Approximations multiéchelles - Laboratoire Jacques-Louis Lions ...

Le chapitre 6 regroupe les différents algorithmes dans le cas mono-dimensionnel dyadique.
Les problèmes spécifiquement multidimensionnels, posés par l’analyse multiéchelle sur un maillage triangulaire
sont traités dans le chapitre 7, extrait de [20].
Enfin, en guise de conclusion, on présente dans la partie 8 quelques articles sur le sujet, ainsi qu’une bibliographie
sur les différents thèmes abordés.
2 Transformation multiéchelle
Dans ce chapitre on introduit la décomposition multiéchelle dans le contexte de l’analyse du contenu
fréquentiel d’une fonction, et plus particulièrement du point de vue de la théorie des ondelettes.
On introduit tout d’abord quelques notations :
La fonction caractéristique d’une partie Ω de Rd est notée χΩ(x)
d
1 si x ∈ Ω ⊂ R ,
χΩ(x) =
0 sinon.
Si f est une fonction, la notation g = f(a · +b) signifie que g(x) = f(ax + b).
On rappelle la définition de quelques espaces fonctionnels utilisés dans ces notes. Pour une description
détaillée, on renvoie à la section 25 du chapitre 3 du livre de Cohen [18].
⋆ On introduit les espaces de Banach L p , pour p ≥ 1
dans lesquels la norme est définie par
⎧
⎨
|f |Lp :=
⎩
L p (Ω) := {f t. q. |f |Lp < ∞}
|f|
Ω
p
1/p si p < ∞
sup ess t∈Ω|f(t)| si p = ∞
⋆ Pour p = 2 on a l’espace de Hilbert L2 avec la norme
|f | L2 = [< f, f >] 1/2
avec < f, g >=
⋆ Les espaces C m (Ω) pour m ∈ N
C m (Ω) =
f ∈ C 0 (Ω) t.q. ∂ α f =
∂ |α| f
(∂x1)
α1...(∂xd) αd
Ω
f(x) ¯
g(x)dx
∈ C(Ω), ∀|α| = α1 + ... + αd ≤ m
⋆ Les espaces de Hölder, Cs (Ω) pour 0 < s < 1
C s
(Ω) = f ∈ C 0 (Ω) t.q. sup |f(x) − f(x + h)| ≤ |h|
x∈Ω
s
pour m < s < m + 1
C s
(Ω) = f ∈ C m (Ω) t.q. sup |∆
x∈Ω
n
hf(x)| ≤ |h|s
où ∆n hf est l’opérateur différence finies d’ordre n défini de manière récursive par
∆ 1 hf(x) = f(x + h) − f(x)
∆ n hf(x) = ∆ 1 h(∆ n−1
h )f(x)
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