Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

d’où
|aIj+1,2k (f)| ≤ 2j+1
Ij+1,2k
≤ 2 j+1
−1
2 (t − x j+1
≤
1
2 j+2
sup
t∈Ij+1,2k
|dj,k| ≤ 2 j+1
2 2 −j−1 sup
t∈Ij,k
(t − x j+1
2k )dt sup |f
t∈Ij+1,2k
′ (t)|
2k )2 x j+1
2k+1
|f ′ (t)|
x j+1
2k
sup
t∈Ij+1,2k
|f ′ (t)|
|f ′ (t)| ≤ C2 −3j/2 . (15)
On admettra ici que si f ∈ C α (sur Ij,k) avec α ∈]0, 1[ alors |dj,k| ≤ C2 −(α+1/2)j .
On verra plus loin une généralisation de ce résultat à des systèmes autres que celui de Haar. On peut déjà
admettre qu’il est possible de mesurer la régularité (locale) de f par la décroissance de dj,k en fonction de
j → +∞.
2.3.2 Synthèse
Une autre utilisation de la décomposition multiéchelle d’une fonction est la compression. On peut définir
une approximation adaptative de f en seuillant ses coefficients : on ne garde dans l’expression (9) que les
coefficients supérieurs en valeur absolue à une certaine tolérance, qui peut dépendre du niveau d’échelle
f =
dj,kψj,k → fε :=
˜dj,kψj,kavec ˜
dj,k si |dj,k| > εj,
dj,k =
(16)
0 sinon.
j,k
j,k
On verra plus loin que cette compression assure une certaine précision, dépendant de la tolérance. Une
variante consiste à plutôt imposer une performance de compression donnée :
f → fN :=
dj,kψj,k. (17)
N plus grands |dj,kψj,k|
Dans les deux cas f → fN ou f → fε sont des approximations non-linéaires de f.
2.4 Codage par valeurs ponctuelles
Dans l’exemple du système de Haar développé plus haut, on cherche une approximation de la fonction à
analyser par une fonction constante par morceaux. Cette représentation est bien adaptée à un schéma volumes
finis dans lequel, justement, les inconnues sont des approximations des valeurs moyennes de la solution sur
les mailles. Elle n’est cependant pas obligatoire et on peut choisir d’analyser la fonction discrétisée par
ses valeurs ponctuelles. L’exemple introductif dans ce cas est celui de la base de Schauder, qu’on résume
brièvement ici (voir [18] pour une étude détaillée). On cherche maintenant à approcher une fonction f par
une fonction fj, continue et affine par morceaux sur les intervalles Ij,k, k ∈ Z. Une telle approximation est
définie de manière unique par les valeurs de la fonction aux points 2 −j k. Dans le cas où f est continue on
pose
fj(2 −j k) = f(2 −j k), k ∈ Z
c’est à dire qu’on définit fj comme l’interpolée linéaire de f à l’échelle 2 −j . Notons Pj l’opérateur d’interpolation
qui envoie f sur fj. Pj est une projection sur l’espace
Vj = {f ∈ C(R); f |Ij,k ∈ P1 (Ij,k), k ∈ Z}
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