LES ANALYSES CANONIQUES SIMPLE ET GÉNÉRALISÉE ...
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⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
Im1 Σx1x2 · · · Σx1xp Σx2x1 Im2 · · · Σx2xp .<br />
.<br />
analyse canonique et données psychosociales 79<br />
. ..<br />
Σ x p x 1 Σ x p x 2 · · · Imp<br />
.<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
P1<br />
P2<br />
.<br />
Pp<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
λ1 + 1<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
0<br />
λ2 + 1<br />
.<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
. ..<br />
0<br />
0<br />
.<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
0 0 · · · λp + 1<br />
Remarque 1. Lorsque les constantes de normalisations, λ1, λ2, · · · , λp, sont égales,<br />
la première solution de la méthode Sumcor est obtenue en faisant la décomposition<br />
spectrale de la matrice<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
Im1 Σ x 1 x 2 · · · Σ x 1 x p<br />
Σ x 2 x 1 Im2 · · · Σ x 2 x p<br />
.<br />
.<br />
Σ x p x 1 Σ x p x 2 · · · Imp<br />
Les vecteurs canoniques, P1, · · · , Pp, sont alors des sous vecteurs de<br />
P = t ( t P 1, · · · , t P p) (premier vecteur propre de Σ) associé à la plus grande valeur<br />
propre.<br />
Dans le cas général, les solutions du problème de l’analyse canonique généralisée<br />
selon la méthode Sumcor s’obtiennent par un processus itératif (itérations successives)<br />
de la façon suivantes :<br />
À partir d’une solution initiale P (0)<br />
1 , P (0)<br />
2 , · · · , P (0)<br />
p<br />
partenant à Im(X 1 ), Im(X 2 ), · · · et Im(X p ).<br />
.<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
P1<br />
P2<br />
.<br />
Pp<br />
quelconque par exemple ap-<br />
On définit la solution d’ordre 1 du problème de la manière suivante: c’est<br />
l’ensemble des vecteurs P (1)<br />
1 , P (1)<br />
2 , · · · , P (1)<br />
p normés solutions du système d’équations<br />
ci-dessous :<br />
⎧<br />
S1 =<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
p j=1,j=1 Σx1xjPj = λ1P1, λ1 = P1<br />
t P 1P1<br />
p<br />
j=1,j=2 Σx2xjPj = λ2P2, λ2 = P2<br />
tP 2P2<br />
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·<br />
p<br />
j=1,j=p Σ x p x jPj = λpPp, λp = Pp<br />
t P pPp<br />
Soient P (1)<br />
1 , P (1)<br />
2 , · · · , P (1)<br />
p l’ensemble des p vecteurs canoniques normés dans R m1 ,<br />
R m2 , · · · , R mp solutions du système d’équations S1, on a les propriétés suivantes :<br />
proposition 7. Les variables canoniques d’ordre un de la méthode Sumcor sont<br />
normées (pour tout i, V ar(Z (1)<br />
i ) = 1). Elles vérifient les égalités :<br />
où<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11Im1 Σx1x2 · · · Σx1xp Σx2x1 a22Im2 · · · Σx2xp .<br />
.<br />
. ..<br />
Σ x p x 1 rp2Σ x p x 2 · · · appImp<br />
.<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
P1<br />
P2<br />
.<br />
Pp<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ = λ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
P1<br />
P2<br />
.<br />
Pp<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
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