Signaux aleatoires

3. Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie Page 13
expression qui nécessiterait quelques précautions d’écriture (la transformée de Fourier d’un processus
aléatoire stationnaire n’a pas de sens). En développant tout de même, on a
E X(t,ω)exp (− j2π ft)dt X ∗ (t ′ ,ω)exp ( j2π ft ′ )dt ′
= E X(t,ω)X(t ′ ,ω) exp (− j2π f (t −t ′ ))dtdt ′
= RXX (t −t ′ )exp (− j2π f (t −t ′ ))dtdt ′ ,
soit, en posant t −t ′ = τ,
SXX ( f ) △
=
R XX (τ)exp (− j2π f τ)dτ ≥ 0.
On en déduit donc que la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation est toujours positive.
On dit aussi que le caractère défini non négatif se conserve par transformée de Fourier. Ce résultat
constitue le théorème de Bochner.
7. (Mémoire). On a vu que |RXX (τ)|≤RXX (0). On appelle
ρc(τ) △ = R XX (τ)
R XX (0) =
E {X(t,ω)X ∗ (t − τ,ω)}
E {|X(t,ω)| 2 }E {|X ∗ (t − τ,ω)| 2 }
le coefficient de corrélation, dont on vérifie aisément qu’il est compris entre -1 et 1. Il s’agit en fait de
la fonction d’autocorrélation normalisée par rapport à son maximum. Lorsqu’au bout d’un temps tc le
coefficient de corrélation devient nul, le processus est dit à mémoire finie.
3.1.2 Notion de bruit blanc
Un bruit blanc est un modèle de signal aléatoire « limite » que l’on rencontrera très souvent. Le bruit blanc
est un bruit à corrélation microscopique, c’est-à-dire qu’entre deux instants, si proches soient-ils, ρc(τ)=0.
On pose, par définition,
R XX (τ) △ = N 0
2 δ(τ),
où δ(τ) est la distribution de Dirac. On peut noter dès à présent que la transformée de Fourier de cette fonction
d’autocorrélation, que l’on a déjà notée S XX ( f ), est une constante, d’amplitude N 0 /2.
SXX ( f )=TF[RXX (τ)] = N0 2 .
Par ailleurs, en se souvenant que RXX (0) représente la puissance moyenne du signal, on constate que le bruit
blanc possède une puissance moyenne infinie. . . Il s’agit donc d’un modèle délicat à manipuler.
On peut distinguer plusieurs types de bruit blanc : si toutes les variables aléatoires que l’on peut extraire
du signal sont indépendantes, le bruit est blanc, puisque l’indépendance entraîne la décorrélation. Par contre,
toutes les variables peuvent être décorrélées sans être nécessairement indépendantes. On parlera alors de bruit
blanc au sens fort (ou au sens strict), dans le premier cas et de bruit blanc à l’ordre deux dans le second. Notons
qu’il existe un certain nombre de situations intermédiaires.
Exercice 3 : Montrez qu’un bruit blanc est nécessairement de valeur moyenne nulle.
Exercice 4 : On considère un signal aléatoire U(t,ω) n’existant que sur l’intervalle de temps [0,T ] ;et
on s’intéresse au signal périodique
X(t,ω)=Rep T [U(t,ω)] = ∑ k
U(t − kT,ω).
1. Montrez que RUU (τ)=0 pour τ /∈ [−T,T].
2. Montrez que RXX (τ) est une fonction périodique de période T et exprimez RXX (τ) en fonction de
RUU (τ).