ Λn+1 ε puis qu’il se fait par interpolation, il doit quand même être effectué sur toute la grille la plus
fine.
5.3 Algorithme complètement adaptatif
Nous présentons maintenant l’algorithme permettant de faire évoluer la solution directement sur la grille
hybride ˜ Λn+1 ε sans la reconstruire entièrement sur la grille la plus fine comme c’est le cas dans les algorithmes
d’Harten.
Algorithme 13 Algorithme adaptatif
– Initialisation de la solution UJ, 0 et de Λ0 ε
– Codage de la solution MU 0 J et seuillage (48)
– Pour n = 0, ... Boucle sur tn,
39

Prediction
Graded tree
Fig. 19 – Raffinement prédictif dans le cas mono-dimensionnel dyadique
1. Raffinement prédictif : construction de ˜ Λn+1 ε à partir de Λn ε et de MU n (voir algorithme 16)
2. Décodage partiel M−1T˜ n+1
Λε MU n pour avoir les valeurs moyennes de la solution sur la grille hybride (voir
algorithme 15)
3. Évolution de la solution sur la grille hybride
u n+1
λ = unλ − ˜b n λ pour λ ∈ S(˜ Λn+1 ε )
4. Codage partiel MU n+1 (voir algorithme 14)
5. Seuillage des coefficients (48) et restriction de ˜ Λn+1 ε à Λn+1 ε
– Fin de Pour n
5.4 L’initialisation
En toute rigueur, il faut partir de la solution donnée initialement sur la grille la plus fine pour pouvoir,
après analyse (codage) et seuillage des coefficients, définir la grille hybride initiale. Cette étape nécessite
donc l’occupation mémoire maximale, même si ultérieurement cette mémoire peut être libérée. Cependant,
si la condition initiale est donnée par une fonction sous sa forme explicite, on peut envisager de calculer
directement une représentation compressée de cette condition initiale, en partant du niveau grossier, ce qui
optimise l’occupation mémoire.
Algorithme 14 Codage partiel de la solution
voir Proposition 1.
Algorithme 15 Décodage partiel de la solution
5.5 Le raffinement prédictif
En pratique, dans l’étape (5) de seuillage et restriction de l’algorithme 13 on applique seulement la première
étape de l’algorithme 8, sans imposer la structure d’arbre graduel qui sera de toute façon assurée par l’étape
(1) de raffinement adaptatif décrite ci-dessous.
Algorithme 16 Raffinement prédictif
La solution est connue sous la forme codée (MUλ)λ∈Λn ε
– Initialisation ˜ Λn+1 ε = Λnε ∪ ∇0 (48)
– Raffinement prédictif (voir figure 19
Pour j = J ↘ 0 Boucle sur les niveaux
Pour γ ∈ Λn ε , |γ| = j
µ ∈ ˜ Λn+1 ε ∀µ ∈ V t λ (transport des singularités)
calcul de n(λ) (98) (croissance des singularités)
∀ µ, Si Ωµ ⊂ Ωλ et |µ| ≤ |λ| + n(λ) , Alors µ ∈ ˜ Λn+1 ε
Fin de Pour γ
Fin de Pour j
– Structure d’arbre (voir algorithme 8)
– Graduation de l’arbre (voir algorithme 8)
40

5.6 Le calcul précis des flux
¡ ©¡©
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U 1
¡ ¡ ¢¡¢¡¢
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¤¡¤ £¡£¡£
¢¡¢¡¢ ¡ ¡
¡¡ ¡¡
¡¡ ¡¡
¡¡ ¡¡
V1 V2 V3 V4
U 2
¡ ¡¡
¡¡ ¡
¡ ¡¡
Fig. 20 – Reconstruction des valeurs moyennes au niveau fin
A l’étape 3 de l’algorithme adaptatif 13, on doit calculer les bilans de flux ( ˜b n λ ) λ∈S( ˜ Λn+1) , sur les mailles de
la grille hybride, ce qui est difficile puisqu’on ne dispose pas directement des valeurs (u n γ)γ∈SJ de la solution
sur la grille fine, ce qui nous permettrait de calculer (bn λ ) λ∈S( ˜ Λn+1) avec (103), de manière aussi précise que
dans l’algorithme 11 (aux erreurs de seuillage près).
Dans le cas de grilles uniformes cartésiennes, on peut pallier cette difficulté en remarquant que si les détails
sont négligeables localement à partir d’un certain niveau d’échelle j, les valeurs moyennes à ce niveau suffisent
pour reconstruire, toujours localement, les valeurs moyennes à n’importe quel niveau plus fin que j. Ceci est
illustré sur la figure 20 correspondant au cas de l’opérateur de prédiction d’ordre 3. Les valeurs moyennes
(U1, ..U4) T , localisées aux extrémités gauches des gros intervalles, permettent de prédire les valeurs moyennes
(V1, ..V4) T au niveau immédiatement plus fin, sur les quatre subdivisions correspondant aux deux mailles
centrales sur le niveau grossier, en combinant les relations (31) correspondantes :
U 3
¡¡ ¡¡
¡¡ ¡¡
¡¡ ¡¡
U 4
⎛
1/8 1 −1/8 0
⎞
⎜ −1/8
V = ⎝
0
1
1/8
1/8
1
0 ⎟
⎠ U
−1/8
(104)
0 −1/8 1 1/8
et en itérant cette relation on obtient quatre valeurs moyennes consécutives au niveau le plus fin en fonction
des quatre valeurs moyennes correspondantes au niveau j, si les détails sont négligeables pour tous les
ascendants successifs des 4 petites cellules
⎛
uJ 2J−j ⎞ ⎛
u
k−2
j ⎞
k−2
⎜
⎝
u J 2 J−j k−1
u J 2 J−j k
u J 2 J−j k+1
⎟ ⎜
⎟
⎠ = AJ−j ⎜
u
⎝
j
k−1
u j
k
u j
k+1
⎟
⎠ . (105)
Des relations équivalentes peuvent être obtenues pour un opérateur linéaire d’ordre quelconque. La taille de
la matrice augmentant bien sur en conséquence, et aussi dans le cas des maillages cartésiens. En plus de
la simplicité d’implémentation, cette méthode permet une analyse de l’erreur, dans la mesure où le schéma
volume finis de référence est ℓ1 contractant.
En revanche, dans le cas d’un maillage triangulaire, même régulier, avec un opérateur de reconstruction
tel que (35), l’obtention d’une telle relation matricielle n’est pas évidente. Une valeur moyenne au niveau
fin s’exprime différemment en fonction des valeurs moyennes au niveau grossier suivant sa place dans la
subdivision (centrale ou non), et la complexité du stencil en est d’autant plus grande. (Voir les travaux de
N. Dyn sur ce sujet)
5.6.1 Évaluation directe
Dans le cas des maillages triangulaires, deux schémas ont été testés. Dans le premier cas, on utilise pour
calculer les bilans de flux ( ˜b n λ ) λ∈S( ˜ Λn+1) les valeurs dont on dispose directement (un λ ) λ∈S( ˜ Λn+1) . Cette méthode
est évidemment très peu précise, en fait de l’ordre de la grille la plus grossière, et ne donne pas de très bons
résultats. Une autre idée est d’utiliser un flux numérique d’ordre plus élevé en reconstruisant par exemple la
solution sur les arêtes avec un schéma de type ENO (voir annexe 3). Enfin, on peut imaginer une stratégie
41

