Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

˜ϕγ L 1 = 1 par (41) et ˜ ψλ L 1 ≤ C indépendamment de λ en raison de (43), si on suppose qu’on a une
estimation uniforme sur les coefficients de prédiction cµ,γ (ce qui sera toujours vrai dans notre cas).
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique, l’opérateur de prédiction le plus simple donné en exemple (28)
conduit au fameux Système de Haar
déjà détaillé dans la section 2.2.
3.5 Compression
˜ψj,k := 2 j (χΩj+1,2k − χΩj+1,2k+1 ). (46)
L’intérêt de décomposer UJ dans MJ est que cette représentation est plus appropriée pour y appliquer la
compression de données. Précisons maintenant cette notion déjà introduite au paragraphe 2.3.2. Soit un
ensemble Λ ⊂ ∇ J d’indices λ, on définit un opérateur de seuillage TΛ sur la représentation multiéchelle.
TΛ(dλ) =
0 si λ ∈ Λ,
dλ sinon.
Pour un paramètre ε = (ε0, ε1, ..., εJ) définissant une famille de niveaux de seuillages associés à chaque
niveau, on désignera par Λε l’ensemble des indices correspondant à des détails non seuillés
(47)
Λε = Λ(ε0, ε1, · · · , εJ) := {λ t.q. |dλ| ≥ ε |λ|}. (48)
Ceci définit de manière précise l’opérateur de seuillage TΛ(dλ). A partir de cet opérateur qui agit sur la
représentation multiéchelle, on construit un opérateur d’approximation AΛ, sur la fonction de départ UJ
AΛ := M −1 TΛM., (49)
AΛ est non-linéaire puisque Λ dépend de Uj par (48). Une étude approfondie de l’approximation non-linéaire
- en particulier des algorithmes de seuillages - se trouve dans [27]. De notre point de vue, la propriété la plus
intéressante est de pouvoir décrire une fonction régulière par morceaux avec un petit nombre de paramètres.
On s’attend en effet à ce que les détails non seuillés sur les niveaux d’échelles fins soient concentrés près
des singularités. Mais cette propriété n’est pas suffisante pour pouvoir être utilisée en pratique dans un
algorithme de résolution d’EDP. Des propriétés supplémentaires de précision polynômiale et de stabilité
multiéchelle doivent être vérifiées par l’opérateur de prédiction P j−1
j .
3.6 Précision polynômiale
La première propriété requise signifie que l’opérateur de prédiction a une précision d’ordre N, ou, de manière
équivalente, est exact pour les polynômes de degré N − 1 : i.e. si u ∈ ΠN−1, alors uγ = ûγ pour tout γ. En
d’autres termes, pour tout u ∈ ΠN−1 et pour tout λ ∈ ∇ J , on a
〈u, ˜ ψλ〉 = dλ = 0, (50)
Les N premiers moments de l’ondelette duale doivent donc être nuls, ce qui a une conséquence immédiate
sur la taille des détails dλ dans les zones régulières : si u est régulière, par exemple u ∈ C s ( ˜ Σλ) pour un
s ≤ N, on peut utiliser le fait que dλ = 〈u − p, ˜ ψλ〉 pour tout p ∈ ΠN−1 pour majorer ce coefficient par
|dλ| ≤ inf u − pL∞ ( Σλ) ˜
p∈ΠN−1
˜ ψλL1 ≤ C inf
p∈ΠN−1
u − p L ∞ ( ˜ Σλ)
≤ C2 −s|λ| |u| C s ( ˜ Σλ) .
On utilise ici les propriétés de l’approximation localement polynômiale sur ˜ Σλ, le support de l’ondelette ˜ ψλ
(on verra dans le paragraphe 3.7 que sa mesure est en O(2 −|λ| )). On utilise également le fait que l’ondelette
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