Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Remarquons qu’a priori nous n’imposons pas la linéarité de l’opérateur de prédiction bien que nous verrons
par la suite que c’est une hypothèse importante dans l’analyse numérique du schéma. (voir [4] pour des
exemples d’opérateurs non linéaires ).
Dans le cas mono-dimensionnel dyadique on peut construire toute une classe d’opérateurs de prédiction
linéaires et de précision arbitraire. On reprend les notations du paragraphe 2.2. On va chercher le polynôme
pµ de degré r qui vérifie
aI |µ|−1,k pµ = aI |µ|−1,k u pour (|µ| − 1, k) ∈ Rµ (29)
et on posera
ûµ := aIµpµ
Comme l’intervalle parent de µ est forcément dans Rµ, pour avoir des opérateurs centrés et linéaires on va
s’intéresser uniquement aux polynômes de degré r = 2s pairs. Le cas (28) correspond à r = 0. Pour r ≥ 0
on peut écrire (30) sous la forme générique
û j
2k = uj−1
k +
s
l=1
γl
u j−1
k+l
(30)
− uj−1
k−l = u j−1
k + Qs (k; u j−1 ) (31)
où les coefficients γl, solutions du système linéaire (29) sont donnés dans la table ci-dessous pour s ≤ 3.
r s γ1 γ2 γ3
0 0 0 0 0
2 1 −1
8
4 2 −22
128
6 3 −201
1024
0 0
3
128
11
256
0
−5
1024
Pour préciser les notations, le stencil de prédiction Rj,k dans ce cas est de cardinal r + 1 :
Rj,k = {(j − 1, k/2 + l), |l| ≤ s}
En dimension deux, il faut distinguer entre le cas des grilles cartésiennes, où on peut étendre les notions
mono-dimensionnelles par tensorisation et le cas grilles triangulaires, plus complexe.
L’exemple le plus simple est celui proposé par Harten [10] dans le cas d’un maillage cartésien. C’est la version
produit tensoriel de l’opérateur de reconstruction polynomial défini plus haut dans le cas mono-dimensionnel.
Avec les conventions d’indice (24) on a sur les quatre mailles au niveau j + 1, subdivisions de la maille Ωk,l
au niveau j
u j
2k+1,2l+1
u j
2k,2l+1
u j
2k+1,2l
u j
2k,2l
= uj−1
k,l + Qs (k; u j−1
.,l ) + Qs (l; u j−1
k,. ) + Qs 2(k, l; u j−1 )
= uj−1
k,l − Qs (k; u j−1
.,l ) + Qs (l; u j−1
k,. ) − Qs 2(k, l; u j−1 )
= uj−1
k,l + Qs (k; u j−1
.,l ) − Qs (l; u j−1
k,. ) − Qs 2 (k, l; uj−1 )
= uj−1
k,l − Qs (k; u j−1
.,l ) − Qs (l; u j−1
k,. ) + Qs 2 (k, l; uj−1 )
16
(32)