intermédiaire (pas implémentée) : on associe à chaque grosse arête sur un niveau intermédiaire un nombre
fixe N, de petites arêtes au niveau le plus fin - faisant partie de la grosse arête. On reconstruit la solution
localement uniquement sur les triangles voisins de ce petit nombre de petites arêtes et on calcule les flux sur
ces dernières. Puis on calcule le flux sur les grosses arêtes par une quadrature d’ordre élevé, déterminé par
N.
5.7 Analyse de l’erreur
On renvoie principalement à [20] pour l’analyse de l’erreur du schéma de Harten pour un maillage triangulaire
et à ([22], section 4) pour l’analyse d’erreur du schéma adaptatif dans le cas de maillages réguliers.
6 Applications numériques
6.1 Cas mono-dimensionnel
On présente ici les algorithmes détaillés dans le cas mono-dimensionnel dyadique Même dans ce cas relativement
simple, une implémentation efficace du point de vue temps de calcul et place mémoire nécessite un
investissement assez important du point de vue informatique. Les algorithmes ci-dessous n’ont certainement
pas la prétention de répondre entièrement à ces objectifs ! (voir par exemple [50] pour un début de réponse...)
Algorithme 17 Codage par valeurs moyennes
u est connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine {Ω J k }, k = 0, ...N2J − 1
Pour j = J − 1 ↘ 0
1. Calcul de Uj : u j 1
k =
2. Calcul de û j+1
2k
2 (uj+1
2k
+ uj+1
2k+1 ), ∀k = 0, ..., N2j − 1
∀k = 0, ..., N2 j − 1 (avec l’opérateur de reconstruction polynomiale 31)
3. Calcul des détails entre Uj+1 et Uj
∀k = 0, ..., N2j − 1,
d j
k
= uj+1
2k
− ûj+1
2k
4. Remplacement de Uj+1 par Uj et Dj
Fin de Pour j
u est maintenant codée sous la forme (U0, D0, D1, ...DJ−1)
Algorithme 18 Décodage (valeurs moyennes)
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
Pour j = 0 ↗ J − 1
1. Interpolation : calcul de û j+1
2k
2. Reconstruction : calcul de Uj+1
3. Remplacement de Uj et Dj par Uj+1
Fin de Pour j
∀k = 0, ..., N2 j − 1 avec (31)
∀k = 0, ..., N2 j − 1 ,
u j+1
2k = û j+1
2k + dj
k
u j+1
2k+1
42
= 2uj k − uj+1
2k

u est maintenant connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine
Algorithme 19 Seuillage Harten
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
Pour j = 0 ↗ J − 1
Pour k = 0, ..., N2j − 1
Si |d j
k | < εj
Alors d j
k = 0
Fin de Pour k
Fin de Pour j
Par convention on notera A j
k = 1 l’appartenance à l’arbre ((j, k) ∈ Λ). On peut être encore plus précis et
imaginer l’implémentation sous forme d’un arbre construit récursivement. Chaque branche de l’arbre a un
pointeur vers la branche plus fine. Si la branche n’existe pas le pointeur est nul.
Algorithme 20 Construction de l’arbre graduel Λ
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
1 ère étape, le seuillage :
Pour j = J − 1 ↘ 0
Pour k = 0, ..., N2j − 1
Si |d j
k | < εj
Alors d j
k = 0 et Aj+1
2k = 0
Sinon A j+1
2k = 1
Fin de Pour k
Fin de Pour j
A 0 k
= 1 pour tout k = 0, ..., N
2 ème étape, l’ arbre :
Pour j = J ↘ 2
Pour k = 0, ...N2j et A j
k = 1, Aj−1
k/2 = 1
Fin de Pour k
Fin de Pour j
3 ème étape, l’ arbre graduel : pour une reconstruction d’ordre r = 2s + 1
Pour j = J ↘ 1
Pour k = 0, ..., N2j − 1 et A j
k = 1,
A j−1
k/2+l = 1, pour |l| ≤ s
Fin de Pour k
Fin de Pour j
Algorithme 21 Reconstruction partielle sur les feuilles de l’arbre R(Λ)
43

