Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

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Fig. 8 – Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 0 (Haar) à gauche et r = 2 à droite.
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Fig. 9 – Ondelettes ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour r = 4 à gauche et r = 6 à droite.
un indicateur de régularité locale. Plus précisément, si Σ est un domaine donné et si pour s < r on a
|〈u, ˜ ψλ〉| ≤ C2 −s|λ| pour tout λ ∈ ∇ telle que le support de ψλ et Σ ont une intersection non vide, alors u
est de régularité C s sur Σ. Ici, C s est la classe de Hölder habituelle quand s est rationnel, et quand s est
entier, il faut en fait remplacer C s par l’espace de Besov B s ∞,∞ (qui est légèrement plus grand que Cs , voir
par exemple [40, 36, 18, 26] ).
Notons que dans le cas de l’opérateur de prédiction (28) associé au système de Haar on a ˜ ψ = ψ et donc
l’ondelette primale n’a pas de régularité au sens de Hölder. En revanche, on peut montrer que les fonctions
limites associées à (54) ont une régularité C r pour tout r < 1.
Les figures 8 à 9 montrent la succession des fonctions ΨJ,0 pour J variant entre 2 et 10 pour les quatre
opérateurs de prédiction prévus dans le tableau (32). La figure 10 permet de comparer les ondelettes obtenues
dans chacun des cas comme limite de ΨJ,0 quand J tend vers l’infini.
3.8 Compression et arborescence
Principalement pour des raisons de complexité algorithmique, on impose à l’ensemble Λ des indices conservés
- non seuillés - une structure d’arbre. De manière à définir cette structure de manière précise on introduit la
terminologie suivante : Si Ωµ ⊂ Ωγ avec |γ| = |µ| − 1, on dit que µ est un “descendant” de γ et que γ est le
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