Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

U 8
U 9
U
2
U 6
U 10
V
1
V
3
V
0
Fig. 7 – Exemple de stencil de reconstruction sur une maillage non structuré. Les Ui sont les valeurs moyennes
au niveau j − 1 et les Vj, j = 0, ..., 3 sont les valeurs moyennes
sur les gros triangles correspondants Ω j−1
k
sur les quatre subdivisions Ω j
k
j = 0, ...3 de Ωj−1
0
Une approche plus globale mais non linéaire consiste à prendre un stencil assez gros, mais sans sélection
coûteuse, par exemple tous les triangles ayant un sommet en commun avec le triangle dont on veut reconstruire
les quatre subdivisions, et on détermine un polynôme de reconstruction de degré donné pµ ∈ Π s (R 2 )
qui sera valable pour les quatre subdivisions de Ωµ - qui ont donc toutes les quatre le même stencil R. Dans
la cas de la figure 7 R = {Ωi, i = 0, ..., 10} . Pour déterminer pµ, on impose la conservation des valeurs
moyennes de manière exacte sur le triangle en question et au sens des moindres carrés sur les autres triangles
de R. Les valeurs reconstruites au niveau fin sont les intégrales de pµ sur chacune des quatre subdivisions.
où
Ωµ
Eµ(q) =
U 5
U
3
p(x, y)dx dy = uµ
γ∈R
U0
V
2
U
1
U
4
Eµ(p) = min
q∈Π s (R 2 ) Eµ(q)
uγ −
Ωγ
p(x, y)dx dy
Cette idée est due à Abgrall et Harten qui l’ont mise en oeuvre dans [3, 2]. Elle a été reprise plus récemment
par Sonar et al [47] dans le contexte de schémas volumes finis vertex centered pour des maillages non
structurés. Les cellules au niveau le plus fins sont les volumes de controles (le maillage dual du maillage
triangulaire) et la hiérarchie de grilles est construite en agglomérant ces volumes. L’application de cette idée
à une hiérarchie de maillages triangulaires comme décrite ci-dessus est dans [37].
3.3 Décomposition Multiéchelle
On peut définir l’erreur de prédiction au niveau j comme les différences entre les valeurs exactes et les valeurs
prédites i.e.
dµ := uµ − ûµ. (36)
D’après l’hypothèse de consistance, on voit que cette erreur doit vérifier des relations
|Ωµ|dµ = 0. (37)
|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ
18
2
U
7