u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et les détails Dj pour j = 0, ..., J −1 et on connaˆ
t l’arbre graduel minimum Λ, sous la forme A j
k = 1 si (j, k) ∈ Λ
Pour j = 0 ↗ J − 1
Pour k = 0, ..., N2j − 1 et A j
k = 1
Si A j+1
2k = 1 ou Aj+1
2k+1 = 1
j+1
u
Alors 2k = ûj+1
2k + dj
k
u j+1
2k+1 = 2uj k − uj+1
2k
Fin de Pour k
Fin de Pour j
On définit une fonction récursive permettant de parcourir l’arbre et de classer les feuilles
Algorithme 22 La fonction sur la grille hybride
fonction [X, U] = hybrid(X, U, j, k, A)
Si A j+1
2k
Alors
= 1 ou Aj+1
2k+1 = 1
[X, U] = hybrid (X, U, j + 1, 2k, A)
[X, U] = hybrid (X, U, j + 1, 2k + 1, A)
Sinon X = [X, x j
k ] et U = [X, uj
k ]
Initialisation X = [],U = []
Pour k = 0, ...N − 1
[X, U] = hybrid(X, U, 0, k, A)
Algorithme 23 Règles de raffinement prédictives d’Harten
initialisation de A j
k = 0, ∀j > 0, niveau grossier A0k = 1
Pour j = J − 1 ↘ 1
∀k = 0, ...N2j − 1
Si |d j
k | ≥ εj
Alors A j
k+l = 1 pour |l| ≤ 1
Si |d j
k | ≥ 2rεj Alors A j+1
2k+l = 1 pour l = 0, 1
Multirésolution couplée avec un schéma volume finis : Algorithme d’Harten dans le cas mono-dimensionnel
dyadique :
Algorithme 24 Volumes Finis + Multirésolution
Initialisation : calcul de la discrétisation de la condition initiale sur la grille la plus fine :
Pour k = 0, ..., N2 J − 1
U J,0
k
Fin de Pour k
= 2J x J k+1
x J k
u(x, t = 0)dx,
Évolution en temps : Boucle sur tn,Pour n = 0, ...
Codage de U ,
Jn (algorithme 5)
Indicateurs de régularité, avec prédiction (algorithme 23)
44

Initialisation de l’arbre
Pour j = J − 1 ↘ J − 1
Pour k = 0, ..., N2j − 1
Si |d j
k | ≥ εj
Alors A j
k+l = 1 pour |l| ≤ 1
Si |d j
k | ≥ 2rεj Alors A j+1
2k+l = 1 pour l = 0, 1
Fin de Pour k
Fin de Pour j
Calcul des flux (algorithme 25)
Évolution sur la grille fine :
Fin de Pour n
Pour k = 0, ...N2 J − 1,
u J,n+1
k
Fin de Pour k
= u J,n
k − δt(F J j
k+1 − Fk )
Algorithme 25 Calcul des flux, algorithme de Harten
Calcul des flux au niveau grossier : Pour k = 0, ...N − 1,
F 0 k = ˆ f(u J,n
2J k−p , ..., uJ,n
2J k+q )
Pour j = 0 ↗ J − 1
Pour k = 0, ..., N2 j − 1
Si A j
k = 1
Alors F j+1
2k+1 = F J 2J−j−1 (2k+1) = ˆ f(u J,n
2J−j−12k+1−p , ..., uJ,n
2J−j−12k+1+q )
Sinon F j+1 J
2k+1 = F2J−j−1 (2k+1) = I(xj+1
2k+1/2 ; F j )
Fin de Pour k
Fin de Pour j
Dans cet algorithme, l’opérateur I qui sert à interpoler le flux au point x j+1
2k+1 en fonction des valeurs des
flux aux points sur la grille plus grossière F j
k+l
n’est pas l’opérateur de prédiction P j
j+1
d’ordre r utilisé
pour les valeurs de la solution, mais l’opérateur de reconstruction polynomiale d’ordre r + 1 sur les valeurs
ponctuelles. (voir [34] pour la justification).
Sur le modèle de la base de Schauder vue au paragraphe 2.4, on peut construire des opérateurs linéaires
de reconstruction par valeurs ponctuelles de précision polynomiale arbitraire en cherchant le polynôme p de
degré r = 2s tel que
, ∀l = −s + 1, ..., s puis en prenant comme valeurs reconstruites au niveau j + 1
pkj(xk+l) = f j
k+l
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ˆf j+1
2k = f j
k
ˆf j+1
2k+1 = I(xj+1
2k+1 ; f j ) = pk,j(x j+1
= Σs
l=−s+1 βl(f j j
k+l + fk−l+1 )
avec les valeurs des βi dans le tableau ci-dessous, pour r = 2, 4 et 6.
45
2k+1 )dx
(106)

