Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

pour les détails et justifications théoriques. On s’intéresse a priori à des systèmes d’équations aux dérivées
partielles très généraux écrits sous la forme
Ut = AU, U(0) = U0 + Conditions Limites (74)
On introduit l’opérateur d’évolution E(t) qui prend en compte les conditions limites
U(t) = E(t)U0.
On introduit aussi l’opérateur de discrétisation D. C’est un opérateur linéaire
D : F −→ V,
F est l’espace fonctionnel où on a l’ existence de la solution du problème (74) et V est un espace vectoriel de
dimension J dans lequel on va chercher la solution discrétisée approchant la solution exacte. On ne précise
pas plus pour le moment ; D peut être l’opérateur correspondant à une discrétisation par valeurs ponctuelles
(différences finies), valeurs moyennes sur des mailles (volumes finies), coefficients dans une base de fonctions
(Eléments finis, méthodes spectrales). D est une projection dans le sens où pour tout v ∈ V il existe f ∈ F
tel que Df = v. On définit aussi un opérateur de reconstruction R, qui pourra être non linéaire, allant de V
dans F et inverse à droite de D. C’est à dire que
DRv = v.
En intégrant (74) entre tn et tn+1, avec t n = n∆t, on obtient
U(tn+1) − U(tn)
∆t
= 1
∆t
= 1
∆t
tn+∆t
tn
∆t
0
AU(τ)dτ,
AE(t)U(tn)dt.
On peut maintenant définir le schéma numérique, comme l’algorithme permettant de calculer une approximation
discrète v n de la solution U au temps t n ,
v n ≈ DU(t n ), Rv n ≈ U(t n ) (75)
la donnée de départ étant la solution au temps initial U0 = U(t 0 ). Pour cela, on écrit l’équation reliant les
solutions approchées à deux pas de temps consécutifs, en prenant comme condition initiale de (74) la solution
reconstruite à partir de la solution discrète au temps t n
v n+1 = DE(∆t)Rv n = v n + D
∆t
0
A[E(t)Rv n ]dt (76)
Finalement en itérant ce procédé, on obtient la solution approchée v n en fonction de la solution initiale
discrétisée v 0 = DU0
v n = DE(∆t)RDE(∆t)R . . . DE(∆t)Rv 0 = [DE(∆t)R] n v 0
Remarquons dans cette expression le terme RD, qui lui n’est pas égal à l’identité comme DR et est en fait
la projection de F sur un espace fonctionnel de dimension finie, qui va dépendre du choix de l’opérateur de
reconstruction R.
On introduit maintenant le schéma semi-discret. A partir de (76),on écrit
v n+1 − v n
∆t
= D 1
∆t
32
∆t
0
(77)
A[E(t)Rv n ]dt (78)