Couples de variables aléatoires

Couples de variables aléatoires
Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini.
∗ ∗ ∗
I. Couple de variables aléatoires
Définition 1. On appelle couple de variables aléatoires réelles toute application
Z : Ω −→ R 2
ω ↦−→ (X(ω), Y (ω))
où X et Y sont des variables aléatoires sur (Ω, P(Ω), P). On note Z = (X, Y ).
Exemples 1.
1. On lance deux dés. On note X le plus petit des deux nombres obtenus et Y le plus grand des
deux. Alors, Z = (X, Y ) est un couple de variables aléatoires et on a :
Z(Ω) = {(i, j) ∈ [1, 6], i ≤ j}.
2. Une urne contient 2 boules blanches, 3 rouges et 1 verte. On tire 3 boules et on note X le
nombre de boules blanches, Y le nombre de boules rouges et on a :
Z(Ω) = {(i, j) ∈ [1, 2] × [1, 3], i + j ≤ 3}.
Théorème 1. Soit Z = (X, Y ) un couple de variables aléatoires telles que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et
Y (Ω) = {y1, . . . , yp}. Alors, la famille d’événements
[X = xi] ∩ [Y = yj]
1≤i≤n
1≤j≤p
forme un système complet d’événement de Ω.
Remarque 1. L’événement [X = xi] ∩ [Y = yj] peut également se noter [X = xi, Y = yj] ou encore
[(X, Y ) = (xi, yj)].
II. Lois associées à un couple de variables aléatoires
1. Loi conjointe
Définition 2. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles. L’application
est appelée loi conjointe du couple (X, Y ).
PX,Y : X(Ω) × Y (Ω) −→ [0, 1]
(x, y) ↦−→ P [X = x] ∩ [Y = y]

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Remarque 2. La loi conjointe d’un couple de variables aléatoires est souvent représentée sous forme
de tableau. Si X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) = {y1, . . . , yp}, on note
Exemple 2.
pi,j = P [X = xi] ∩ [Y = yj] .
Proposition 1. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires tel que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) =
{y1, . . . , yp}. Alors,
n
i=1
p
P [X = xi] ∩ [Y = yj] =
j=1
p
j=1
n
P [X = xi] ∩ [Y = yj] = 1.
Remarque 3. La somme des coefficients du tableau qui représente la loi conjointe vaut 1 :
1≤i≤n
1≤j≤p
i=1
pi,j = 1.
Les deux formules de la proposition précédente correspondent respectivement aux sommes des coefficients
obtenus sur chaque ligne ou sur chaque colonne.
2. Lois marginales
Définition 3. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires. On appelle lois marginales les lois de
probabilités des variables aléatoires X et Y .
Théorème 2. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires tel que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) =
{y1, . . . , yp}. Alors, on peut retrouver les lois de X et Y à partir de la loi conjointe :
∀ i ∈ [1, n], P(X = xi) =
∀ j ∈ [1, p], P(Y = yj) =
p
P [X = xi] ∩ [Y = yj] ,
j=1
n
P [X = xi] ∩ [Y = yj] .
Remarque 4. En utilisant la représentation de la loi conjointe à l’aide d’un tableau, il suffit de faire
la somme des lignes pour obtenir la loi X et la somme des colonnes pour obtenir la loi de Y .
Exemple 3.
3. Lois conditionnelles
Définition 4. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires.
∗ Pour tout y ∈ Y (Ω) tel que P([Y = y]) = 0, l’application
P[Y =y] : X(Ω) −→ [0, 1]
i=1
x ↦−→ P [X = x] ∩ [Y = y]
P([Y = y])
est appelée loi conditionnelle de X sachant [Y = y].
= P([X = x] [Y = y])