s β1 β2 β3
2 1
4 2
6 3
1
2
9
16
150
256
0 0
On peut se passer de l’opérateur I en interpolant les bilans de flux sur chaque maille comme on le fait en
dimension deux. L’algorithme modifié est alors
Algorithme 26 Calcul des flux, algorithme modifié
−1
16
−25
256
0
3
256
– Calcul des flux au niveau grossier : Pour k = 0, ...N − 1,
F 0 k = ˆ f(u J,n
2J k−p , ..., uJ,n
2J k+q )
– Calcul des bilans de flux au niveau grossier : Pour k = 0, ...N − 1,
b 0 k = 2−J (F 0 k+1 − F 0 k )
– Pour j = 0 ↗ J − 1
calcul des flux : Pour k = 0, ..., N2 j − 1
Si A j
k = 1
Alors F j+1
2k+1 = F J 2J−j−1 (2k+1) = ˆ f(u J,n
2J−j−1 , ..., uJ,n
2k+1−p 2J−j−12k+1+q )
Fin de Pour k
calcul des bilans de flux Pour k = 0, ..., N2j − 1
Si A j
k = 1
b
Alors
j+1
2k = 2−j+1 (F j+1 j+1
2k+1 − F2k )
b j+1
2k+1 = 2−j+1 (F j+1 j+1
2(k+1) − F2k+1 )
j+1
b
Sinon 2k = ˆb j+1
2k
b j+1
( avec (31))
2k+1 = 2bj k − bj+1
2k
Fin de Pour k
– Fin de Pour j
Exemple numérique dans le cas mono-dimensionnel
L’intérêt de l’algorithme adaptatif est bien illustré l’exemple scalaire mono-dimensionnel suivant.
On considère l’équation de Burgers
∂tu + ∂xu 2 /2 = 0 (108)
avec comme condition initiale une fonction régulière u (x) = 2 + sin(2πx) sur l’intervalle [0, 1] avec des
conditions de périodicité. Le flux numérique est évalué avec une reconstruction ENO d’ordre 2. On utilise la
technique de reconstruction locale présentée au paragraphe 5.6, et on compare avec les résultats obtenus en
utilisant les valeurs sur la grille hybride pour calculer les flux. On représente les résultats correspondant à
huit niveaux de résolution avec 20 intervalles au niveau le plus grossier. Le pas de temps ∆t = 2.5 × 10 −5 et
la solution est représentée à t = 0.5. Le seuil de tolérance est 10 −3 . Sur la figure 21 on montre la solution
initiale sur la grille hybride ˜ D 0 ε, superposées à cette dernière au même temps t = 0. Comme la solution
46
(107)

u
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
u
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
7 levels at most - eps=0.001 - 2nd order flux reconstructed on fine grid
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2
x
eps=0.001
grid
Fig. 21 – ε = 0.001 Solution de l’équation de Burgers à t = 0, Flux ENO - valeurs reconstruites
7 levels at most - eps=0.001 - 2nd order flux reconstructed on fine grid
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
x
eps=0.001
fv
grid
7
6
5
4
3
2
1
level
u
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
7 levels at most - eps=0.001 - 2nd order flux reconstructed on fine grid
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
3
level
eps=0.001
fv
Fig. 22 – ε = 0.001 Solution de l’équation de Burgers à t = 0.5, Flux ENO - valeurs hybrides
initiale est régulière seuls deux niveaux de multirésolution sont utilisés (correspondant en fait au choix de
la discrétisation). Sur le figure 22, à gauche on montre la solution reconstruite sur le niveau le plus fin avec
pour référence la solution calculée par le schéma volumes finis classique aussi sur le niveau le plus fin c’est à
dire 2560 intervalles. A droite on montre la solution sur la grille hybride ˜ Dn+1 ε , superposées à cette dernière
au même temps t = 0.5. Seuls les intervalles les plus fins sont représentés, mais tous les intervalles plus gros
dont ils sont des subdivisions appartiennent aussi à ˜ Λn+1 ε . La grille hybride localise très bien l’emplacement
du choc, endroit où tous les niveaux d’échelle sont utilisés.
6.2 Cas bidimensionnel
La méthode de multirésolution mise au point par Harten se généralise sans difficulté majeure en dimension
deux. Par simple produit tensoriel des opérateurs de projection et reconstruction, dans le cas d’une
grille cartésienne (voir [10]) ou même sur des maillages non structurés (voir [3, 2, 47, 20]). En revanche, la
généralisation de l’algorithme adaptatif dans le cas bidimensionnel se heurte au problème du calcul précis
des flux sur les interfaces des mailles à des niveaux grossiers. Si l’on veut conserver la même précision que
le schéma de référence sur la grille uniforme la plus fine, on doit en toute rigueur reconstruire la solution
jusqu’au niveau le plus fin tout le long des arêtes de mailles grossières, comme l’illustre la figure 23. Cette
étape sera d’une complexité algorithmique de l’ordre de la taille de la grille fine - alors qu’en dimension un
la linéarité de l’opérateur de reconstruction permettait de simplifier ce calcul (voir paragraphe 5.6). L’approche
utilisée en pratique, dans [11] par exemple, consiste à utiliser une reconstruction de la solution de
part et d’autre des arêtes utilisant directement la solution sur la grille adaptative. Pour compenser la perte
47
3
2
level

Fig. 23 – Reconstruction locale par valeurs moyennes pour calculer les flux sur une interface au niveau
grossier, dans le cas bidimensionnel non structuré.
¢¡¢ ¡
V1 V2 V3 V4 V 5
¡ ¡
¡ ¡
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¤¡¤ £¡£
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§¡§ ¨¡¨
¡ ¢¡¢
£¡£ ¤¡¤
¥¡¥
U
1 U2 U3 U4 ¡ ©¡©
©¡© ¡
©¡© ¡
U
5
Fig. 24 – Reconstruction locale par valeurs ponctuelles.
de précision l’opérateur sera d’ordre plus élevé mais non linéaire - avec en particulier des limiteurs de pente
pour assurer la stabilité. Ces derniers ont pour effet de faire retomber la reconstruction à l’ordre un dans le
voisinage des singularités, mais comme dans ces zones l’analyse des détails de la multirésolution entraˆne la
représentation de la solution sur la grille fine, on ne perd pas en précision par rapport au schéma uniforme.
Une solution alternative consiste à abandonner la représentation de la solution par ses valeurs moyennes -
choix motivé par l’utilisation d’un schéma volumes finis - au profit d’une représentation par valeurs ponctuelles
qui sera de toutes façons plus naturelle dans le cadre d’un schéma aux différences finies ou aux
éléments finis. En dimension un, dans le cas d’un opérateur de reconstruction exacte pour les polynômes
de degré trois, la reconstruction locale au niveau fin à partir des valeurs grossières se fait en multipliant la
matrice Apv de l’équation (109) à la puissance voulue par les 5 valeurs centrées comme l’illustre la figure 24.
⎛
0 1 0 0 0
⎞
V = ApvU avec
⎜ −1/16
⎜
Apv = ⎜ 0
⎝
0
9/16
0
−1/16
9/16
1
9/16
−1/16
0
9/16
0 ⎟
0 ⎟
⎠
−1/16
0 0 0 1 0
En dimension 2 sur une grille cartésienne, on peut cette fois tensoriser la méthode utilisée en dimension car
48
(109)

