Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

1 Introduction
Ces notes sont inspirées des travaux en collaboration avec Albert Cohen, Nira Dyn, Sidi Mahmoud Kaber
et Sigfried Müller [22], [20]. Elles présentent l’application de la technique d’approximation multiéchelles à la
résolution par volumes finis d’un système de lois de conservations hyperboliques. Les méthodes multiéchelles
sont un outil puissant en analyse pour des applications allant du traitement du signal à l’analyse numérique
des EDP. Les fondements théoriques de ces techniques ont co¨ncidé avec l’émergence de la théorie des
ondelettes, dans les années 80. Le tableau 1 donne une vue synthétique de cet aspect pluridisciplinaire.
Un des principaux attraits des discrétisations dans des bases multiéchelles est de pouvoir par un simple
seuillage des coefficients de la fonction discrétisée dans une telle base, obtenir une discrétisation à une
échelle plus grossière dans les endroits où la fonction est régulière, tout en gardant les détails relevant des
discrétisations plus fines près des singularités. C’est le principe utilisé en traitement du signal ou d’image
pour faire de la compression de données. Dans le domaine qui nous intéresse, celui de la résolution numérique
des EDP, il s’agira dans la mesure où la solution est régulière, exception faite de singularités localisées,
d’utiliser une technique multiéchelle pour approcher cette solution en utilisant moins de mémoire et moins
de temps CPU. On peut remarquer que les premières applications de techniques multiéchelles en simulation
numérique avaient un objectif légèrement différent : dans le contexte des équations elliptiques, les techniques
“multigrilles” furent développées à partir des années 70 plutôt pour pré-conditionner les systèmes linéaires
que pour compresser les solutions. Plus récemment le développement des méthodes AMR (Adaptive Mesh
Refinement / raffinement adaptatif de maillages) a aussi des objectifs très proches du nôtre [12, 8]. Nous
nous intéressons ici aux systèmes de lois de conservations hyperboliques, problème dans lequel l’introduction
des techniques multiéchelles est due à Ami Harten vers la fin des années 80. Les solutions de ces équations
présentent en général des discontinuités - ou chocs - qui se propagent à vitesse finie. En exploitant leur
décomposition multiéchelle on va concentrer la représentation sur une grille très fine au voisinage de ces
discontinuités et économiser ainsi des ressources de calcul tout en conservant la précision du schéma initial
- ou tout au moins le même ordre d’erreur.
Résumons le principe dans ses grandes lignes : on part d’un schéma numérique pour résoudre un système
d’équations
∂tu + div(f(u)) = 0. (1)
A priori on peut choisir un schéma aux différences finies, volumes finis, etc... La solution à un temps tn est
représentée par des valeurs discrétisée u n i , sur une grille ΩL . Cette grille a une taille de maille d’ordre 2 −L ,
où on a choisi L suffisamment grand pour que u n i avec i ∈ ΩL représente une bonne approximation de la
solution exacte u(tn, xi). On fait évoluer les valeurs discrètes (ū n+1
k ) k∈Ω L de la solution approchée d’un pas
de temps à l’autre en évaluant les flux à travers les interfaces entre les mailles. L’idée de base est de faire
une décomposition multiéchelle de la solution, du type transformée en ondelettes, et d’utiliser les coefficients
de la transformée comme des indicateurs de régularité.
Ces indicateurs permettent d’adapter le maillage en fonction de la régularité locale de la solution - c’est
ce que nous appelons la multirésolution adaptative. La solution est discrétisée sur un maillage composé de
cellules appartenant à des niveaux de raffinement plus ou moins fins suivant la régularité locale. Ce maillage,
ou plutôt le niveau utilisé dans la hiérarchie de grilles, évolue en temps, puisqu’il dépend de la solution. Un
intérêt par rapport aux méthodes AMR qui utilisent aussi des indicateurs de régularités, est la transformation
multiéchelle peut être inversée à tout moment et que la solution est en fait connue “potentiellement” sur
la grille la plus fine, même si elle est calculée sur une grille beaucoup plus grossière. Cet avantage est très
intéressant du point de vue de l’analyse de la méthode, qui peut ainsi être comparée du point de vue précision
au schéma de référence sur la grille la plus fine.
Cette méthode de multirésolution adaptative est un développement assez récent ([22]). A l’origine les travaux
d’Harten ont plutôt porté sur l’utilisation des coefficients d’ondelettes comme indicateurs d’erreur dans le
contexte d’un schéma d’évolution sur la grille uniforme la plus fine. Ils indiquent en effet les zones où il est
possible d’économiser sur le calcul des flux, qui est d’autant plus coûteux que la solution est singulière :
dans les régions où les détails au delà d’un niveau d’échelle j < J sont petits (c’est-à-dire au dessous d’un
seuil ) on est dans une zone où la solution est régulière et on peut remplacer l’évaluation des flux par leur
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