Chapitre 24 - Couples de var 3
∗ Pour tout x ∈ X(Ω) tel que P([X = x]) = 0, l’application
P[X=x] : Y (Ω) −→ [0, 1]
y ↦−→ P [X = x] ∩ [Y = y]
P([X = x])
est appelée loi conditionnelle de Y sachant [X = x].
= P([Y = y] [X = x])
Exemple 4. Retour à l’exemple de l’urne contenant 2 boules blanches, 3 rouges et 1 verte.
On reconnaît des lois hypergéométriques.
Proposition 2. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires tel que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) =
{y1, . . . , yp}. Alors, on peut retrouver les lois de X et Y à partir des lois conditionnelles :
4. Indépendance
∀ i ∈ [1, n], P(X = xi) =
∀ j ∈ [1, p], P(Y = yj) =
p
j=1
n
i=1
P [Y = yj]
P[Y =yj] [X = xi] ,
P [X = xi]
P[X=xi] [Y = yj] .
Définition 5. Deux variables aléatoires réelles X et Y sont dites indépendantes si
∀ (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω), P [X = x] ∩ [Y = y] = P(X = x) P(Y = y),
cela signifie que pour tout couple (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω), les événements [X = x] et [Y = y] sont
indépendants.
Remarques 5. Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes :
1. La loi du couple s’obtient directement à partir des lois marginales.
2. Pour tout y ∈ Y (Ω) tel que P([Y = y]) = 0, la loi conditionnelle de X sachant [Y = y] est
égale à la loi de X :
∀ (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω), P[Y =y] [X = x] = P [X = x] .
3. Pour tout x ∈ X(Ω) tel que P([X = x]) = 0, la loi conditionnelle de Y sachant [X = x] est
égale à la loi de Y :
∀ (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω), P[X=x] [Y = y] = P [Y = y] .
Exemple 5. Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On en tire deux avec remise et on note
X et Y les numéros des jetons obtenus respectivement au premier et second tirages. Les variables
aléatoires X et Y sont indépendantes.
Si le tirage est effectué sans remise, les variables aléatoires X et Y ne sont plus indépendantes.
Proposition 3. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Alors pour toute parties A ⊂
X(Ω) et B ⊂ Y (Ω), les événements [X ∈ A] et [Y ∈ B] sont indépendants.
Exemple 6. Dans le cas de l’urne où les tirages sont effectués avec remise :
1. les événements [X ∈ {2, 4, 6}] et [Y = 2] sont indépendants,
2. les événements [X = 3] et [2 ≤ Y ≤ 5] sont indépendants.

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III. Variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
1. Loi d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Définition 6. Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires et u : R 2 −→ R une application. On
définit la variable notée u(X, Y ) par :
u(X, Y ) : Ω −→ R
ω ↦−→ u X(ω), Y (ω) .
Proposition 4. La loi de Z = u(X, Y ) est donnée par par :
∀ z ∈ Z(Ω), P(Z = z) =
P [X = x] ∩ [Y = y] .
(x,y) | u(x,y)=z
2. Cas particulier de la somme de deux variables aléatoires
Proposition 5. Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires. La loi de Z = X + Y est donnée par
par :
∀ z ∈ Z(Ω), P(Z = z) =
P [X = x] ∩ [Y = y] .
(x,y) | x+y=z
Exercice 1. On effectue deux tirages successifs et sans remise dans une urne contenant 4 boules
numérotées de 1 à 4. On note X le plus petit des numéros tirés et Y le plus grand.
En utilisant la loi conjointe du couples (X, Y ), déterminer la loi de Z = X + Y .
Théorème 3. Soient X ↩→ B(m, p) et Y ↩→ B(n, p) deux variables aléatoires indépendantes.
Alors,
X + Y ↩→ B(m + n, p).
3. Espérance d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires
Théorème 4 (Theorem de transfert). Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles sur
(Ω, P(Ω), P) telles que X(Ω) = {x1, . . . , xn} et Y (Ω) = {y1, . . . , yp} et u : R 2 −→ R une application.
Alors,
E(u(X, Y )) =
1≤i≤n
1≤j≤p
u(xi, yj) P [X = xi] ∩ [Y = yj] =
n
i=1
p
u(xi, yj)pi,j =
Exemple 7. Retour à l’exercice précédent. On recherche de l’espérance de Z = XY .
Proposition 6. Soient X, Y des variables aléatoires réelles et a, b des réels. Alors,
On dit que l’espérance est linéaire.
j=1
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).
p
j=1
n
i=1
u(xi, yj)pi,j.

Chapitre 24 - Couples de var 5
IV. Covariance - coefficient de corrélation linéaire
1. La covariance
Définition 7. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On appelle covariance de X et Y le
réel défini par :
Cov(X, Y ) = E (X − E(X))(Y − E(Y )) .
Théorème 5 (Kœnig-Huygens). Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. Alors, on a :
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Propriétés 1. Soient X, X ′ , Y, Y ′ des variables aléatoires réelles et a, b des réels. Alors, on a les
propriétés suivantes :
1. Cov(X, X) = V(X),
2. Cov(Y, X) = Cov(X, Y ),
3. Cov(aX + bX ′ , Y ) = a Cov(X, Y ) + b Cov(X ′ , Y ),
4. Cov(X, aY + bY ′ ) = a Cov(X, Y ) + b Cov(X, Y ′ ).
Exemple 8. Retour à l’exemple précédent.
2. Le coefficient de corrélation linéaire
Définition 8. Soient X et Y deux variables aléatoires d’écart-types non nuls. On appelle coefficient
de corrélation linéaire le réel :
Cov(X, Y )
ρ(X, Y ) =
σ(X)σ(Y ) .
Théorème 6. Soient X et Y deux variables aléatoires d’écart-types non nuls. Alors, on a :
1. ρ(X, Y ) ∈ [−1, 1],
2. |ρ(X, Y )| = 1 ⇔ ∃ a, b ∈ R, Y = aX + b.
Définition 9. On dit que deux variables aléatoires X et Y sont non corrélées si
lorsque ce dernier est défini.
Cov(X, Y ) = 0 ou encore ρ(X, Y ) = 0,
3. Calcul de variance d’une somme de variables aléatoires
Théorème 7. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires. Alors, on a :
Plus généralement, pour tous réels a et b, on a :
V(X + Y ) = V(X) + V(Y ) + 2Cov(X, Y ).
V(aX + bY ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2Cov(X, Y ).