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
1 2 4 5
6 10
11 12 16 20
21 15
25
22 24
16 17 20
21 22 23 24 25
Fig. 25 – Reconstruction locale par valeurs ponctuelles pour calculer les flux sur une interface au niveau
grossier, dans le cas mono-dimensionnel.
Fig. 26 – Grille adaptative au début de la simulation.
pour faire évoluer une valeur discrète de la solution sur un niveau de grille grossière, on doit reconstruire
des valeurs sur la grille la plus fine uniquement au voisinage de ce point, comme l’illustre la figure 25. De la
même manière qu’en dimension 1 on a des relations linéaires permettant de calculer les valeurs nécessaires
au niveau fin en fonction des valeurs connues à un niveau plus grossier.
A titre d’exemple, on applique l’algorithme de multirésolution à l’équation des ondes acoustiques linéaires.
Le schéma numérique de référence sur la grille uniforme est un schéma aux éléments finis d’ordre deux,
proposé par Tsogka dans [5]. L’expérience simulée est une explosion due à une source située au point de
coordonnées (5, 1) d’un domaine rectangulaire [0, 10] × [0, 20]. On s’intéresse à la propagation en temps long,
et pour que les calculs restent raisonnables on limite le domaine d’étude dans la plus petite dimension en
utilisant des conditions limites de type PML (perfectly matching layer). Ces conditions limites présentent
aussi l’avantage d’être compatibles avec une solution périodique, ce qui permet de réduire la complexité de
l’algorithme multirésolution. On présente dans les figures 26 à 29 les résultats de calcul sur une hiérarchie
de quatre niveaux, avec une taille de maille grossière égales à 0.4 dans chaque direction. Le module de
compressibilité K = 2.25 et la densité est fixée à ρ = 1. Avec un seuillage ε = 0.01 l’algorithme code la
solution initiale sur 2416 mailles et la solution au bout de 400 pas de temps sur 11895 mailles, alors que la
grille uniforme de référence en compte 80000.
7 Prediction operator for a triangular mesh
Let (Sℓ i,j )3j=1 pℓ i,j
, we can associate a polynomial
(x, y) of degree lower or equal to M defined by imposing the so-called “recovery condition” : the mean
values of pℓ i,j and the mean values of the function u should coincide on a set V ℓ i,j of neighbor triangles of
be the vertices of the triangle T ℓ
i ∈ Ωℓ . For each vertices S ℓ i,j
49

Fig. 27 – Solution adaptative au début de la simulation.
Fig. 28 – Grille adaptative à la fin de la simulation.
Fig. 29 – Solution adaptative à la fin de la simulation.
50

S ℓ i,j :
A(T )p ℓ i,j = A(T )u, if T ∈ V ℓ i,j. (110)
The reconstructed solution is defined as the mean value of this polynomial on the subtriangle T ℓ+1
i,j containing
the given vertices Sℓ i,j (as shown on figure 30).
ũ ℓ+1
i,j
= A(T ℓ+1
i,j )pℓ i,j for j = 1, . . . , 3. (111)
The mean value on the central subtriangle is computed by imposing conservation of the total sum on T ℓ
i ,
see (34). The case M = 1 (i.e. second order accurate reconstruction) was numerically experimented in [37],
together with other strategies to select p ∈ Π1.
We shall see below that a straightforward selection of p that mimics the 1D construction fails to provide a
stable reconstruction in the sense that the limit function is not even in L1 , and we shall propose a modified
prediction operator which overcomes this drawback.
We denote by T ℓ 0 the current triangle and T ℓ
i , i = 1, 2, 3, the three triangles that share an edge with T ℓ 0.
Their numbering is such that the vertex Sℓ 0,j of T ℓ 0 does not belong to T ℓ j . Then the most natural choice for
. A similar construction is done
p0,3 seems to be by imposing (110) on T ℓ 0 and the two neighbors T ℓ 1 and T ℓ 2
for p0,1 and p0,2.
Writing
p ℓ 0,3(x, y) = a ℓ 0,3x + b ℓ 0,3y + c ℓ 0,3, (112)
and using the fact that for a polynomial of degree 1 one has A(T ℓ k )pℓ0,3 = pℓ0,3 (xℓ k , yℓ k ), we obtain the three
equations
a ℓ 0,3xℓk + bℓ0,3yℓ k + cℓ0,3 = ūℓk , (113)
ℓ x
for k ∈ {0, 1, 2}. The coefficients a0,3 and b0,3 solve a 2 × 2 linear system whose matrix 1 − xℓ 0 yℓ 1 − yℓ
0
x ℓ 2 − xℓ 0
is non singular if the two centroids of T ℓ 1 and T ℓ 2 are not aligned with the current centroid Gℓ 0
y ℓ 2 − yℓ 0
, which is the
case for uniform triangulations. The last coefficient c0,3 is computed by (113). A particular feature of this
decomposition is that, for uniform triangulations, the centroid of the triangle T ℓ+1
0,3 is also the midpoint of
the segment between the centroids of the triangles T ℓ 1 and T ℓ 2. Therefore any plane containing both points
1 , yℓ+1 0,3 , 2 (ūℓ1 + ūℓ2 )) whatever be the value of p(xℓ0 , yℓ 0 ).
does not depend on the value of the
(xℓ 1 , yℓ 1 , ū1) and (xℓ 2 , yℓ 2 , ū2) also contains the point (x ℓ+1
0,3
In other words the interpolated value on non central subtriangles of T ℓ 0
function on T ℓ 0 :
ũ ℓ+1
0,3
= 1
2 (ūℓ 1 + ū ℓ 2). (114)
This remark enables to show on a simple example that this scheme is not stable. We consider the case of a
piecewise constant function equal to one on a triangle T 0 0 and to zero everywhere else. After n iterations of
the subdivision scheme the reconstructed function takes the value 4 n on the center triangle of the n th level
which clearly means that the limit function is not bounded (and not even in L 1 since it features a Dirac at
the origin).
We have not yet analyzed the higher degree reconstructions from this point of view, but they present anyway
the other drawback of requiring much larger stencils to compute the local reconstruction polynomials. We
adopt therefore an alternate solution consisting (again in the case of uniform decomposition) in the following
reconstruction scheme on four triangles :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ũ ℓ+1
0,0 = ūℓ 0 ,
ũ ℓ+1
0,1 = ūℓ 0 + (ūℓ 2 + ūℓ 3 − 2ūℓ 1 )/6,
ũ ℓ+1
0,2 = ūℓ 0 + (ū ℓ 1 + ū ℓ 3 − 2ū ℓ 2)/6,
ũ ℓ+1
0,3 = ūℓ 0 + (ū ℓ 1 + ū ℓ 2 − 2ū ℓ 3)/6.
Although not based on a polynomial selection process, this reconstruction is still exact for polynomials of
degree one and thus second order accurate.
Moreover, it is stable, in the sense that the limit function has C t smoothness for all t < 1.
51
(115)

