Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

intermédiaire (pas implémentée) : on associe à chaque grosse arête sur un niveau intermédiaire un nombre
fixe N, de petites arêtes au niveau le plus fin - faisant partie de la grosse arête. On reconstruit la solution
localement uniquement sur les triangles voisins de ce petit nombre de petites arêtes et on calcule les flux sur
ces dernières. Puis on calcule le flux sur les grosses arêtes par une quadrature d’ordre élevé, déterminé par
N.
5.7 Analyse de l’erreur
On renvoie principalement à [20] pour l’analyse de l’erreur du schéma de Harten pour un maillage triangulaire
et à ([22], section 4) pour l’analyse d’erreur du schéma adaptatif dans le cas de maillages réguliers.
6 Applications numériques
6.1 Cas mono-dimensionnel
On présente ici les algorithmes détaillés dans le cas mono-dimensionnel dyadique Même dans ce cas relativement
simple, une implémentation efficace du point de vue temps de calcul et place mémoire nécessite un
investissement assez important du point de vue informatique. Les algorithmes ci-dessous n’ont certainement
pas la prétention de répondre entièrement à ces objectifs ! (voir par exemple [50] pour un début de réponse...)
Algorithme 17 Codage par valeurs moyennes
u est connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine {Ω J k }, k = 0, ...N2J − 1
Pour j = J − 1 ↘ 0
1. Calcul de Uj : u j 1
k =
2. Calcul de û j+1
2k
2 (uj+1
2k
+ uj+1
2k+1 ), ∀k = 0, ..., N2j − 1
∀k = 0, ..., N2 j − 1 (avec l’opérateur de reconstruction polynomiale 31)
3. Calcul des détails entre Uj+1 et Uj
∀k = 0, ..., N2j − 1,
d j
k
= uj+1
2k
− ûj+1
2k
4. Remplacement de Uj+1 par Uj et Dj
Fin de Pour j
u est maintenant codée sous la forme (U0, D0, D1, ...DJ−1)
Algorithme 18 Décodage (valeurs moyennes)
u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossière et tous les détails Dj pour j = 0, . . . , J − 1
Pour j = 0 ↗ J − 1
1. Interpolation : calcul de û j+1
2k
2. Reconstruction : calcul de Uj+1
3. Remplacement de Uj et Dj par Uj+1
Fin de Pour j
∀k = 0, ..., N2 j − 1 avec (31)
∀k = 0, ..., N2 j − 1 ,
u j+1
2k = û j+1
2k + dj
k
u j+1
2k+1
42
= 2uj k − uj+1
2k