Signaux aleatoires

3. Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie Page 15
3.2.3 Théorème, ou formule des interférences
La très importante formule des interférences permet de relier l’intercorrélation entre les sorties de deux
filtres, aux intercorrélations des entrées de ces filtres. La figureI.1 décrit le dispositif expérimental.
Y1 (n,ω) = (X1∗h1 )(n,ω),
Y2 (n,ω) = (X2∗h2 )(n,ω),
X1 (n) Y1 (n)
✲ h1 (n)
✲
X 2 (n)
Calculons l’intercorrélation entre Y 1 (n) et Y 2 (n) :
✲
h 2 (n)
Y 2 (n)
FIG. I.1: Dispositif pour la formule des interférences
R Y1 Y 2 (m)=E Y 1 (n,ω)Y ∗
2 (n − m,ω)) = E (X 1 ∗ h 1 )(n,ω))(X ∗ 2 ∗ h∗ 2 )(n − m,ω)) .
Les deux produits de convolution s’écrivent
et
(X 1 ∗ h 1 )(n,ω)) = ∑ u
(X 2 ∗ h 2 )(n − m,ω)) = ∑ v
X 1 (u,ω)h 1 (n − u) = ∑ u
X 2 (v,ω))h 2 (n − m − v) = ∑ v
✲
h 1 (u,)X 1 (n − u,ω),
h 2 (v)X 2 (n − m − v,ω),
RY1Y (m)
2
= E{∑ X1 (n − u,ω)h 1 (u)∑ X
u
v
∗ 2 (n − m − v,ω)h ∗ 2(v)}
= E{∑∑ X1 (n − u,ω)h 1 (u)X
u v
∗ 2 (n − m − v,ω)h∗ 2 (v)}
= ∑ u
∑ v
h 1 (u)R X1 X 2 (m + v − u)h ∗ 2 (v).
En effectuant la somme sur u, on voit apparaître un produit de convolution entre h 1 et R X1 X 2 , exprimé en (m+v) :
RY1Y (m) = ∑(h 2 1 ∗ RX1X )(m + v)h
2
v
∗ 2 (v)
= ∑ v
(h1 ∗ RX1X )(m + v)h
2 (−)∗
(−v),
2
où l’on a posé h (−) (v)=h
2
2 (−v). Dans cette relation apparaît à nouveau un produit de convolution, cette fois-ci
entre (h 1 ∗ R X1 X 2 ) et h ∗(−)
2
:
RY1Y (m)
2
= ∑
v
= ∑
v ′
=
(h1 ∗ RX1X )(m + v)h
2 ∗(−)
(−v)
2
(h1 ∗ RX1X )(m − v
2 ′ )h ∗(−)
(v
2
′ )
h 1 ∗ R X1 X 2 ∗ h ∗(−)
2
(m).