A one parameter subdivision scheme. We replace the definition of ũ0,3 as given by ( 114) by the
following more general formula
ū ℓ+1
0,3 = a(ūℓ1 + ūℓ2 ) + būℓ3 + cūℓ0 . (116)
We now show that the constants a, b and c can be chosen to ensure the stability and provide the same
accuracy as the initial scheme (112). To this effect the formula (116) should be exact for polynomials of
degree one. For such a polynomial p(x, y) we have
ū ℓ+1
0,3
= p(xℓ+1
0,3
, yℓ+1 0,3
) = a p(x ℓ 1, y ℓ 1) + p(x ℓ 2, y ℓ
2) + bp(x ℓ 3, y ℓ 3) + cp(x ℓ 0, y ℓ 0). (117)
which is verified for all p ∈ Π1 if and only if b = a − 1/2 and c = 3/2 − 3a. The scheme then becomes
and similarly
and
The central subdivision ū ℓ+1
0,0
ū ℓ+1
0,3 = a(ūℓ 1 + ū ℓ 2) + (a − 1
2 )ūℓ 3 + 3( 1
2 − a)ūℓ 0, (118)
ū ℓ+1
0,2 = a(ūℓ 1 + ū ℓ 3) + (a − 1
2 )ūℓ 2 + 3( 1
2 − a)ūℓ 0, (119)
ū ℓ+1
0,1 = a(ūℓ 2 + ū ℓ 3) + (a − 1
2 )ūℓ 1 + 3( 1
2 − a)ūℓ 0. (120)
is determined so as to satisfy (34)
ū ℓ+1
0,0
= (9a − 1
2 )ūℓ 0 − (3a − 1
2 )(ūℓ 1 + ū ℓ 2 + ū ℓ 3). (121)
For a = 1/2, one obtain the original non stable scheme (110), (111), (112). We shall now see that other
values of a improve the stability in the sense that the limit functions are not only integrable but also Hölder
continuous.
Convergence. There exists now many different techniques to analyze the convergence of subdivision algorithms,
as well as the smoothness of the limit function. Some of these techniques make use of Fourier
analysis, while other directly operate in the ’physical’ domain (see e.g. [1] and [29] for substantial review on
these different approaches.) Here we are specifically interested in evaluating the Hölder smoothness. In this
context, a standard analysis method consists in deriving an auxiliary subdivision algorithm which maps the
(infinite) vector D ℓ of finite differences between averages on adjacent triangles at level ℓ to the same finite
difference vector D ℓ+1 at level ℓ + 1. Convergence and Hölder smoothness of the limit follows by proving a
contraction property on this auxiliary scheme.
More precisely, convergence to a continuous limit holds if limℓ→∞ Dℓℓ∞ = 0 when starting from the
difference vector D0 associated to the fundamental data with average 1 on a single triangle of Ω0 and 0
elsewhere (or equivalently from the difference vector D0 associated to any bounded sequence of averages on
Ω0 ). In addition, if one can prove an estimate of the type
D ℓ ℓ∞ ≤ Cρℓ
for some ρ ∈ [1/2, 1[, then the limit functions have Hölder smoothness C α with α = − log(ρ)
log(2) .
A simple computation from the above formulas defining the subdivision for the averages shows that the
subdivision for the differences can be described by two rules, corresponding to the two cases depicted in
figure 7 (note that each difference is associated to an edge and an orientation in the normal direction) : for
a difference D ℓ+1
1 at level ℓ + 1 associated to an edge which does not belong to an edge of the coarser level
ℓ, we have
(122)
D ℓ+1
1 = (4a − 1)Dℓ 1 + (4a − 1/2)(Dℓ 2 + Dℓ 3 ), (123)
52

