Signaux aleatoires

4. Un exemple d’application : le filtrage adapté Page 27
Exercice 6 : Soit un filtre passe-bas idéal de fonction de transfert H( f ), H( f )=1 pour | f |≤B/4 et 0 ailleurs.
L’entrée du filtre est un processus aléatoire gaussien x(t) de moyenne m X et de densité spectrale de puissance
S XX ( f ), avecS XX ( f )=1 pour | f |≤B/2 et 0 ailleurs. Calculez la variance de x(t), la moyenne, la variance et
la fonction d’autocorrélation de la sortie du filtre y(t). Donnez la loi de y(t).
Problème I : Soit le signal, défini pour n ∈ [0,N − 1]
x(n)=Acos(2πmon/N + φ),
où
– A est une variable aléatoire gaussienne, centrée, de variance σ2 ,
– φ est une variable aléatoire distribuée uniformément sur [0,2π]
– A et φ sont indépendantes.
1) Montrez que
j2πmon/N
TFD e = δ(m − mo),
où δ(u)=1siu = 0, et 0 sinon.
2) Calculez la moyenne de x(n).
3) Calculez la fonction d’autocorrélation R XX (k) de x(n).
4) Calculez la transformée de Fourier discrète X(m) de x(n).
5) Le signal X(m) est-il certain ou aléatoire ? Calculez la moyenne de X(m).
6) Donnez |X(m)| 2 .
7) Calculez la moyenne de |X(m)| 2 .
8) Calculez la TFD de R XX (k), et comparez la au résultat précédent.
9) On considère maintenant le signal
x(n)=g(n)cos(2πmon/N + φ),
avec n ∈ [0,N − 1],etoùg(n) est une fonction aléatoire, indépendante de φ.
a) Calculez l’autocorrélation de x(n),
b) déduisez en sa densité spectrale de puissance, en fonction de la densité spectrale de puissance de g, Sgg( f ).
Rappels :
cosacos b = 1
2 [cosa + b + cosa − b]
cosx = e jx +e− jx
2
∑ N−1
n=0 qn = 1−qN
1−q
Problème II :
On considère le schèma de la figure 1, où X(t,ω) est un signal aléatoire stationnaire et ergodique, f T (t) une
fonction déterministe (certaine), et h(t) la réponse impulsionnelle du système. On notera X T (t,ω) le produit
f T (t)X(t,ω).
Question 1 :
1-a Donnez l’autocorrélation de la sortie, R YY (τ), et l’intercorrélation sortie-entrée R YX (τ) en fonction de
l’autocorrélation de l’entrée R XX et de la réponse impulsionnelle h.
1-b Dans le cas où h(t)=exp j2π f 0 t , donnez l’expression de la sortie Y(t,ω), et montrez que Y(0,ω)=
X T ( f 0 ,ω), la transformée de Fourier de X T (t,ω) à la fréquence f 0 .
1-c Toujours dans le cas où h(t) =exp j2π f 0 t , donnez l’expression de l’autocorrélation de la sortie,
R YY (τ) et montrez que R YY (0)=E |X T ( f 0 )| 2 .