Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Bien entendu, en plus de l’opérateur A˜ n+1
Λ qui lui est appliqué, B
ε
n J diffère du terme original car c’est le
bilan des flux numériques calculé sur la solution U n J et non pas sur la solution volumes finis standard V n J .
Comme on l’a expliqué plus haut le but de cet algorithme est d’économiser du temps de calcul en ayant
moins d’évaluations de flux numériques à effectuer. A cet effet, on remarque que d’après la Proposition 1
, c’est à dire les valeurs moyennes sur la grille fine à partir des valeurs
page 26, on peut reconstruire A˜ n+1
Λε Bn J
moyennes (bn λ ) µ∈S( ˜ Λ n+1
ε ) de Bn J sur la grille hybride. Ces dernières sont définies à partir de Bn J par
b n λ :=
|γ|=J,Ωγ⊂Ωλ
|Ωγ|
|Ωλ| bnγ , (102)
D’un autre côté, comme bγ est un bilan de flux numériques sur Ωγ, on peut aussi le définir globalement sur
la cellule Ωγ,
b n λ := ∆t
|Ωλ|
|Γγ,µ|F n γ,µ. (103)
|γ|=|µ|=J,Ωγ⊂Ωλ,Γγ,µ⊂∂Ωλ
En d’autres termes, le calcul de A˜ n+1
Λε Bn J va finalement nécessiter le calcul de flux numériques F n γ,µ sur la
grille fine, correspondant à des bords de cellules de la grille fine, inclus dans des bords de cellules de la grille
adaptative S( ˜ Λn+1 ε ).
Pour fixer les idées on détaille ci-dessous les étapes de calcul de l’algorithme d’Harten dans le cas bidimensionnel
triangulaire [20]. (Le cas mono-dimensionnel dyadique est dans l’annexe 1 et l’article de Bihari-Harten
[10] détaille le cas d’un maillage cartésien). L’implémentation est basée sur deux structures de données : les
triangles et les arêtes.
À chaque triangle Tγ de l’arbre on associe ses quatre subdivisions (T j+1
µ , µ ∈ St γ = {|µ| = |γ| + 1, Tµ ⊂ Tγ}),
ses arêtes (aj µ , µ ∈ Aγ, ses voisins au même niveau V t (γ) = {µ, |µ| = |γ|, Tµ ∩ Tγ = ∅}, et ses voisins au sens
de la multirésolution : les trois triangles ˜ Rγ au même niveau qui vont permettre d’interpoler les valeurs sur
St γ grâce à 35.
À chaque arête aγ de l’arbre on associe ses deux subdivisions (aµ, µ ∈ Sa γ = {|µ| = |γ| + 1, aµ ⊂ aγ}), ses
deux triangles voisins V a (γ) = (µ, |µ| = |γ|, aγ ∈ ∂Tµ}, et l’orientation νγ de sa normale. Au niveau le plus
fin on définit pour chaque arête un voisinage au sens du schéma volumes finis V vf
γ , c’est à dire l’ensemble
des triangles entrant dans le calcul du flux numérique à travers l’arête aγ.
Remarque : comme on va de toutes façons faire évoluer la solution sur la grille la plus fine, le seuillage
effectif des détails en dessous du seuil de tolérance n’est pas indispensable. En fait il n’apporte rien du point
de vue algorithmique puisque les données ne seront pas effectivement compressées. La grille hybride ˜ Λn+1 ε
est dans ce cas virtuelle et sert simplement à repérer la régularité de la solution. Il est cependant important
de respecter la structure d’arbre qui est utilisée dans l’algorithme 12 de calcul des flux.
Algorithme 11 Volumes Finis + Multirésolution
– Initialisation : calcul de U J,0
−1 = {|Ωγ| Ωγ u(x, t = 0)dx}, γ ∈ SJ , la discrétisation de la condition initiale sur
la grille la plus fine.
– Boucle sur tn, n = 0, ...
Codage de U n J avec l’algorithme 5
Indicateurs de régularité, avec prédiction ˜ Λn+1 ε 10 :
Calcul des flux avec l’algorithme 12
Évolution au niveau fin : Pour γ, |γ| = J,
u n+1
γ
= un γ
Fin de Pour γ
– Fin de Pour tn
+ bγ
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