while for a difference D ℓ+1
2 at level ℓ + 1 associated to an edge which belongs to an edge of the coarser level
ℓ, we have
D ℓ+1
2 = (2a − 1)Dℓ 2 + a(Dℓ 1 + Dℓ 4 ) + (a − 1/2)(Dℓ 3 + Dℓ 5 ). (124)
Therefore, if we denote by SD the corresponding operator, we see that it acts boundedly on ℓ ∞ with norm
SD = Max{|4a − 1| + 2|4a − 1/2| ; |2a − 1| + 2|a| + 2|a − 1/2|};
It can easily be checked that the right hand side can never be smaller than 1. In turn, we cannot hope to
obtain (122) with ρ < 1 through a rough estimate such as Dℓℓ∞ ≤ SDℓD0ℓ∞. In order to prove (122), we thus need to consider higher powers of SD : if Sn D < 1 for some n > 0, it is
clear that (122) holds with ρ := Sn D1/n .
The operators Sn D are also described by a finite number of rules, relating Dℓ to Dℓ+n , which however become
more numerous and complicated as n increases. With the help of a computer, we were able to compute
these rules and thus the ℓ∞ norms Sn D for powers up to n = 8. In particular, we find that S7 D < 1 for
0.16 ≤ a ≤ 0.21 and S8 D < 1 for 0.14 ≤ a ≤ 0.23.
Therefore, we are ensured that the limit function has some positive Hölder smoothness for values of a in
the interval [0.14, 0.23]. It is of course possible to evaluate this smoothness by α = − log(S8 D) 8 log 2 since we have
ρ ≤ S8 D1/8 . However, direct evaluation of the differences Dℓℓ∞ indicate that this is a pessimistic estimate
in the sense that ρ could be actually much smaller than S8 D1/8 .
In fact, it is even possible that (122) holds with some ρ strictly smaller than the spectral radius of SD on ℓ∞ (i.e. limn→∞ Sn D1/n ) for the following reason : the differences cannot be any arbitrary sequence indexed
by the edges since they need to satisfy compatibility relations (the differences over all the edges connected
to one point sum up to zero when conveniently oriented). Therefore a sharper estimate for ρ should be the
spectral radius of SD on the subspace of ℓ∞ defined by these conditions.
At a more empirical level, we have directly evaluated the contraction factor Dℓ+1ℓ∞/Dℓℓ∞ which tends
to stabilize for ℓ ≥ 5. We find that this experimental contraction factor ρexp is strictly less than 1 for
0.13 ≤ a < 0.25 and is close to its minimal value ρ ∼ 0.7 for 0.16 ≤ a ≤ 0.21. We can therefore conjecture that
the limit function is continuous for 0.13 ≤ a < 0.25 and has Hölder smoothness α ∼ 0.5 for 0.16 ≤ a ≤ 0.21.
In an other direction, one can identify as follows an interval for a out of which no Hölder smoothness can be
expected. Consider a triangle of Ωℓ+1 which is a central subtriangle of a triangle in Ωℓ (e.g. T ℓ+1
0,0 on figure
30.) We see from (123) that the three differences associated to its edges only depend on the three differences
associated to the edge of the triangle of Ωℓ which contains it. With an outward orientation of the normal,
the matrix describing this dependence is given by
⎛
⎞
4a − 1 4a − 1/2 4a − 1/2
⎝ 4a − 1/2 4a − 1 4a − 1/2 ⎠ . (125)
4a − 1/2 4a − 1/2 4a − 1
Some information on the smoothness of the limit function can be derived from the spectral properties of the
above matrix : the eigenvalues of this matrix are λ1 = λ2 = − 1
2 and λ3 = 12a − 2, so that if a does not
belong to ]1/12, 1/4[, we can find an initial vector D0 (which does satisfy the compatibility conditions) such
that Dℓℓ∞ does not tend to zero.
Optimal parameter. We finally test the approximation properties of our subdivision scheme for different
functions u and different values of the parameter a. We start from the mean values of the function at
the coarse grid Ω0 (256 triangles). Iterating the subdivision scheme from this coarse data produces a limit
function uℓ which can be viewed as the projection of u onto the space spanned by the dual scaling functions.
A practical way to select a good value of a is by optimizing the error u − uℓ in some prescribed norm. In
practice, we can only do a finite number of subdivision steps. After three iterations, we compute the error
between the result and the exact mean values of u on this finer grid, which amount in evaluating the averages
of uℓ − u on the finest grid Ω3. The results are presented in the L 1 norm (the behavior with respect to a was
observed to be similar in the L 2 and L ∞ norm).
53

S 01
l
T
3
l+1 l+1
T T
01
02
l+1
T
00
l
T l+1
l
2 T T1
03
S 03
Fig. 30 – Division of the triangle T ℓ 0 into T ℓ+1
0,j for j = 0, . . . , 3 and neighbors T ℓ 1, T ℓ 2, T ℓ 3 used for the
reconstruction
l
D 1
S 02
l
D3
l+1
D 1
l
D2
l
D 4
l
D5
l+1
D2
Fig. 31 – The two cases for the differences.
– For a smooth function u(x, y) = sin(2πx) sin(2πy), the results are shown on figure 32.
– For a discontinuous function, u(x, y) = 1 on a disc centered at (0.5, 0.5), with radius 0.2 and u(x, y) = 0
elsewhere, the results are shown on 33.
These two figures justify our choice for the value of the parameter a = 1/6 which belongs to the interval
]0.16, 0.21[ of highest smoothness and leads to a particularly simple scheme :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ū ℓ+1
0,0 = ūℓ 0
ū ℓ+1
0,1 = ūℓ 0 + (ū ℓ 2 + ū ℓ 3 − 2ū ℓ 1)/6
ū ℓ+1
0,2 = ūℓ 0 + (ūℓ 1 + ūℓ 3 − 2ūℓ 2 )/6
ū ℓ+1
0,3 = ūℓ 0 + (ūℓ 1 + ūℓ 2 − 2ūℓ 3 )/6
The above analysis is tied to the use of fully uniform triangulations. In practice, the triangulation can be
thought as uniform after a certain number of subdivision steps, except near the exceptional points and edges
corresponding to the coarsest mesh. A more elaborate (yet feasible) analysis can be performed in order
to analyze the smoothness of the dual functions in these regions (in the uniform regions, smoothness is
determined by the previous analysis). Note that the prediction scheme needs anyway to be modified near the
exceptional points and edges in order to ensure polynomial exactness. A natural generalization of the optimal
scheme (with parameter a = 1/6) seems to be by imposing ū ℓ+1
0,0 = ūℓ0 for the central triangle and computing
the coefficients of the three remaining prediction rules from the constraints of polynomial exactness up to
order 1 and conservation of the average.
54
(126)

