Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

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Table des matières 1 Introduction 4 2 Transformation multiéchelle 6 2.1 La Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 La transformation multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Décomposition multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Algorithmes de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Intérêt de la représentation multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Codage par valeurs ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Multirésolution par valeurs moyennes 14 3.1 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Décomposition Multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 Ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Précision polynômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7 Stabilité multiéchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.8 Compression et arborescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Schémas Volumes Finis pour les systèmes de lois de conservation 29 5 Le schéma de Harten et le schéma adaptatif 36 5.1 L’hypothèse d’Harten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Le schéma de multirésolution d’Harten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 Algorithme complètement adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.4 L’initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.5 Le raffinement prédictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.6 Le calcul précis des flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.6.1 Évaluation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.7 Analyse de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6 Applications numériques 42 6.1 Cas mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.2 Cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7 Prediction operator for a triangular mesh 49 8 Conclusion 56 2
Table des figures 1 Approximation de f par ses valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Base orthonormale ϕj,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 <strong>Approximations</strong> successives Pj et Pj+1 et détail Qj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 L’ondelette duale ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5 Algorithmes <strong>multiéchelles</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Codage / décodage par valeurs ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7 Exemple de stencil de reconstruction sur une maillage non structuré. Les Ui sont les valeurs moyennes au niveau j−1 et les Vj, j = 0, ..., 3 sont les valeurs moyennes sur les gros triangles correspondants Ω j−1 k sur les quatre subdivisions Ω j k j = 0, ...3 de Ωj−1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 0 (Haar) à gauche et r = 2 à droite. . . . . . . . 24 9 Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 4 à gauche et r = 6 à droite. . . . . . . . . . . . 24 10 Ondelettes primales r = 0, 2, 4 et 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11 Exemple d’arbre non graduel Λ et maillage adaptatif correspondant S(Λ). . . . . . . . . . . . . . . . . 26 12 Arbre graduel minimal (par rapport à (54)) contenant Λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 13 Analyse de la fonction y = f1(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f1 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 30 14 Analyse de la fonction y = f2(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f2 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 30 15 Analyse de la fonction y = f3(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f3 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 30 16 Analyse de la fonction y = f4(x), avec la reconstruction d’ordre r = 2 : fonction d’origine et fonction reconstruite pour ε = 10 −3 |f4 |∞ sur la grille uniforme la plus fine(à gauche), fonction reconstruite sur la grille adaptative (au milieu) et arbre des détails non seuillés (à droite). . . . . . . . . . . . . . . . . 31 17 Erreur en norme L 1 en fonction de ε (à gauche) et en fonction du facteur de compression (à droite). . 31 18 Sélection adaptative du stencil Ifv au voisinage d’un choc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 19 Raffinement prédictif dans le cas mono-dimensionnel dyadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 20 Reconstruction des valeurs moyennes au niveau fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 21 ε = 0.001 Solution de l’équation de Burgers à t = 0, Flux ENO - valeurs reconstruites . . . . . . . . . 47 22 ε = 0.001 Solution de l’équation de Burgers à t = 0.5, Flux ENO - valeurs hybrides . . . . . . . . . . . 47 23 Reconstruction locale par valeurs moyennes pour calculer les flux sur une interface au niveau grossier, dans le cas bidimensionnel non structuré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 24 Reconstruction locale par valeurs ponctuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 25 Reconstruction locale par valeurs ponctuelles pour calculer les flux sur une interface au niveau grossier, dans le cas mono-dimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 26 Grille adaptative au début de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 27 Solution adaptative au début de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 28 Grille adaptative à la fin de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 29 Solution adaptative à la fin de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 30 Division of the triangle T ℓ 0 into T ℓ+1 0,j for j = 0, . . . , 3 and neighbors T ℓ 1 , T ℓ 2 , T ℓ 3 used for the reconstruction 54 31 The two cases for the differences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 32 L1 norm of the error, a regular function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 33 L1 norm of the error, a discontinuous function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3
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