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4. Cas de variables aléatoires indépendantes
Théorème 8. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. Alors,
1. E(XY ) = E(X)E(Y ), en particulier Cov(X, Y ) = 0 et ρ(X, Y ) = 0,
2. V(X + Y ) = V(X) + V(Y ).
Remarque 6.
1. Le premier résultat assure que deux variables aléatoires indépendantes sont non corrélées.
Attention La réciproque est fausse en général : si E(XY ) = E(X)E(Y ) n’implique pas X et
Y indépendantes.
2. Ce résultat permet néanmoins de montrer par contraposition que : si E(XY ) = E(X)E(Y ),
alors Xet Y ne sont pas indépendantes.
Exemple 9. Dans l’exemple précédent, on retrouve le fait que les variables X et Y ne sont pas
indépendantes.
Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même paramètre
p ∈ ]0, 1[. Soient U = X + Y et V = X − Y .
1. Déterminer la loi du couple (U, V ),
2. Déterminer la covariance Cov(U, V ).
3. Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ? Conclusion.
V. Familles de n variables aléatoires
1. Définition
Définition 10. On appelle vecteur de variables aléatoires réelles toute application
Z : Ω −→ R n
ω ↦−→ (X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω))
où X1, . . . , Xn sont des variables aléatoires sur (Ω, P(Ω), P). On note Z = (X1, X2, . . . , Xn).
Définition 11. Soit (X1, X2, . . . , Xn) un vecteur de variables aléatoires réelles. L’application
P(X1,...,Xn) : X1(Ω) × · · · × Xn(Ω) −→ [0, 1]
(x1, . . . , xn) ↦−→ P [X1 = x1] ∩ · · · ∩ [Xn = xn]
est appelée loi conjointe du vecteur (X1, . . . , Xn).
2. Indépendance mutuelle
Définition 12. Les variables aléatoires réelles X1, . . . , Xn sont dites indépendantes ou mutuellement
indépendantes si
∀ (x1, . . . , xn) ∈ X1(Ω) × · · · × Xn(Ω), P [X1 = x1] ∩ · · · [Xn = xn] = P(X1 = x1) · · · P(Xn = xn).
c’est-à-dire pour tous (x1, . . . , xn) ∈ X1(Ω) × · · · × Xn(Ω), les événements [X1 = x1], . . . , [Xn = xn]
sont mutuellement indépendants.

Chapitre 24 - Couples de var 7
Proposition 7. Soit (X1, . . . , Xn) une famille de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes.
Alors, toute sous-famille l’est aussi.
Exemple 10. Soient X, Y, Z, T des variables aléatoires mutuellement indépendantes. Alors, X, Y, T
sont mutuellement indépendantes.
Théorème 9 (Lemme des coalitions). Soit (X1, . . . , Xn, Xn+1, . . . , Xp) une famille de variables aléatoires
réelles mutuellement indépendantes.
1. Soit f : R n −→ R et g : R p−n −→ R. Alors, les variables aléatoires f(X1, . . . , Xn) et
g(Xn+1, . . . , Xp) sont indépendantes.
2. Soit f1, . . . , fp des fonctions de R dans R. Alors, les variables aléatoires f1(X1), . . . , fp(Xp)
sont mutuellement indépendantes.
Exemple 11. Soient X, Y, Z, T des variables aléatoires mutuellement indépendantes. Alors,
1. X 2 + Y et ZT sont indépendantes.
2. X, 2Y + e Z et T 3 sont mutuellement indépendantes.
3. Somme de variables aléatoires
Théorème 10. Soit X1, . . . , Xn une famille de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une
loi de Bernoulli de paramètre p. Alors,
X1 + · · · + Xn ↩→ B(n, p).
Proposition 8. Soit X1, . . . , Xn une famille de variables aléatoires. On a :
n
∗ E(X1 + · · · + Xn) = E(Xk),
∗ V(X1 + · · · + Xn) =
k=1
n
V(Xk) + 2
k=1
1≤i≤j≤n
Cov(Xi, Xj).
En particulier, si les variables sont indépendantes, on a :
V(X1 + · · · + Xn) =
n
V(Xk).
k=1