Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

1
0 1/2 1 0
−1
=f [0, 1−2 [ −f ψ
[1_
2
,1[
I j,k
ψ
j,k
Fig. 4 – L’ondelette duale ψ
On a donc une série de bases orthonormales pour VJ : on peut écrire une fonction fJ de VJ sous la forme
canonique
fJ =
2 J −1
dans la base standard, ou bien dans la base d’ondelettes ou base multiéchelle
fJ =
2 j0 −1
k=0
k=0
cj0,kϕj0,k +
cJ,kϕJ,k, (8)
J−1
2 j −1
j=j0 k=0
Puisque fJ = PJf tend vers f dans L 2 quand J ↦→ +∞, on a aussi que
{ϕ} ∪ {ψj,k} j≥0,k=0,...2 j −1
dj,kψj,k. (9)
est une base orthonormale de L 2 [0, 1] (Système de Haar). Par extension on obtient de manière similaire que
est une base orthonormale de L 2 (R).
2.2.2 Algorithmes de transformation
{ϕ(. − k)}k∈ZZ ∪ {ψj,k}j≥0,k∈ZZ
Regardons maintenant les opérations nécessaires pour passer de la représentation d’une fonction dans la base
standard ϕJ,k de VJ à sa représentation dans la base multiéchelle.
Algorithme 1 Décomposition
Pour j = J ↘ j0
cj,k = cj+1,2k + cj+1,2k+1
√ ,
2
dj,k = cj+1,2k − cj+1,2k+1
√
2
Dans l’autre sens, si on connaˆt les valeurs moyennes sur l’échelle la plus grossière j0, ainsi que les détails,
on peut obtenir les valeurs moyennes sur l’échelle la plus fine J
Algorithme 2 Reconstruction
Pour j = j0 ↗ J
cj+1,2k = cj,k + dj,k
√ ,
2
cj+1,2k+1 = cj,k − dj,k
√
2
10
(10)
(11)