Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Fig. 11 – Exemple d’arbre non graduel Λ et maillage adaptatif correspondant S(Λ).
Fig. 12 – Arbre graduel minimal (par rapport à (54)) contenant Λ.
intuitif en effet d’éviter, pour des raisons algorithmiques qui seront détaillées plus loin, d’avoir des mailles
adjacentes et appartenant à des niveaux non consécutifs, mais cette condition dépend en fait de l’opérateur
de prédiction utilisé.
Définition 1 On dira qu’un arbre Λ est graduel si pour tout µ ∈ Λ, le stencil de prédiction Rµ appartient
à R(Λ).
Notons que dans le cas de l’opérateur de prédiction (28), correspondant au système de Haar, un arbre est
toujours graduel. En revanche l’arbre de la figure 11 n’est pas graduel pour l’opérateur de prédiction (54)
qui utilise trois mailles pour prédire les valeurs moyennes sur les deux descendants de la maille centrale. On
montre sur la figure 12 un exemple d’arbre graduel pour cet opérateur, qui est le plus petit arbre graduel
contenant l’arbre de la figure 11. Dans le cas de l’opérateur (54) la propriété de graduation prend une forme
plus simple que la définition (1)
(j, k) ∈ Λ ⇒ (j − 1, [k/2] + l) ∈ Λ, l = −1, 0, 1. (71)
L’intérêt de la propriété de graduation est du au résultat suivant (voir [22] pour la preuve).
Proposition 1 Si Λ est un arbre graduel, il existe un isomorphisme MΛ qui associe aux valeurs moyennes
sur les cellules (uλ) λ∈S(Λ) d’une fonction u, les détails (dλ)λ∈Λ. Les opérateurs de décomposition et de reconstruction
adaptative (i.e. MΛ et M −1
Λ ) peuvent tous les deux être implémentés en O(#(Λ)) opérations.
Remarque 2.4 Pour un arbre non graduel Λ on peut toujours montrer le résultat suivant : si u a tous
ses détails dλ = 0 pour λ /∈ Λ, alors il existe un isomorphisme entre les valeurs moyennes (uλ) λ∈S(Λ) et les
coefficients (dλ)λ∈Λ. Cependant la complexité de l’implémentation de cet isomorphisme est en O(#( ˜ Λ)) où
˜Λ est le plus petit arbre graduel contenant Λ. Ceci est dû au fait que la reconstruction de uλ nécessite la
connaissance de uγ pour γ ∈ Rλ.
Dans la suite on considérera toujours la compression de données sur un arbre graduel, qu’on obtient par
exemple en agrandissant l’ensemble des détails non seuillés : on définit Λε comme le plus petit arbre graduel
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