Signaux aleatoires

Page 28 Chapitre I. Signaux aléatoires
X(t,ω) X1 (t,ω)
Y (t,ω) Z(t,ω)
✲ + h(t)
♥ ♥ ✲
✲ +
✲
✻
B 1 (t,ω)
FIG. I.4: Filtre bruité en entrée et en sortie
Question 2 :
En notant toujours XT (t,ω)= fT (t)X(t,ω), et en définissant
∞
ˆR XX (τ)= XT (t,ω)X
−∞
∗ T (t − τ,ω)dt,
2-a montrez que
E ˆR XX (τ) = g(τ)R XX (τ),
✻
B 2 (t,ω)
où g(τ) est une fonction dont vous donnerez l’expression. Représentez g(τ) lorsque f T (t)=rect T (t/T ).
2-b En utilisant l’égalité de Plancherel-Parseval, montrez que
∞
−∞
x(t)y ∗ ∞
(t − τ)dt = X( f )Y
−∞
∗ ( f )e j2π f τ d f ,
et déduisez en que la transformée de Fourier de Rxy(τ) vaut X( f )Y ∗ ( f ), oùX( f ) et Y ( f ), sont respectivement
les transformées de Fourier de x(t) et y(t). 4
2-c Déduisez en que
ˆS XX ( f )=TF ˆR XX (τ) = |X T ( f ) 2 .
2-d Montrez que
E ˆS XX ( f ) = TF E ˆR XX (τ) = G( f ) ∗ S XX ( f ),
où G( f ) est la transformée de Fourier de g(τ) et S XX ( f ) la densité spectrale de l’entrée X(t,ω).
Question 3 :
Dans le cas où f T (t)=rect T (t/T ), donnez G( f ), et représentez S YY ( f ), si
– X(t,ω) est un bruit blanc de densité spectrale de puissance N 0 /2,
– X(t,ω) est une sinusoïde à phase aléatoire, uniforme sur [0,2π[, de fréquence f 0 .
Question 4 :
4-a Donnez la densité spectrale de la sortie, S YY ( f ), en fonction de la densité spectrale de l’entrée, S XX ( f ),
de G( f ), et de la fonction de transfert H( f ).
4-b Considérons maintenant
f T (t)=rect T (t/T )exp ( j2π f 1 t).
On notera dans la suite X T ( f ,ω) la transformée de Fourier du produit rect T (t/T )X(t,ω).
– Montrez que S YY ( f )=S XT X T ( f 0 − f 1 ), (cf 1-b)
– exprimez S YY ( f ) en fonction de S XX ( f ),
– donnez Y (t,ω) et Y(0,ω),
– montrez enfin que ˆS YY ( f )=|X T ( f 0 − f 1 ,ω)| 2 = |Y(t,ω)| 2 , (cf 2-c)
5 À quoi peut servir le dispositif
dans lequel on peut faire varier la fréquence f 1 ? Quel serait l’intérêt d’ajouter une intégration supplémentaire
en sortie ?
4 Les x et y donnés dans les deux dernières relations sont des signaux « généraux » : ce ne sont pas nécessairement X(t,ω) et Y (t,ω).