Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

où fN = f.N désigne le produit scalaire avec le vecteur normale, f R N (u1, u2) est le flux numérique approchant
le flux exact sur une arête où la solution est u1 et u2 de part et d’autre. Dans le cas de la méthode de Godunov,
f R N (u1, u2) = fN(W (0; u1, u2)), où W ( x
t ; u1, u2) est la solution du problème de Riemann
Wt + ∂
∂ξ fN(W ) = 0,
u1, si ξ < 0,
W (ξ, 0) =
u2, si ξ > 0,
Le schéma le plus simple (de Godunov) consiste à utiliser comme opérateur de reconstruction l’application
qui à (vj)j∈G associe la fonction constante par morceaux
Rv(x) =
vjχΩj (x)
j∈G
mais on peut envisager, pour améliorer la précision, d’utiliser un opérateur de reconstruction polynomial
par morceau
(Rv) (x) =
r−1
Bl(x − ci) l pour x ∈ Ci
k=0 |l|=k
avec x ∈ R d , l = (l1, ..., ld), |l| = li, et ci le centre de gravité de la cellule Ci.
Un tel opérateur de reconstruction doit vérifier certaines propriétés dont l’exactitude polynomiale, c’est à
dire la vérification de DR = Id, ce qui conduit à un système linéaire reliant les coefficients {Bl} de R
(DRv) j =
r−1
k=0 |l|=k
Dans les relations ci-dessus, Ifv(i) est une famille de
cellules, contenant en particulier Ci, qu’on appelle en
général stencil. Le choix de ce dernier est crucial. Suivant
la dimension du problème et le degré du polynôme
on aura à choisir parmi plusieurs stencils possibles
et le critère de sélection du stencil conduira
à des méthodes plus ou moins stables et plus ou
moins précises. Par exemple, dans le cas d’une reconstruction
Essentiellement Non-Oscillante (ENO) ,
le stencil Ifv(i; v n ) est sélectionné de manière adaptative
de telle sorte que la solution reconstruite
soit régulière (voir figure (18) et références [28,
14]).
On peut résumer ce choix parfois très compliqué du flux
numérique en écrivant le schéma volumes finis sous la
forme condensée
v n+1 = v n − b n
Bl D.(x − ci) l
j = vj, Ωj ∈ Ifv(i)
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Stencil
(i;v
S fv
n )
Ω
i
Cell
Shock
Fig. 18 – Sélection adaptative du stencil Ifv au
voisinage d’un choc.
où b n = B(v n ) est un opérateur non-linéaire. En dimension 1 la condition de conservativité des flux impose
la forme de l’opérateur B
v n+1
j
= vn j
∆t
− ˆf(vn j−p , v
∆x
n j−p+1 , ...vn j+q ) − ˆ f(v n j−p−1 , vn j−p , ...vn j+q−1 )
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