Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

s β1 β2 β3
2 1
4 2
6 3
1
2
9
16
150
256
0 0
On peut se passer de l’opérateur I en interpolant les bilans de flux sur chaque maille comme on le fait en
dimension deux. L’algorithme modifié est alors
Algorithme 26 Calcul des flux, algorithme modifié
−1
16
−25
256
0
3
256
– Calcul des flux au niveau grossier : Pour k = 0, ...N − 1,
F 0 k = ˆ f(u J,n
2J k−p , ..., uJ,n
2J k+q )
– Calcul des bilans de flux au niveau grossier : Pour k = 0, ...N − 1,
b 0 k = 2−J (F 0 k+1 − F 0 k )
– Pour j = 0 ↗ J − 1
calcul des flux : Pour k = 0, ..., N2 j − 1
Si A j
k = 1
Alors F j+1
2k+1 = F J 2J−j−1 (2k+1) = ˆ f(u J,n
2J−j−1 , ..., uJ,n
2k+1−p 2J−j−12k+1+q )
Fin de Pour k
calcul des bilans de flux Pour k = 0, ..., N2j − 1
Si A j
k = 1
b
Alors
j+1
2k = 2−j+1 (F j+1 j+1
2k+1 − F2k )
b j+1
2k+1 = 2−j+1 (F j+1 j+1
2(k+1) − F2k+1 )
j+1
b
Sinon 2k = ˆb j+1
2k
b j+1
( avec (31))
2k+1 = 2bj k − bj+1
2k
Fin de Pour k
– Fin de Pour j
Exemple numérique dans le cas mono-dimensionnel
L’intérêt de l’algorithme adaptatif est bien illustré l’exemple scalaire mono-dimensionnel suivant.
On considère l’équation de Burgers
∂tu + ∂xu 2 /2 = 0 (108)
avec comme condition initiale une fonction régulière u (x) = 2 + sin(2πx) sur l’intervalle [0, 1] avec des
conditions de périodicité. Le flux numérique est évalué avec une reconstruction ENO d’ordre 2. On utilise la
technique de reconstruction locale présentée au paragraphe 5.6, et on compare avec les résultats obtenus en
utilisant les valeurs sur la grille hybride pour calculer les flux. On représente les résultats correspondant à
huit niveaux de résolution avec 20 intervalles au niveau le plus grossier. Le pas de temps ∆t = 2.5 × 10 −5 et
la solution est représentée à t = 0.5. Le seuil de tolérance est 10 −3 . Sur la figure 21 on montre la solution
initiale sur la grille hybride ˜ D 0 ε, superposées à cette dernière au même temps t = 0. Comme la solution
46
(107)