Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Qjf mesure l’écart entre les valeurs de la fonction sur les points de la grille fine Γj+1 = {2−(j+1) k, k ∈ Z} et
les interpolations linéaires aux mêmes points calculées avec les valeurs sur la grille grossière Γj
Qjf =
dj,kψj,k, avec ϕ = ϕ(2x − 1)
k∈Z
Tout comme dans l’exemple du système de Haar (9), on peut écrire f dans la base multiéchelle
f =
cj0,kϕj0,k +
k
j≥j0
k
dj,kϕj,k
et on a les algorithmes de codage similaires aux algorithmes (1,2), illustrés par la figure 6.
Algorithme 3 Décomposition
Pour j = J ↘ j0
Algorithme 4 Reconstruction
Pour j = j0 ↗ J
cj,k = √ 2cj+1,2k,
dj,k = √ 2 {cj+1,2k+1 − (cj+1,2k + cj+1,2k+2)/2}
cj+1,2k = cj,k
√2 ,
cj+1,2k+1 = (cj,k + cj,k+1)/2 + dj,k
√
2
Dans la suite, on se concentrera sur la multirésolution pour des fonctions discrétisées par leur valeurs
moyennes sur les mailles. C’est en effet ce qui semble le plus naturel pour analyser une solution d’un schéma
volumes finis. La conservativité de la solution compressée est assurée de manière naturelle, ce qui est important
dans notre cas, où on cherche à résoudre un système de lois de conservation. Cependant l’exemple
ci-dessus montre qu’on peut faire de la multirésolution sur des fonctions discrétisées par leurs valeurs ponctuelles.
Les algorithmes de codage sont dans les articles d’Harten [33] pour le cas mono-dimensionnel et [10]
pour le cas bidimensionnel cartésien . Chiavassa et Donat ont appliqué cette idée à un schéma différences
finies pour résoudre un système de lois de conservation dans [15].
3 Multirésolution par valeurs moyennes
Dans l’optique de notre application à des schémas volumes finis, nous présentons maintenant la multirésolution
ou encore l’approximation multiéchelle d’une fonction discrétisée par ses valeurs moyennes.
On définit une hiérarchie de discrétisations sur des grilles imbriquées. Pour j = 0, 1, · · · , J, on se donne des
partitions emboˆtées (Ωγ)γ∈Sj de R d (ou du domaine considéré Ω) telles que chaque Ωγ, γ ∈ Sj est l’union
d’un nombre fini de cellules Ωµ, µ ∈ Sj+1.
L’index j fait référence à l’échelle du niveau au sens où il existe des constantes c, C telles que
(19)
c2 −j ≤ diam(cγ) ≤ diam(Cγ) ≤ C2 −j , γ ∈ Sj. (20)
où cγ (resp. Cγ) sont des boules contenues (resp. contenant) Ωγ. On utilisera la notation
|γ| := j si γ ∈ Sj. (21)
pour désigner l’indice de l’échelle du niveau auquel appartient Ωγ
L’exemple de base sera la décomposition en intervalles dyadiques en dimension 1
Ωγ = Ω j
k := [2−j k, 2 −j (k + 1)], γ ∈ Sj := {(j, k) ; k ∈ Z}, (22)
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