programmation lineaire - Montefiore

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Bases d’un polyèdre Définition Soit P un polyèdre et soit ¯x ∈ R n . (a) ¯x est une solution de base si ◮ toutes les égalités (i ∈ M=) sont actives ◮ parmi les contraintes actives, il y en a n qui sont linéairement indépendantes (b) si ¯x est une solution de base qui qui satisfait toutes les contraintes, alo rs ¯x est une solution de base réalisable. Théorème Soit P un polyèdre et soit ¯x ∈ P. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes. (i) ¯x est un sommet (ii) ¯x est un point extrême (iii) ¯x est une solution de base réalisable Quentin Louveaux (ULg - Institut <strong>Montefiore</strong>) Introduction à l’Analyse Numérique 2009 20 / 27
Polyèdres en représentation standard On considère P = {x ∈ R n |Ax = b, x ≥ 0}. On considère que les lignes de A sont linéairement indépendantes. Théorème Un point ¯x est une solution de base si A¯x = b et si il existe m indices B(1), . . . , B(m) tels que (i) Les colonnes AB(1), . . . , AB(m) sont linéairement indépendantes (ii) Si i = B(1), . . . , B(m), alors xi = 0 Explication : m lignes n lignes „ A I « x = ≥ „ b 0 On a n + m contraintes et n variables. Une solution de base ⇒ n contraintes satisfaites avec égalité. Les m égalités sont d’office satisfaites. Il y a n − m inégalités xi ≥ 0 qui sont actives (les variables hors base). Il y m inégalités xi ≥ 0 qui sont éventuellement non actives (variables de base). Quentin Louveaux (ULg - Institut <strong>Montefiore</strong>) Introduction à l’Analyse Numérique 2009 21 / 27 «
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