Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

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Fig. 23 – Reconstruction locale par valeurs moyennes pour calculer les flux sur une interface au niveau grossier, dans le cas bidimensionnel non structuré. ¢¡¢ ¡ V1 V2 V3 V4 V 5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤¡¤ £¡£ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¦¡¦ ¥¡¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¨¡¨ §¡§ ¡ ¢¡¢ ¤¡¤ ¥¡¥ £¡£ §¡§ ¨¡¨ ¦¡¦ ¦¡¦ §¡§ ¨¡¨ ¡ ¢¡¢ £¡£ ¤¡¤ ¥¡¥ U 1 U2 U3 U4 ¡ ©¡© ©¡© ¡ ©¡© ¡ U 5 Fig. 24 – Reconstruction locale par valeurs ponctuelles. de précision l’opérateur sera d’ordre plus élevé mais non linéaire - avec en particulier des limiteurs de pente pour assurer la stabilité. Ces derniers ont pour effet de faire retomber la reconstruction à l’ordre un dans le voisinage des singularités, mais comme dans ces zones l’analyse des détails de la multirésolution entraˆne la représentation de la solution sur la grille fine, on ne perd pas en précision par rapport au schéma uniforme. Une solution alternative consiste à abandonner la représentation de la solution par ses valeurs moyennes - choix motivé par l’utilisation d’un schéma volumes finis - au profit d’une représentation par valeurs ponctuelles qui sera de toutes façons plus naturelle dans le cadre d’un schéma aux différences finies ou aux éléments finis. En dimension un, dans le cas d’un opérateur de reconstruction exacte pour les polynômes de degré trois, la reconstruction locale au niveau fin à partir des valeurs grossières se fait en multipliant la matrice Apv de l’équation (109) à la puissance voulue par les 5 valeurs centrées comme l’illustre la figure 24. ⎛ 0 1 0 0 0 ⎞ V = ApvU avec ⎜ −1/16 ⎜ Apv = ⎜ 0 ⎝ 0 9/16 0 −1/16 9/16 1 9/16 −1/16 0 9/16 0 ⎟ 0 ⎟ ⎠ −1/16 0 0 0 1 0 En dimension 2 sur une grille cartésienne, on peut cette fois tensoriser la méthode utilisée en dimension car 48 (109)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 5 6 10 11 12 16 20 21 15 25 22 24 16 17 20 21 22 23 24 25 Fig. 25 – Reconstruction locale par valeurs ponctuelles pour calculer les flux sur une interface au niveau grossier, dans le cas mono-dimensionnel. Fig. 26 – Grille adaptative au début de la simulation. pour faire évoluer une valeur discrète de la solution sur un niveau de grille grossière, on doit reconstruire des valeurs sur la grille la plus fine uniquement au voisinage de ce point, comme l’illustre la figure 25. De la même manière qu’en dimension 1 on a des relations linéaires permettant de calculer les valeurs nécessaires au niveau fin en fonction des valeurs connues à un niveau plus grossier. A titre d’exemple, on applique l’algorithme de multirésolution à l’équation des ondes acoustiques linéaires. Le schéma numérique de référence sur la grille uniforme est un schéma aux éléments finis d’ordre deux, proposé par Tsogka dans [5]. L’expérience simulée est une explosion due à une source située au point de coordonnées (5, 1) d’un domaine rectangulaire [0, 10] × [0, 20]. On s’intéresse à la propagation en temps long, et pour que les calculs restent raisonnables on limite le domaine d’étude dans la plus petite dimension en utilisant des conditions limites de type PML (perfectly matching layer). Ces conditions limites présentent aussi l’avantage d’être compatibles avec une solution périodique, ce qui permet de réduire la complexité de l’algorithme multirésolution. On présente dans les figures 26 à 29 les résultats de calcul sur une hiérarchie de quatre niveaux, avec une taille de maille grossière égales à 0.4 dans chaque direction. Le module de compressibilité K = 2.25 et la densité est fixée à ρ = 1. Avec un seuillage ε = 0.01 l’algorithme code la solution initiale sur 2416 mailles et la solution au bout de 400 pas de temps sur 11895 mailles, alors que la grille uniforme de référence en compte 80000. 7 Prediction operator for a triangular mesh Let (Sℓ i,j )3j=1 pℓ i,j , we can associate a polynomial (x, y) of degree lower or equal to M defined by imposing the so-called “recovery condition” : the mean values of pℓ i,j and the mean values of the function u should coincide on a set V ℓ i,j of neighbor triangles of be the vertices of the triangle T ℓ i ∈ Ωℓ . For each vertices S ℓ i,j 49
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