Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Prediction
Graded tree
Fig. 19 – Raffinement prédictif dans le cas mono-dimensionnel dyadique
1. Raffinement prédictif : construction de ˜ Λn+1 ε à partir de Λn ε et de MU n (voir algorithme 16)
2. Décodage partiel M−1T˜ n+1
Λε MU n pour avoir les valeurs moyennes de la solution sur la grille hybride (voir
algorithme 15)
3. Évolution de la solution sur la grille hybride
u n+1
λ = unλ − ˜b n λ pour λ ∈ S(˜ Λn+1 ε )
4. Codage partiel MU n+1 (voir algorithme 14)
5. Seuillage des coefficients (48) et restriction de ˜ Λn+1 ε à Λn+1 ε
– Fin de Pour n
5.4 L’initialisation
En toute rigueur, il faut partir de la solution donnée initialement sur la grille la plus fine pour pouvoir,
après analyse (codage) et seuillage des coefficients, définir la grille hybride initiale. Cette étape nécessite
donc l’occupation mémoire maximale, même si ultérieurement cette mémoire peut être libérée. Cependant,
si la condition initiale est donnée par une fonction sous sa forme explicite, on peut envisager de calculer
directement une représentation compressée de cette condition initiale, en partant du niveau grossier, ce qui
optimise l’occupation mémoire.
Algorithme 14 Codage partiel de la solution
voir Proposition 1.
Algorithme 15 Décodage partiel de la solution
5.5 Le raffinement prédictif
En pratique, dans l’étape (5) de seuillage et restriction de l’algorithme 13 on applique seulement la première
étape de l’algorithme 8, sans imposer la structure d’arbre graduel qui sera de toute façon assurée par l’étape
(1) de raffinement adaptatif décrite ci-dessous.
Algorithme 16 Raffinement prédictif
La solution est connue sous la forme codée (MUλ)λ∈Λn ε
– Initialisation ˜ Λn+1 ε = Λnε ∪ ∇0 (48)
– Raffinement prédictif (voir figure 19
Pour j = J ↘ 0 Boucle sur les niveaux
Pour γ ∈ Λn ε , |γ| = j
µ ∈ ˜ Λn+1 ε ∀µ ∈ V t λ (transport des singularités)
calcul de n(λ) (98) (croissance des singularités)
∀ µ, Si Ωµ ⊂ Ωλ et |µ| ≤ |λ| + n(λ) , Alors µ ∈ ˜ Λn+1 ε
Fin de Pour γ
Fin de Pour j
– Structure d’arbre (voir algorithme 8)
– Graduation de l’arbre (voir algorithme 8)
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