0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
erreur:norme L1
0.005
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
Fig. 32 – L1 norm of the error, a regular function
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
erreur:norme L1
0.02
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Fig. 33 – L1 norm of the error, a discontinuous function
55

8 Conclusion
Pour approfondir les aspects abordés dans ces notes, nous renvoyons à la bibliographie ci-dessous, ainsi
qu’aux références citées dans le texte.
Sur la méthode des ondelettes appliquées à l’analyse numérique, on pourra consulter
– Ingrid Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, 92. [26].
– Albert Cohen, Wavelet methods in numerical analysis, in Handbook of numerical analysis, vol VII, 99.
[18].
Une alternative aux méthodes présentées dans ce cours sont les méthodes AMR (Adaptive Mesh Refinement),
où le raffinement du maillage est piloté localement par des indicateurs d’erreur a posteriori. calculés
à partir du gradient de la solution [6, 7] ou bien à partir des résidus locaux [35, 49, 48]. L’inconvénient de
ces approches très performantes en pratique est la difficulté de contrôler théoriquement l’erreur induite par
l’adaptivité. En effet, alors que dans le contexte des résolutions des problèmes stationnaires par éléments
finis les estimations a priori permettent une analyse de l’algorithme pour un éventail assez large d’équations
(cf [9]), l’équivalent pour les schémas volumes finis est disponible uniquement dans le cas scalaire ou pour
des schémas d’ordre 1 (cf [43]).
Sur les techniques de multirésolution appliquées aux systèmes de lois de conservation on pourra
consulter
– les articles d’Harten et de ses collaborateurs, présentant l’algorithme dans le cas mono-dimensionnel scalaire
[33], et vectoriel, [34]. Bihari et Harten, [10], développent l’application au cas scalaire bidimensionnel sur
une grille cartésienne, avec codage par valeurs moyennes.
– Des applications à des Volumes finis “cell centered”sur des maillages non structurés, toujours par codage
des valeurs moyennes ont été réalisées ultérieurement. (Abgrall [3, 2], Sonar [47])
– Une approche différente, avec une implémentation très poussée, pour des systèmes conservatifs (Euler
compressible) et des performances de calcul améliorées par la parallélisation est développée par Chiavassa
et Donat [16]. La solution “volumes finis” sur des maillages cartésiens est cette fois ci codée par valeurs
ponctuelles.
– Dans le cadre d’étude sur des domaines à géométrie plus complexe, Dahmen et al [25]) ont utilisé les
ondelettes biorthogonales et des maillages curvilignes.
– Toujours dans le but de pouvoir étudier des géométries compliquées, nous avons développé un algorithme
de multirésolution pour Volumes finis “cell centered”sur des triangles, (Cohen, Dyn, Kaber, Postel [20]).
(La section en anglais sur l’algorithme de prédiction sur les triangles, est extraite de cet article.)
L’extension à la Multirésolution adaptative présentée au paragraphe 5.3 a donné lieu à de nombreuses
publications :
Le principe d’un algorithme complètement adaptatif, annoncé dans les travaux d’Harten, est défini dans
ses grandes lignes dans [32] et analysé dans le cas scalaire mono-dimensionnel dans [22]. Cette méthode et
une synthèse des premières applications sont reprises dans le livre de Müller [41]. L’implémentation au cas
vectoriel 1D et 2D sur des maillages triangulaires sont détaillées dans [21, 23, 24].
Parmi les applications plus récentes, on pourra regarder [11], dans lequel Brankamp, Lamby et Müller
résolvent les équations de Navier-Stokes pour un gaz compressible en formulation ALE sur des maillages
paramétrés à partir de maillage cartésien à l’aide d’un produit tensoriel de B-splines. L’analyse multiéchelle
est faite dans une base d’ondelettes biorthogonales. Le code est teste en 2D sur le profil NACA0012. Roussel
et Schneider appliquent l’algorithme adaptatif à des équations de réaction-diffusion en 3D dans [44] et à
des EDP paraboliques dans [45]. Dans [39] Campos et Mehrenberger adaptent le principe de l’algorithme
adaptatif présenté ici à un schéma semi-Lagrangien, dans le but de résoudre le problème de Cauchy associé
au système Vlasov-Poisson en 1D périodique.
Le dernier développement est le passage à l’adaptivité en temps et en espace : dans les méthodes
présentées dans ce cours le schéma en temps est le même partout sur la grille adaptative. Le pas de temps est
56

uniforme et soumis à une condition de stabilité de type CFL, contrôlée par la taille de la maille sur la grille
la plus fine. Ceci réduit évidemment beaucoup le gain en performance de temps calcul. Dans [42] Müller
et al ont mis au point un algorithme adaptatif à la fois en espace et en temps, où le schéma d’évolution
utilise des pas de temps localement adaptés à la taille de la maille. Le schéma est testé en une dimension
sur l’équation de Burgers en stationnaire et instationnaire pour des schémas en temps explicite et implicite.
Cette méthode est ensuite appliquée aux équations de Saint-Venant bidimensionnelles avec terme source
dans [38]. Dans le cadre d’un projet de recherche sur la modélisation des écoulements polyphasiques, nous
étudions actuellement l’utilisation de cet algorithme couplé avec le schéma semi-implicite adaptatif déjà mis
au point pour ce problème dans [30].
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