Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

qui forment une partition de l’intervalle [0, 1].
On définit Pjf par morceau
0
2 −j k
2 −j
f
P j f
Fig. 1 – Approximation de f par ses valeurs moyennes
Pjf |Ij,k
:= 2j
et en utilisant les fonctions caractéristiques de chaque intervalle
Pjf =
2 j −1
k=0
Ij,k
1
f(t)dt = aIj,k (f) (6)
aIj,k (f)χIj,k (f)
La fonction caractéristique χIj,k (t) joue ici le rôle de la fonction e2iπf0t dans (4) mais on voit qu’on a rajouté
à cette fonction de base, en plus de la dépendance spectrale f0, une dépendance dans l’espace temporel
de départ, par l’intermédiaire du facteur de translation k. L’application qui à f ∈ L 2 associe Pjf est la
projection L 2 -orthogonale de f sur l’espace
Vj := f ∈ L 2 , f |Ij,k = constante, k = 0, ....2j − 1 .
Notons ϕ := χ [0,1], on vérifie sans difficulté qu’une base orthonormale de Vj est
avec dim Vj = 2 j (voir figure (2)).
Avec ces notations, on a
où
ϕj,k = 2 j/2 χIj,k = 2j/2 ϕ(2 j · −k), k = 0, 1, ...2 j − 1
Pjf =
2 j −1
k=0
< f, ϕj,k > ϕj,k,
cj,k =< f, ϕj,k >= 2 −j/2 aIj,k (f).
On dira que cj,k est le coefficient d’approximation de f à l’échelle 2 −j et à la position 2 −j k.
Quelques Remarques :
– Les espaces Vj sont emboˆtés : Vj ⊂ Vj+1 ⊂ Vj+2. Si j0 < j les fonctions de base sur Vj0 et Vj sont les
fonctions constantes sur des intervalles de tailles respectives 2 −j0 > 2 −j , les intervalles de taille 2 −j étant
inclus dans ceux de taille 2 −j0 .
– L’approximation Pjf converge dans L p pour 1 ≤ p < ∞ et dans C 0 pour la norme uniforme :
si f ∈ L p , alors lim
j→+∞ |f − Pjf |Lp = 0.
si f ∈ C 0 , alors lim
j→+∞ |f − Pjf |∞ = 0.
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