Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

5 Le schéma de Harten et le schéma adaptatif
Les deux schémas que l’on présente dans ce chapitre, le schéma multirésolution d’Harten et le schéma
“adaptatif” sont tous les deux basés sur un schéma volumes finis de référence, répondant aux impératifs
décrits dans la section 4 de manière à résoudre le système de lois de conservation (80). On reprend les
notations introduites à la fin du paragraphe précédent, et on réécrit la discrétisation volumes finis (81) sur
le niveau le plus fin
où V n
V n+1
J
= V n
J − Bn J , (92)
J := (un γ )γ∈SJ est le vecteur représentant la solution numérique au temps n∆t et B n J := (bn γ )γ∈SJ avec
b n γ := ∆t
|Ωγ|
µ |Γγ,µ|F n γ,µ le bilan des flux numériques sur la cellule Ωγ. L’incrément b n γ dépend localement
seulement mais de manière non linéaire, de la solution numérique, et s’exprime de la manière suivante,
cohérente avec les notations introduites en (87) et (88)
b n γ := ∆t
|Ωγ| F (un µ ; µ ∈ I(γ)), (93)
où I(γ) représente le stencil volumes finis associé à la cellule γ, et F la fonction de bilan des flux numériques.
La condition CFL introduite en (91) devient
et l’erreur
∆t ≤ C2 −J , (94)
en := V n J
n
− U J. (95)
où on rappelle que U n
J est le vecteur des valeurs moyennes de la solution exacte u sur la grille J. Le but des
schémas multirésolution présentés ici est de calculer une solution numérique U n J avec un gain de temps de
calcul significatif par rapport au schéma volumes finis de référence sans que l’erreur additionnelle
an := U n J − V n J (96)
ne dépasse une précision donnée. Il est naturel de choisir cette limite du même ordre que l’estimation (95)
de l’erreur en disponible sur le schéma de référence.
5.1 L’hypothèse d’Harten
Les deux algorithmes que nous étudions ici reposent tous les deux sur l’idée intuitive, introduite par Harten
dans [34], que l’ensemble des coefficients significatifs de la solution numérique évolue “lentement” d’un pas
de temps à l’autre. Plus précisément si Λn ε est l’arbre graduel obtenu en appliquant l’opérateur Aε à une
approximation U n J
de U n
J, on peut résumer l’idée d’Harten de la manière suivante :
Hypothèse (Heuristique d’Harten ) : On peut agrandir l’ensemble Λ n ε en un arbre graduel ˜ Λ n+1
ε
nant à la fois Λ n ε
et Λn+1
ε
de telle sorte que, si U n+1
J
= EJU n J
U n J − A˜ n+1
Λε U n n+1
J ≤ Cε et UJ , on a
− A˜ Λ n+1
ε
conte-
n+1
UJ ≤ Cε, (97)
i.e. l’arbre graduel ˜ Λn+1 ε est adapté pour décrire la solution à la fois aux temps n∆t et (n + 1)∆t.
Précisons maintenant la signification du terme “agrandir” dans l’hypothèse ci-dessus. Il est clair que cette
affirmation est vraie si on définit simplement ˜ Λn+1 ε comme l’ensemble des cellules de la grille la plus fine ∇J .
Mais ce choix n’a aucun intérêt du point de vue pratique : l’ensemble ˜ Λn+1 ε ne doit pas être beaucoup plus
grand que Λn ε . La stratégie d’agrandissement proposée par Harten dans [34] consiste à faire grandir l’arbre
en fonction de la taille de ses détails. Plus précisément, on appliquera les règles suivantes, généralisation
directe des règles proposées par Harten dans le cas cartésien, avec en plus la structure d’arbre graduel :
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