Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

L’étude de ces fonctions limites des processus de raffinement - d’algorithmes de subdivisions - est un sujet
en soi dans le domaine de la conception géométrique assistée par ordinateur ainsi que dans la théorie des
ondelettes, très documenté, comme on l’a déjà dit, dans le cas des subdivisions régulières. On renvoie à [29]
et [13] pour une revue des algorithmes de subdivision et à [26] ou [18] pour leurs liens avec les ondelettes et
on se contente ici de rappeler quelques résultats assez simples.
Si le procédé de subdivision converge au moins dans L1 alors on peut vérifier que les fonctions limites
(ψλ)λ∈∇ forment avec ( ˜ ψλ)λ∈∇ un système d’ondelettes biorthogonales similaire à ceux introduits dans [19] :
une fonction quelconque u ∈ L1 peut être décomposée dans ce système
u =
〈u, ˜ ψλ〉ψλ, (58)
et on a les relations duales
j≥0 |λ|=j
〈 ˜ ψλ, ψµ〉 = δλ,µ. (59)
Les fonctions ψλ et ˜ ψλ servant respectivement à la “synthèse” et à “l’analyse” sont appelées les ondelettes
primale et duale.
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique, si on suppose que l’opérateur de prédiction a la structure de
Toeplitz (45), les ondelettes primales ont la forme générale
ψj,k = ψ(2 j · −k). (60)
Dans les cas plus généraux, on a toujours la normalisation L∞ , c’est-à-dire ψλL∞ ≤ C indépendamment
de λ, à condition que le procédé de subdivision converge dans L∞ .
Au niveau discret J, pour |λ| ≤ J, le vecteur ΨJ,λ co¨ncide avec les valeurs moyennes sur chaque cellule de
ψλ au J, i.e. ΨJ,λ = (〈ψλ, ˜ϕγ〉)γ∈SJ . On peut définir au niveau J la métrique normalisée ℓ1 par
−dJ
UJ := 2
λ∈SJ
|uλ|, (61)
qui est équivalente à la norme L 1 de la fonction constante par morceaux correspondante. On obtient directement
ΨJ,λ ≤ Cψλ L 1 ≤ C2 −d|λ| . (62)
On peut donc contrôler l’effet du seuillage par la majoration suivante :
UJ − AΛUJ =
dλΨJ,λ ≤ C
|dλ|2 −d|λ| = C
λ/∈Λ
Par la suite on utilise un seuillage du type
λ/∈Λ
|dλ|